Limiti con Taylor

Per concludere l'elenco dei metodi che possiamo adottare nel calcolo dei limiti ci manca la tecnica più avanzata. I limiti con Taylor si calcolano facendo uso degli sviluppi in serie di Taylor, che sono richiesti solamente nei corsi di Analisi Matematica all'università. Se sei uno studente del liceo puoi dunque leggere questa lezione per pura curiosità. Wink

 

Per tutti coloro ai quali potrebbe essere richiesto di calcolare i limiti con gli sviluppi di Taylor, anticipiamo sin da subito che tale tecnica richiede la piena conoscenza delle derivate e di saper calcolare gli sviluppi di Taylor di una qualsiasi funzione (che lo permetta...).

 

Come calcolare i limiti con Taylor

 

L'idea di base è che il limite di una funzione, ad esempio per x\to x_0, si calcola considerando la variabile x per valori "sempre più vicini a x_0", vale a dire nell'intorno di x_0. D'altra parte quando calcoliamo un limite

 

\lim_{x\to x_0}f(x)

 

se la funzione y=f(x) soddisfa le ipotesi del teorema di Taylor nel punto x_0, sappiamo che possiamo fornirne una rappresentazione polinomiale. Più precisamente possiamo descrivere la funzione come somma di un polinomio di grado finito e di un resto (in questo contesto faremo riferimento esclusivo al resto di Peano).

 

f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2+...+\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)

 

dove f^{(n)}(x_0) indica la valutazione della derivata n-esima di f(x) in x=x_0, mentre il resto o((x-x_0)^n) denota una qualsiasi funzione g(x) tale che

 

\lim_{x\to x_0}\frac{g(x)}{(x-x_0)^n}=0

 

che altri non è se non la definizione di o-piccolo di (x-x_0)^n.

 

Bene! Se sussistono le ipotesi di Taylor, possiamo calcolare il limite per x\to x_0 di f(x) sostituendo ad f(x) l'espressione del suo sviluppo in serie centrato in x=x_0, con un qualsiasi ordine n, anche n=0.

 

\lim_{x\to x_0}[f(x)]=f(x_0)

 

\lim_{x\to x_0}[f(x)+f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)]=f(x_0)

 

e così via. Sembra troppo semplice fin qui, vero? Ora arriva la parte delicata...

 

Quando si calcolano i limiti con Taylor?

 

Abbiamo detto che se valgono le ipotesi del Teorema di Taylor possiamo calcolare \lim_{x\to x_0}f(x) sostituendo f(x) con il suo sviluppo in x=x_0, arrestato ad un ordine qualsiasi. Il centro dello sviluppo deve essere un valore finito.

 

D'altra parte nella stragrande maggioranza dei casi calcolare i limiti ricorrendo agli sviluppi di Taylor sarebbe totalmente inutile (se non addirittura sbagliato). Se abbiamo una funzione continua, o se abbiamo limiti che possiamo calcolare ad esempio con l'Algebra degli infiniti e degli infinitesimi, a che pro perdersi in sviluppi e calcolo di derivate?

 

Ad esempio: se vogliamo risolvere

 

\lim_{x\to 0}(\sin{(x)}+5)

 

procediamo per sostituzione diretta e ricaviamo come risultato 0+5=5. Non avrebbe senso, pur essendo un procedimento corretto, sviluppare il seno in x=0 fino al terzo ordine

 

\sin{(x)}=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)

 

e sostituire lo sviluppo nel limite

 

\lim_{x\to 0}(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)+5)=0

 

perché otterremmo lo stesso risultato. :) Niente paura: c'è solo uno specifico caso in cui ha senso procedere con Taylor nella risoluzione di un limite, e c'è un solo caso in cui è obbligatorio calcolare i limiti con Taylor. Ci avviciniamo al cuore della lezione...

 

Quando ha senso calcolare i limiti con Taylor

 

Se abbiamo una discreta visione d'insieme sulle casistiche che si presentano nel contesto dei limiti, intuiamo subito che l'unico caso in cui converrebbe usare gli sviluppi in serie è quello in cui ci troviamo di fronte ad una forma indeterminata. Quantomeno una forma di indecisione in cui le funzioni coinvolte permettono lo sviluppo in serie di Taylor.

 

Per dare un'idea, una forma del tipo \left[\frac{\infty}{\infty}\right] o [1^{\infty}] consente difficilmente di calcolare gli sviluppi in serie (ci serve almeno la continuità!), mentre se abbiamo una forma indeterminata del tipo \left[\frac{0}{0}\right]

 

\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\left[\frac{0}{0}\right]

 

potremmo sviluppare f(x) e g(x) nell'intorno di x=x_0, e vedere cosa succede.

