Limite finito per x tendente a un valore infinito

Occupiamoci di introdurre il terzo dei quattro tipi di limite cui abbiamo accennato nell'articolo sul concetto di limite. Si tratta sostanzialmente di dare un significato alla scrittura

 

\lim_{x\to \infty}{f(x)}=c

 

dove \infty può avere segno positivo o negativo. f è al solito una funzione reale di variabile reale, f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, che qui dobbiamo supporre con dominio illimitato. In caso contrario non avrebbe senso parlare di limite per x tendente ad un valore infinito per funzioni con dominio un intervallo (a,b) limitato!

 

Intanto: perchè si introduce questo limite? Per conoscere il comportamento della funzione considerata all'infinito. Non avrebbe alcun senso infatti cercare di effettuare una valutazione del tipo f(+\infty)..

 

Vediamo un paio di esempi?

 

 

Esempio 1

 

La funzione

 

f(x)=\frac{x}{x+1}

 

ha limiti all'infinito

 

\lim_{x\to -\infty}{\frac{x}{x+1}}=+1,\ \ \ \lim_{x\to +\infty}{\frac{x}{x+1}}=+1.

 

In parole povere tale funzione a +\infty e a -\infty si comporta via via come la retta orizzontale y=+1, approssimandosi ad essa.

 

Esempio 2

 

La funzione

 

f(x)=\frac{\ln{x}}{x+2}

 

che ha dominio (0,+\infty), ha limite per x tendente a +\infty dato da

 

\lim_{x\to +\infty}{\frac{\ln{x}}{x+2}}=0^{+}.

 

Ciò significa che essa si approssima per valori sempre più grandi delle x all'asse delle ascisse (retta orizzontale di quota y=0 ). Nel caso che stiamo considerando, tra le altre cose, non è possibile calcolare il limite per x\rightarrow -\infty.

 

Definizione di limite finito per x tendente ad un valore infinito

 

Innanzitutto, nell'ottica dei limiti, è chiaro il significato delle scritture x\rightarrow -\infty e x\rightarrow +\infty: si considera il comportamento della funzione per valori di ascisse x sempre più piccoli e negativi nel primo caso, sempre più grandi e positivi nel secondo.

 

 

x che tende all'infinito

 

Ci siamo, siamo pronti a dare le definizioni rigorose di limite finito per x tendente ad un valore infinito. Dobbiamo distinguere a seconda del segno di infinito cui facciamo tendere la x. A seguire i commenti.

 

Definizione (Limite finito per x tendente a +\infty)

 

Sia f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} una funzione con dominio superiormente illimitato, tale cioè da essere definita in un intorno di +\infty). Diciamo che per x\rightarrow +\infty la funzione tende ad un valore c se per ogni \varepsilon>0 esiste un valore arbitrario M(\varepsilon)>0, dipendente da \varepsilon, tale per cui se x>M risulta che

 

\left|f(x)-c\right|\leq\varepsilon.

 

In simboli:

 

\forall\varepsilon>0\mbox{ }\exists M(\varepsilon)>0\mbox{ tali che se }x>M\mbox{ risulta che }\left|f(x)-c\right|\leq\varepsilon. 

 

La definizione appena data esprime essenzialmente questo: comunque scegliamo una distanza di controllo \varepsilon per le ordinate y, abbiamo un corrispondente valore di controllo sulle ascisse x, che chiamiamo M, e che dobbiamo immaginare come un numero grande.

 

A questo punto comunque prendiamo un'ascissa x>M e vi valutiamo la funzione f(x), otteniamo un'ordinata che dista da c meno di \varepsilon.

 

Graficamente

 

 

Significato grafico di un limite finito per x tendente a più infinito

 

 

Importante: l'espressione

 

\lim_{x\to +\infty}{f(x)}=c

 

garantisce proprio il fatto che, in automatico, scegliendo \varepsilon abbiamo gratis il valore di controllo M. Come avrete già intuito, non c'è alcuna differenza concettuale nel caso in cui x tenda a -\infty.

