Introduzione ai numeri complessi

In questa prima lezione sui numeri complessi vedremo cos'è un numero complesso e il legame che c'è tra l'insieme dei numeri complessi e l'insieme dei numeri reali.

 

A seconda del libro di testo che vi è stato consigliato potrete trovare due diverse definizioni di numero complesso. Nessun problema, le vedremo entrambe! ;) Prima però è interessante sapere qual è stata l'esigenza matematica che ha portato all'introduzione dei numeri complessi.

 

Come nascono i numeri complessi

 

Nell'insieme \mathbb{R} dei numeri reali, definito come l'unione tra gli insiemi dei numeri razionali e dei numeri irrazionali, tutto sembrerebbe funzionare al meglio; a prima vista, infatti, sembrerebbe un insieme in cui possiamo svolgere qualsiasi tipo di operazione.

 

 

Se però vi dicessimo di calcolare la radice quadrata di -1, oppure di trovare gli zeri del polinomio p(x)=x^2+1, ecco spuntare i primi problemi ed ecco evidenziati i limiti dell'insieme dei numeri reali, in cui non è possibile estrarre la radice ennesima con indice pari di un numero negativo ed in cui non è possibile, ad esempio, risolvere le equazioni di secondo grado con delta negativo.

 

Volendo essere più precisi l'operazione di estrazione di radice ennesima non è un'operazione interna all'insieme dei numeri reali e non è detto che, sempre ammesso di lavorare in \mathbb{R}, un polinomio di grado n\ge 2 a coefficienti reali abbia esattamente n radici (ciascuna contata con la relativa molteplicità), così come assicurato da un corollario del teorema fondamentale dell'Algebra.

 

Proprio per questi motivi si è sentita l'esigenza di introdurre l'insieme dei numeri complessi che, storicamente, nasce tra il sedicesimo ed il diciassettesimo secolo grazie agli studi dei matematici Bombelli e Cardano, anche se le vere basi teoriche furono gettate da Eulero e De Moivre nel Diciottesimo secolo. Fu però solo con le pubblicazioni di Gauss che i numeri complessi entrarono, a tutti gli effetti, a far parte del mondo matematico.

 

Definizione di numero complesso

 

Come abbiamo già avuto modo di dirvi è molto probabile che, a seconda del libro di testo utilizzato, si trovino due diverse definizioni di numero complesso; questo perché il modo di definirli varia a seconda del livello di preparazione dello studente o del corso di studi che sta seguendo. Ora ve le proporremo entrambe partendo dalla definizione che solitamente si dà alle scuole superiori.

 

Numeri complessi come estensione dei numeri reali

 

Abbiamo già detto che in \mathbb{R} non è possibile trovare le soluzioni dell'equazione di secondo grado

 

x^2+1=0 \iff x^2=-1

 

Convincersi di ciò è relativamente semplice. Basta infatti osservare che il quadrato di un qualsiasi numero reale è una quantità positiva o, al più, nulla; quindi non esiste alcun numero reale che elevato al quadrato dia -1.

 

Partendo proprio da tale equazione si introduce il valore i, detto unità immaginaria, definito come la radice quadrata di -1

 

i:=\sqrt{-1}

 

dove := si legge uguale per definizione.

 

Ecco quindi che l'equazione di secondo grado x^2+1=0 ammette soluzioni. In particolare ammetterà le due radici complesse distinte x_1=i, \ x_2=-i, infatti:

 

x^2+1=0 \iff x^2=-1 \iff x=\pm \sqrt{-1} \iff x=\pm i

 

Dopo aver introdotto l'unità immaginaria possiamo definire l'insieme dei numeri complessi, che d'ora in poi indicheremo con la lettera \mathbb{C}, come l'insieme di tutti e soli i numeri della forma

 

a+ib \mbox{ con } a,b \mbox{ numeri reali}

 

Quella appena scritta si dice forma algebrica di un numero complesso (che analizzeremo nel dettaglio nella lezione del link).

 

Parte reale e parte immaginaria di un numero complesso

 

Sia z=a+ib un qualsiasi numero complesso.

 

Il numero reale a prende il nome di parte reale e si indica con \mbox{Re}(z), mentre b si dice parte immaginaria del numero complesso e viene indicata con \mbox{Im}(z).

 

Ad esempio 2+3i è il numero complesso avente parte reale uguale a 2 e parte complessa uguale a 3, mentre 1+i ha parte reale e parte complessa uguali ad 1.

 

I numeri complessi aventi parte reale nulla, ossia i numeri della forma z=ib, \mbox{ con } b \in \mathbb{R} si dicono immaginari puri. Lo sono ad esempio 2i, \ -3i \mbox{ e } \sqrt{5}i.

 

Di contro, i numeri complessi con parte immaginaria nulla, vale a dire quelli della forma z=a \mbox{ con } a\in \mathbb{R}, sono tutti e soli i numeri reali.

 

Risulta allora evidente che l'insieme dei numeri reali è un sottoinsieme proprio dell'insieme dei numeri complessi.

 

Piano di Argand-Gauss

 

Fin da bambini ci hanno insegnato a rappresentare i numeri naturali su una retta e, col passare degli anni, abbiamo capito che esiste una corrispondenza biunivoca tra i numeri reali ed i punti di quella che si dice retta reale.

 

Per quanto riguarda i numeri complessi, essi sono in corrispondenza biunivoca con i punti del piano, detto piano complesso o piano di Argand-Gauss, ossia al numero complesso z=a+ib si associa il punto del piano di coordinate cartesiane (a,b)=(Re(z), Im(z)).