 

Esempio

 

Supponiamo di voler calcolare il limite \lim_{x\to 0}\frac{\sin{(x)}}{e^{2x}-1}=\left[\frac{0}{0}\right].

 

Sviluppiamo f(x)=\sin{(x)} e g(x)=e^{2x}-1 nell'intorno di x=0, arrestandoci al terzo ordine

 

\sin{(x)}=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)

 

e^{2x}-1=2x+2x^2+\frac{4}{3}x^3+o(x^3)

 

Otteniamo per sostituzione nel limite: \lim_{x\to 0}\frac{x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)}{2x+2x^2+\frac{4}{3}x^3+o(x^3)}=\frac{1}{2}. Abbiamo così modo di constatare che la forma di indecisione si riduce ad un semplice confronto tra infinitesimi: ci limitiamo a considerare gli infinitesimi di ordine inferiore sia a numeratore che a denominatore, e tralasciamo tutto il resto. Ha senso. Wink

 

Attenzione, ora...quale sarebbe stato il procedimento alternativo con cui, prima di questa lezione, avremmo calcolato il limite dell'esempio? Avremmo certamente fatto ricorso ai limiti notevoli!

 

\lim_{x\to 0}\frac{\sin{(x)}}{e^{2x}-1}=\lim_{x\to 0}\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}.

 

La domanda successiva sorge spontanea.

 

Qual è il rapporto tra Taylor e i limiti notevoli?

 

Proprio perché non abbiamo imposto alcun vincolo nell'ordine degli sviluppi, proviamo a risolvere il precedente limite sviluppando le due funzioni al primo ordine:

 

\sin{(x)}=x+o(x)\ ;\ g(x)=e^{2x}-1=2x+o(x)

 

e sostituiamo le due espressioni polinomiali nel limite

 

\lim_{x\to 0}\frac{x+o(x)}{2x+o(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}.

 

Acciderbolins! Surprised I limiti notevoli e gli sviluppi in serie arrestati al primo ordine si assomigliano tantissimo! In realtà non si tratta di un caso fortuito, ed è sintomo di ciò che succede in generale: i limiti notevoli della forma \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{s(x)}=c (con c\neq 0) forniscono proprio lo sviluppo in serie di f(x) al primo ordine.

 

Tale sviluppo è dato da f(x)=c\cdot h(x)+o(h(x)). Ad esempio:

 

\lim_{x\to 0}\frac{\ln{(1+x)}}{x}=1\ \Rightarrow\ \ln{(1+x)}=x+o(x)

 

\lim_{x\to 1}\frac{e^{x-1}-1}{x-1}=1\ \Rightarrow\ e^{x-1}-1=(x-1)+o(x-1)

 

\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^c-1}{x}=c\ \Rightarrow\ (1+x)^c-1=cx+o(x)

 

Provate per esercizio a verificare quanto appena scritto sviluppando le funzioni di qualche limite notevole, e provate a vedere cosa succede. Wink

 

 


 

 

Fin qui la morale della favola è che i limiti notevoli costituiscono un caso particolare dell'utilizzo degli sviluppi di Taylor nel calcolo dei limiti, ove compaiono funzioni sviluppabili nell'intorno dei vari punti.

 

Quando si devono calcolare i limiti con Taylor?

 

Tale domanda potrebbe essere scritta in una forma alternativa: quando devo usare Taylor e non posso usare i limiti notevoli? Cominciamo col definire "primo ordine di sviluppo non nullo" il primo termine non nullo che compare in uno sviluppo di Taylor, ad esempio

 

\sin{(x)}=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)

 

\sin{(x^6)}=x^6-\frac{x^{18}}{6}+o(x^{18})

 

nei rispettivi casi il primo ordine non nullo di sviluppo è x e x^6. Capire quando dobbiamo obbligatoriamente calcolare un limite con Taylor significa capire quando l'applicazione dei limiti notevoli fallisce. Ciò succede nei casi di forme di indecisione del tipo "zero-su-zero" in cui compaiono differenze o somme in cui i primi ordini di sviluppo non nulli si annullano a vicenda. Poco importa che ciò capiti a numeratore, a denominatore o in entrambi:

 

\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)\pm g(x)}{h(x)}\ ;\ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)\pm h(x)}\ ;\ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)\pm g(x)}{h(x)\pm i(x)}

 

È sufficiente che una somma o differenza annulli i primi ordini di sviluppo non nulli per far crollare l'intero castello (dei limiti notevoli). In questi casi siamo obbligati a ricorrere a Taylor, salvo casi rarissimi in cui riusciamo comunque a calcolare il limite con barbatrucchi algebrici alla spera in Dio.