 

Definizione (Limite finito per x tendente a -\infty)

 

Sia f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} una funzione con dominio inferiormente illimitato, tale cioè da essere definita in un intorno di -\infty). Diciamo che per x\rightarrow -\infty la funzione tende ad un valore c se per ogni \varepsilon>0 esiste un valore arbitrario M(\varepsilon)>0, dipendente da \varepsilon, tali per cui se x<-M risulta che

 

\left|f(x)-c\right|\leq\varepsilon.


In simboli:


\forall\varepsilon>0\mbox{ }\exists M(\varepsilon)>0\mbox{ tali che se }x<-M\mbox{ risulta che }\left|f(x)-c\right|\leq\varepsilon.

 

Non serve nemmeno spendere troppe parole per spiegarla: basta ragionare come nel caso precedente, prendendo però ascisse x che stiano a sinistra di M (x<-M).

 

 

Significato grafico di un limite finito per x tendente a meno infinito

 

 

Ok, a che servono e cosa rappresentano i limiti finiti al tendere di x all'infinito?

 

I limiti finiti per x tendente a valori infiniti si rivelano di fondamentale importanza nello studio di funzione. Infatti, nel caso di funzioni con dominio illimitato (inferiormente, superiormente o entrambe le cose) descrivono un particolare tipo di comportamento delle funzioni agli estremi del dominio. In particolare, un limite del genere individua sempre un asintoto orizzontale (di cui parleremo in una lezione a parte → asintoti orizzontali).

 

Per concludere, dobbiamo fare una precisazione molto utile. Per non parlare troppo in astratto, mettiamoci nel caso di un limite finito (c) per x tendente a +\infty. Nella definizione abbiamo detto che, comunque scelta una distanza di controllo \varepsilon, se prendiamo x oltre il corrispondente valore di controllo delle ascisse, le immagini f(x) distano da c a meno di \varepsilon. Abbiamo espresso questo fatto dicendo:

 

\left|f(x)-c\right|<\varepsilon.

 

Va bene, va bene. Si può però anche specificare se la funzione si approssima alla retta y=c da sotto o da sopra. Nelle figure esplicative le funzioni si avvicinano alle rette orizzontali da sotto.

 

In termini rigorosi, si introducono i limiti per difetto (da sotto) e per eccesso (da sopra), e le definizioni che abbiamo dato si possono specificare ulteriormente sostituendo

 

\left|f(x)-c\right|\leq\varepsilon

 

con

 

c-f(x)\leq\varepsilon nei limiti per difetto; si scrive \lim_{x\to +\infty}{f(x)}=c^{-}

 

f(x)-c\leq\varepsilon nei limiti per eccesso; si scrive \lim_{x\to +\infty}{f(x)}=c^{+}

 

Specificare se il limite è per eccesso o per difetto non è obbligatorio, ma può rivelarsi molto utile specie nello studio delle funzioni e nel tracciare il loro grafico...Wink

 

A proposito, diamo un'occhiata ai grafici delle funzioni degli esempi 1) e 2):

 

Grafico per il primo esempio

Grafico per il secondo esempio

 

"Perchè succede tutto questo?!?! Come si calcolano i limiti?!?! Perchè?!?! Percome?!?!?"

 

Ogni cosa a suo tempo (ed alla propria lezione)...Tongue out Nel frattempo dai un'occhiata agli esercizi correlati, e se qualcosa non fosse chiaro cerca le risposte ai tuoi dubbi con la barra di ricerca interna, o eventualmente apri un topic nel Forum.

 

збогум, see you soon guys!

Agente Ω

 

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Tags: definizione di limite finito per x tendente a un valore infinito, il terzo dei quattro tipi di limite. Lezione molto utile nel contesto di verifica dei limiti con la definizione e per impararne il significato geometrico - per ogni epsilon esiste un M.

 

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