Forma algebrica di un numero complesso

In questa lezione vedremo come si esprimono i numeri complessi in forma algebrica, detti anche numeri complessi in forma cartesiana. Dopo averne dato la definizione e fornito svariati esempi, vi faremo vedere come si ricava la forma algebrica partendo dalla definizione di numero complesso come coppia ordinata di numeri reali (introdotta nella lezione precedente).

 

Esistono tre modi per esprimere un numero complesso: forma algebrica (di cui ci occuperemo qui e subito), forma trigonometrica e forma esponenziale. Ognuna delle tre forme ha i suoi pro ed i suoi contro che analizzeremo, di volta in volta, nel corso dei nostri articoli.

 

 

Definizione ed esempi di forma algebrica di un numero complesso

 

Un numero complesso z \in \mathbb{C} è espresso in forma algebrica se si presenta come

 

z=a+ib \mbox{ con } a, b \in \mathbb{R}

 

dove i indica l'unità immaginaria. Ad esempio

 

1+3i, \ \sqrt{2}-7i, \ \pi+\sqrt{3}i, \ -15+i, \ \ln(5)+12i

 

sono tutti numeri complessi espressi in forma cartesiana.

 

Come si ricava la forma algebrica partendo dalla definizione di numero complesso

 

Prima di vedere come si ottiene la forma cartesiana di un numero complesso ricordiamo le nozioni che ci serviranno e che abbiamo visto nel dettaglio nella lezione precedente sull'introduzione ai numeri complessi.

 

L'insieme dei numeri complessi si definisce come l'insieme di tutte e sole le coppie ordinate di numeri reali, ossia

 

\mathbb{C}=\mathbb{R}^2=\{(a,b) \ | \ a, b \in \mathbb{R}\}

 

Abbiamo inoltre detto che la coppia ordinata (0,1) è, per definizione, l'unità immaginaria e che le coppie ordinate avente seconda componente nulla sono numeri reali, ossia

 

(a,0)=a \in \mathbb{R}

 

In tale insieme abbiamo poi definito le operazioni di somma e prodotto tra numeri complessi come:

 

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

 

(a,b)(c,d)=(ac-bd, bc+ad)

 

di cui parleremo nel dettaglio nella lezione sulle operazioni con i numeri complessi. Partendo allora dal numero complesso (a,b)\in \mathbb{C} possiamo ricavarne forma cartesiana (o algebrica) nel modo seguente:

 

(a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,0)+(0,1)(b,0)=a+ib

 

Infatti, per com'è definito il prodotto

 

(0,1)(b,0)=(0\cdot b-1\cdot 0, \ 1\cdot b+0\cdot 0)=(0-0, \ b+0)=(0,b).

 

Inoltre

 

(a,0)=a; \ (b,0)=b \mbox{ e } (0,1)=i.

 

 

Nota per i lettori: il paragrafo seguente è dedicato a coloro i quali hanno già avuto modo di svolgere qualche esercizio sui numeri complessi; nel caso specifico vedremo come procedere con le richieste più frequenti quando i numeri complessi con cui lavorare vengono dati in forma algebrica.

 

Vantaggi e svantaggi della forma algebrica di un numero complesso

 

Avere un numero complesso espresso in forma algebrica ha i suoi pro ed i suoi contro. In alcuni casi è infatti più conveniente passare dalla forma algebrica alla forma trigonometrica o dalla forma algebrica alla forma esponenziale. Vediamo un po' come conviene comportarsi a seconda delle richieste.

 

 

1) Il complesso coniugato \overline{z} del numero complesso z=a+ib si ottiene cambiando il segno alla sua parte immaginaria, ossia

 

\overline{z}=a-ib

 

 

2) Possiamo ricavare modulo ed argomento di un numero complesso espresso in forma cartesiana ricorrendo alle formule viste nella lezione del link.

 

 

3) Detti z_1=a_1+ib_1 \mbox{ e } z_2=a_2+ib_2 due numeri complessi in forma cartesiana, per quanto riguarda le operazioni tra numeri complessi procederemo nel modo seguente:

 

- la somma tra due numeri complessi in forma algebrica è un numero complesso avente come parte reale la somma delle parti reali e come parte immaginaria la somma delle parti immaginarie, ossia

 

z_1+z_2=(a_1+a_2)+i(b_1+b_2)

 

Ad esempio

 

[3+2i]+[2-3i]=(3+2)+(2-3)i=5-i

 

- Si procede allo stesso modo per la differenza tra due numeri complessi in forma algebrica:

 

z_1-z_2=(a_1-a_2)+i(b_1-b_2)

 

Così, ad esempio

 

[12+7i]-[4+3i]=(12-4)+(7-3)i=8+4i

 

- Per calcolare invece il prodotto tra numeri complessi o la divisione tra due numeri complessi è più conveniente (che non vuol dire essere obbligati) passare alla forma trigonometrica o alla forma esponenziale.

 

 

4) Se dovessimo calcolare le radici ennesime di un numero complesso dato in forma cartesiana dobbiamo, necessariamente, passare dapprima dalla forma algebrica alla forma trigonometrica o dalla forma algebrica alla forma esponenziale.

 

 

5) Trovare la potenza di un numero complesso in forma algebrica diventa assai laborioso man mano che l'esponente cresce. La scelta più conveniente è quella di passare alla forma esponenziale. 

 

 

6) Ottenere la rappresentazione nel piano di Argand-Gauss di un numero complesso dato in forma algebrica è a dir poco immediato. Basta infatti riportare sull'asse x il valore della parte reale e sull'asse y il valore della parte immaginaria.

 

 

Numero complesso in forma algebrica nel piano di Argand Gauss

 

 


 

Questo è quanto c'è da sapere sui numeri complessi espressi in forma cartesiana. In caso di dubbi, problemi o perplessità varie utilizzate la barra di ricerca (in alto a destra in ogni pagina). ;)

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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