 

Esempi

 

1) \lim_{x\to 0}\frac{\sin{(x)}-\ln{(1+x^2)}}{1-\cos{(x)}}

 

A numeratore abbiamo una differenza e la forma di indecisione è \left[\frac{0}{0}\right], dunque controlliamo i primi ordini non nulli di sviluppo. In parole povere consideriamo i corrispondenti limiti notevoli

 

\sin{(x)}=x+o(x)

 

\ln{(1+x^2)}=x^2+o(x^2)

 

la differenza non annulla i primi ordini non nulli, dunque possiamo ricorrere in tutta tranquillità al calcolo del limite con i limiti notevoli

 

\lim_{x\to 0}\frac{\sin{(x)}-\ln{(1+x^2)}}{1-\cos{(x)}}=\lim_{x\to 0}\frac{x-x^2}{\frac{1}{2}x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{x}{\frac{1}{2}x^2}=\pm\infty.

 

2) \lim_{x\to 0}\frac{x-\sin{(x)}}{x^3}

 

Vediamo subito che i primi ordini non nulli si annullano a numeratore, quindi stando a quanto detto in precedenza non possiamo usare i limiti notevoli. Ci proviamo lo stesso?

 

\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin{(x)}}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{x-x}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{0}{x^3}=0

 

A numeratore avremmo uno zero esatto, dunque non avremmo nemmeno una forma indeterminata. Se invece procediamo con Taylor e sviluppiamo le funzioni della differenza fino al terzo ordine (l'unica da sviluppare è il seno!)

 

\sin{(x)}=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)

 

otteniamo

 

\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin{(x)}}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{x-x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{x^3}{6}}{x^3}=\frac{1}{6}

 

Ehi, funziona! Laughing

 

3) Non farti infartare: se le funzioni coincidono al primo ordine non nullo, ma la somma/differenza non si annulla, non ci sono problemi. In questi casi il primo ordine non nullo di sviluppo sopravvive

 

\lim_{x\to 0}\frac{\sin{(x)}+e^{x}-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{x+x}{x}=2

 


 

Perché si rende necessario l'uso di Taylor per calcolare questo tipo di limiti? Accade perché, nei limiti in cui sono presenti somme o differenze in cui la somma/differenza dei primi ordini non nulli si annulla, tutti gli altri metodi non ci permettono di cogliere le differenze qualitative che sussistono e che scavalcano il primo ordine non nullo di sviluppo. L'unico metodo in grado di coglierle prevede l'uso degli sviluppi di Taylor. I limiti notevoli sono destinati a fallire perché "non vedono nulla" oltre il primo ordine non nullo di sviluppo.

 

A che ordine possiamo fermarci con Taylor?

 

Domanda da un milione di dollari con una risposta semplicissima: quando dobbiamo usare Taylor nei limiti possiamo scegliere un qualsiasi ordine di sviluppo che superi il primo ordine non nullo, per ciascuna delle funzioni coinvolte nella somma/differenza.

 

Ok, grazie tante! Ma ci sarà pure una scelta ottimale che ci permetta di arrivare al risultato e di minimizzare gli sforzi, o no? Sì, c'è: è sufficiente fermare tutti gli sviluppi al secondo ordine di sviluppo non nullo, cioè all'ordine che sopravvive nella somma/differenza.

 

Ad esempio se vogliamo calcolare

 

\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1-\sinh(x)}{1-cos^2{(x)}}

 

possiamo sviluppare f(x)=e^{x}-1 e g(x)=\sinh(x) anche fino al ventisettesimo ordine, ma non gioverebbe granché alla nostra salute

 

e^{x}-1=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)

 

\sinh{(x)}=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)

 

il secondo ordine non nullo di sviluppo (separatamente) è rispettivamente il secondo ordine e il terzo, quindi \frac{x^2}{2} e \frac{x^3}{6}.

 


 

È tutto! Per eventuali dubbi o domande sappiate che abbiamo trattato l'argomento in lungo e in largo, e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca. Se ancora non bastasse, potrete sempre aprire una discussione nel Forum. Wink

 

Namasté, see you soon guys!

Agente Ω

 

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