 

In parole povere il piano di Argand-Gauss è un piano cartesiano leggermente modificato: l'asse x infatti è chiamato asse reale, l'asse y è detto asse immaginario.

 

Dato il numero complesso

 

z=a+ib

 

sull'asse reale riporteremo la parte reale del numero complesso Re(z)=a, mentre sull'asse immaginario individueremo la parte immaginaria Im(z)=b.

 

Giusto per fare un esempio, al numero complesso z=-3+2i corrisponde il punto di coordinate cartesiane (-3,2) così come mostrato in figura

 

 

Piano complesso

 

 

Questa corrispondenza tra numeri complessi e punti del piano è alla base di un'altra definizione di numero complesso solitamente usata in ambito universitario o nei Licei Scientifici.

 

Numeri complessi come coppia ordinata

 

Indicato con \mathbb{R} l'insieme dei due reali, possiamo definire l'insieme dei numeri complessi \mathbb{C} come l'insieme ottenuto dal prodotto cartesiano di \mathbb{R} con se stesso; in simboli scriveremo:

 

\mathbb{C}:=\mathbb{R} \times \mathbb{R}=\mathbb{R}^2=\{(a,b) \ | \ a,b \in \mathbb{R}\}

 

Ne segue allora che ogni numero complesso è una coppia ordinata di numeri reali, ossia

 

z\in \mathbb{C} \iff z=(a,b) \mbox{ con } a,b \in \mathbb{R}

 

I numeri complessi della forma (a,0) coincidono con i numeri reali, mentre i numeri del tipo (0,b) sono gli immaginari puri.

 

L'unità immaginaria i è il numero complesso immaginario puro che si identifica con la coppia ordinata i=(0,1).

 

Si definiscono somma e prodotto di due numeri complessi z=(a,b) \mbox{ e } w=(c,d) nel modo seguente:

 

z+w=(a,b)+(c,d)=(a+c, b+d)

 

zw=(a,b)(c,d)=(ac-bd, bc+ad)

 

ma avremo modo di parlarne nel dettaglio nella lezione sulle operazioni con i numeri complessi.

 

Elemento neutro, opposto ed inverso di un numero complesso

 

Nell'insieme dei numeri reali sappiamo che 0 \mbox{ e } 1 sono gli elementi neutri rispetto alla somma ed al prodotto e, se a è un numero reale diverso da zero, -a è il suo opposto e \frac{1}{a}=a^{-1} è il suo inverso (o reciproco).

 

Anche nell'insieme dei numeri complessi possiamo definire tali quantità. In particolare:

 

(0,0) è l'elemento neutro rispetto alla somma e, graficamente, coincide con l'origine degli assi del piano complesso.

 

(-a,-b) è l'opposto del numero complesso (a,b); graficamente l'opposto di un numero complesso è il simmetrico rispetto all'origine degli assi.

 

(1,0) è l'elemento neutro rispetto al prodotto;

 

z^{-1}=\left(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2}\right) è l'inverso moltiplicativo di z=(a,b).

 

Infine, dato il numero complesso z=(a,b) si definisce complesso coniugato di z e si indica con \overline{z} il numero complesso \overline{z}=(a,-b). Da un punto di vista grafico il coniugato di un numero complesso è il suo simmetrico rispetto all'asse delle ascisse.

 

Confronto tra numeri complessi

 

Due numeri complessi si dicono uguali se la parte reale e la parte immaginaria coincidono, ossia

 

(a,b)=(c,d) \iff a=c \mbox{ e } b=d

 

Però, a differenza di quanto accadeva per l'insieme dei numeri reali, non è possibile confrontare due numeri complessi ossia stabilire se uno è maggiore o minore di un altro. Esprimiamo questa proprietà dicendo che l'insieme dei numeri complessi non è un insieme ordinato.

 

Chiudiamo questa lezione introduttiva sui numeri complessi con un piccolo paragrafo dedicato a chi ha già avuto modo di studiare un po' di Algebra astratta.

 

Campo dei numeri complessi

 

Dopo aver introdotto l'insieme \mathbb{C}=\mathbb{R}^2 dei numeri complessi, abbiamo definito le due operazioni interne di somma e prodotto che d'ora in poi indicheremo, rispettivamente, con + \mbox{ e } \cdot. Osserviamo che:

 

\bullet \ (\mathbb{C},+) è un gruppo abeliano, infatti la somma tra numeri complessi gode della proprietà commutativa e della proprietà associativa, inoltre esiste l'elemento neutro (0,0) e l'opposto (-a,-b) di ogni numero complesso (a,b).

 

\bullet \ (\mathbb{C}-\{(0,0)\},\cdot) è anch'esso un gruppo abeliano;

 

La moltiplicazione è distributiva rispetto alla somma, ossia

 

\bullet \ (a,b)\cdot [(c,d)+(e,f)]=[(a,b)\cdot (c,d)]+[(a,b)\cdot (e,f)]

 

Tutto questo ci porta a concludere che (\mathbb{C},+,\cdot) è un campo, detto campo dei numeri complessi.

 

In un campo ordinato tutti i quadrati devono essere maggiori o uguali a zero, mentre in \mathbb{C} vale l'uguaglianza i^2=-1. Ciò giustifica quanto scritto in precedenza, ossia che l'insieme dei numeri complessi non è un insieme ordinato.

 

 


 

Per questa lezione è tutto! Se è la prima volta che sentite parlare di numeri complessi avrete di sicuro le idee un po' confuse. Niente paura, è normale che sia così! Per aiutarvi a prendere maggiore confidenza con i tanti concetti visti in questa lezione vi proponiamo una scheda di esercizi correlati che potete raggiungere con un click sull'icona in basso. ;)

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Esercizi correlati..............Lezione successiva


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