Forma trigonometrica di un numero complesso

La forma trigonometrica di un numero complesso, detta anche forma polare, è una delle tre forme con cui è possibile rappresentare un numero complesso. In questa lezione vedremo quando un numero complesso si dice espresso in forma trigonometrica dandone la definizione e svariati esempi.

 

Partendo inoltre dalla definizione di numero complesso come coppia ordinata di numeri reali vi mostreremo come si ricava la sua forma trigonometrica e vi diremo come affrontare le richieste degli esercizi quando avete a che fare con numeri complessi espressi in tale forma.

 

 

Definizione ed esempi di numeri complessi in forma trigonometrica

 

Sia z\in \mathbb{C} un numero complesso. z è in forma trigonometrica se si presenta nella forma

 

z=r[\cos(\theta)+i\sin(\theta)]

 

dove i indica l'unità immaginaria, r è un numero reale positivo e \theta è un angolo tale che

 

-\pi < \theta \le \pi \mbox{ oppure } 0<\theta \le \2\pi.

 

Capirete nel prossimo paragrafo il motivo per cui r \mbox{ e } \theta devono soddisfare queste richieste; prima però vi forniamo alcuni esempi di numeri complessi in forma trigonometrica:

 

2\sqrt{2}\left[\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right]

 

3\left[\cos\left(\frac{5}{6}\pi\right)+i\sin\left(\frac{5}{6}\pi\right)\right]

 

2\sqrt{3}\left[\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right]

 

Come ottenere la forma trigonometrica partendo dalla definizione di numero complesso

 

Nella lezione introduttiva abbiamo dato la definizione di numero complesso come coppia ordinata di numeri reali. Se z\in \mathbb{C} è un numero complesso, allora è della forma

 

z=(a,b) \mbox{ con } a,b \in \mathbb{R}.

 

In virtù di questa definizione è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra i numeri complessi ed i punti di un particolare piano cartesiano, il cosidetto piano di Argand-Gauss; infatti ad ogni numero complesso corrisponde uno ed un solo punto nel piano complesso, il punto P di coordinate cartesiane (a,b).

 

 

Forma trigonometrica di un numero complesso

 

 

Come potete osservare nella figura precedente, possiamo individuare il numero complesso z=(a,b) anche conoscendo la misura del segmento r=\overline{OP} e l'ampiezza dell'angolo \theta che il segmento \overline{OP} forma con il semiasse positivo delle ascisse.

 

Ricordando i teoremi trigonometrici sui triangoli rettangoli abbiamo che:

 

a=\overline{OA}=\overline{OP}\cdot \cos(\theta)=r\cos(\theta)

 

b=\overline{OB}=\overline{OP}\cdot \sin(\theta)=r\sin(\theta)

 

Pertanto, passando dalla forma algebrica di un numero complesso, possiamo scrivere

 

z=(a,b)=a+ib=r\cos(\theta)+i[r\sin(\theta)] = r[\cos(\theta)+i\sin(\theta)]

 

ed ottenere così la rappresentazione trigonometrica o polare di un numero complesso.

 

Il numero reale r si dice norma o modulo di z mentre l'angolo \theta è detto argomento o anomalia del numero complesso. Come anticipato all'inizio della lezione, modulo ed argomento di un numero complesso devono soddisfare alcune condizioni. Vediamo di capirne il motivo.

 

Condizioni su modulo ed argomento

 

Un numero complesso avente modulo r ed argomento \theta si presenta, in forma trigonometrica, come

 

z=r[\cos(\theta)+i\sin(\theta)]

 

Poiché r indica la misura di un segmento, il suo valore dovrà essere necessariamente positivo.

 

Inoltre, dal momento che la funzione seno così come la funzione coseno sono funzioni periodiche di periodo 2\pi, la corrispondenza tra un numero complesso e la sua forma trigonometrica non è biunivoca: vi sono infatti infiniti angoli (che differiscono per multipli di 2\pi) che hanno stesso seno e stesso coseno.

 

Per rendere biunivoca tale corrispondenza dobbiamo imporre che l'angolo \theta vari tra -\pi \mbox{ e } \pi oppure tra 0 \mbox{ e } 2\pi.

 

Possiamo scegliere indistintamente l'uno o l'altro intervallo. Di solito è il testo dell'esercizio a dirci in quale intervallo dovremo lavorare ma, se così non fosse, saremo noi a sceglierlo.

 

Supponendo ad esempio di preferire l'intervallo (-\pi, \pi] diremo argomento principale il valore di \theta per cui -\pi<\theta\le \pi.

 

Nella lezione dedicata a modulo ed argomento di un numero complesso capirete quali sono le differenze nello scegliere l'uno o l'altro intervallo in cui far variare l'angolo \theta.

 

 

Nota per i lettori: il paragrafo seguente è dedicato a chi ha già avuto modo di affrontare alcuni esercizi sui numeri complessi. In particolare vedremo come approcciare le principali richieste quando i numeri complessi sono dati in forma trigonometrica.

 

Utilizzo dei numeri complessi in forma trigonometrica

 

Avere un numero complesso espresso in forma trigonometrica ha i suoi vantaggi ed i suoi svantaggi. In alcuni casi è infatti più conveniente passare dalla forma trigonometrica alla forma algebrica o dalla forma trigonometrica alla forma esponenziale. Ovviamente sarà nostro compito scegliere la strada più comoda e tutto dipende da quello che è richiesto dall'esercizio.

 

 

1) Il complesso coniugato di z=r[\cos(\theta)+i\sin(\theta)] è dato da

 

\overline{z}=r[\cos(\theta)-i\sin(\theta)]

 

 

2) Come abbiamo già avuto modo di dirvi nel paragrafo precedente, modulo ed argomento di un numero complesso espresso in forma trigonometrica si ottengono semplicemente con un rapido sguardo. r è infatti il modulo e \theta l'argomento.

 

 

3) Per quanto riguarda le operazioni tra numeri complessi procederemo nel modo seguente:

 

- volendo calcolare la somma tra due numeri complessi o la differenza tra due numeri complessi in forma trigonometrica consigliamo di passare prima alla forma cartesiana.

 

- Il prodotto tra due numeri complessi in forma trigonometrica

 

z_1=r_1[\cos(\theta_1)+i\sin(\theta_1)] \mbox{ e } z_2=r_2[\cos(\theta_2)+i\sin(\theta_2)]

 

è un numero complesso il cui modulo è dato dal prodotto dei moduli ed il cui argomento si ottiene dalla somma degli argomenti, ossia

 

z_1 z_2=r_1r_2[\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)]

 

Allo stesso modo

 

- la divisione tra due numeri complessi in forma trigonometrica (a patto che il divisore sia non nullo) è ancora un numero complesso il cui modulo è il rapporto tra i modulo ed il cui argomento è dato dalla differenza degli argomenti, ossia

 

\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)]

 

 

4) Le radici ennesime di un numero complesso in forma trigonometrica si ottengono come spiegato nella lezione del link.

 

 

5) Trovare la potenza di un numero complesso espresso in forma trigonometrica è abbastanza semplice ma è ancor più immediato se il numero complesso è in forma esponenziale.

 

 


 

Per il momento è tutto. Nella prossima lezione vedremo la terza ed ultima forma che si utilizza per rappresentare un numero complesso. ;)

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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