Teorema degli zeri

Il teorema degli zeri è un importante risultato riguardante le funzioni continue su un intervallo reale chiuso e limitato, che garantisce l'esistenza di almeno uno zero della funzione, cioè di un punto x0 interno all'intervallo in cui y=f(x) si annulla.

 

In questo articolo proponiamo l'enunciato e la dimostrazione del teorema degli zeri, e ne spiegheremo le implicazioni teoriche con particolare riguardo nei confronti della pratica, cioè della risoluzione degli esercizi.

 

Enunciato e dimostrazione del teorema degli zeri

 

Consideriamo una funzione f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, e sia [a,b]\subseteq Dom(f) un intervallo chiuso e limitato (1) contenuto nel dominio della funzione. Supponiamo inoltre che f sia una funzione continua su [a,b] (2), e che essa assuma agli estremi dell'intervallo valori di segno opposto (3), cioè che

 

f(a)\cdot f(b)<0.

 

Allora f ammette almeno uno zero interno ad [a,b], cioè esiste almeno un punto x_0\in (a,b) tale che f(x_0)=0.

 

 

Dimostrazione: il teorema degli zeri ammette svariate dimostrazioni. Noi adotteremo come riferimento quella che va sotto il nome di algoritmo di bisezione, una procedura iterativa (per passi) che nel nostro caso proverà l'esistenza di un punto x_0\in (a,b) in cui la funzione f si annulla.

 

Supponiamo senza ledere in generalità che sia f(a)<0 e f(b)>0; in caso contrario la dimostrazione sarà del tutto analoga. Consideriamo il punto medio x_Mdell'intervallo [a,b], cioè x_M=\frac{a+b}{2}, e valutiamo la funzione in tale punto. In altre parole valutiamo f(x_M). Abbiamo tre possibilità

 

1) f(x_M)=0. In tal caso abbiamo finito!

 

2) f(x_M)<0;

 

3) f(x_M)>0.

 

L'idea è quella di restringere l'intervallo d'azione e di considerare uno dei due sottointervalli in modo tale da preservare la validità delle tre ipotesi del teorema. Sulla continuità e sulla chiusura + limitatezza del sottointervallo non ci sono problemi, d'altra parte è evidente che per scegliere [a,x_M] oppure [x_M,b] dovremo fare riferimento ai valori assunti dalla funzione agli estremi, e quindi dovremo prendere:

 

- nel caso 2) l'intervallo [x_M,b], poiché f(x_M)<0 e f(b)>0;

 

- nel caso 3) l'intervallo [a,x_M], poiché f(a)<0 e f(x_M)>0.

 

Immaginiamo di trovarci nella prima delle due eventualità, cosicché ci riduciamo a lavorare su [x_M,b]. Reiteriamo l'intero procedimento, con la stessa identica logica.

 

Così facendo costruiamo una successione di intervalli inscatolati

 

[a,b]=I_0\superset I_1\superset I_2\superset ...\superset I_n\superset ...

 

e in tale procedimento iterativo abbiamo due possibilità:

 

A) ad un passo k il punto medio dell'intervallo I_k è uno zero della funzione f;

 

B) continuiamo a procedere per bisezione.

 

[Domanda] "Prima o poi" riusciremo a trovare uno zero x_0 per f, cioè un punto tale per cui f(x_0)=0 ? Sì, dimostriamolo!

 

Ad ogni iterazione, cioè nel passaggio da un intervallo I_n al sottointervallo I_{n+1} ottenuto per bisezione, la lunghezza dell'intervallo si dimezza. Se indichiamo con |I_n| la lunghezza dell'intervallo I_n, e con |I_0| la lunghezza dell'intervallo I_0=[a,b], abbiamo

 

|I_n|=\frac{1}{2}|I_{n-1}|=\frac{1}{4}|I_{n-2}|=...=\frac{1}{2^n}|I_0|

 

Chiamiamo gli estremi dell'intervallo I_n rispettivamente a_n e b_n, cioè indichiamo

 

I_0=[a,b]

I_1=[a_1,b_1]

\vdots

I_n=[a_n,b_n]

 

Se consideriamo le successioni \{a_n\}_n e \{b_n\}_n degli estremi degli intervalli \{I_n\}_n è facile vedere che:

 

- \{a_n\}_n è una successione crescente e superiormente limitata (infatti a_n<b per ogni n);

 

- \{b_n\}_n è una successione decrescente e inferiormente limitata (infatti b_n>a per ogni n);

 

trattandosi di successioni monotone rispettivamente crescente e decrescente, ne considereremo rispettivamente l'estremo superiore e inferiore

 

a_{sup}:=sup_n\{a_n\}\ ;\ b_{inf}:=inf_n\{b_n\}

 

Entrambe ammettono un limite finito (in quanto successioni monotone e limitate) e tali limiti coincidono proprio con i rispettivi estremo superiore e inferiore

 

a_{sup}:=\lim_{n\to +\infty}{a_n}\ ;\ b_{inf}:=\lim_{n\to +\infty}{b_n}

 

Dato che a_{sup}\leq b_{inf} e dato che 

 

\lim_{n\to +\infty}(b_n-a_n)=\lim_{n\to +\infty}|I_n|=\lim_{n\to +\infty}\frac{|I_0|}{2^n}=0

 

concludiamo che a_{sup}=b_{inf}. Se esiste uno zero per la funzione f, esso dovrà coincidere necessariamente con il punto x_0=a_{sup}=b_{inf}.

 

Dimostriamo che x0 così costruito è effettivamente uno zero di f. [Attenzione! Questa è la parte della dimostrazione che nel 90% dei casi mette in crisi gli studenti!]

 

Osserviamo che \{f(a_n)\}_n è una successione strettamente negativa (per la nostra ipotesi), mentre \{f(b_n)\}_n è strettamente positiva. Ragioniamo per assurdo, e consideriamo f(x_0). Sappiamo per continuità di f che

 

\lim_{n\to +\infty}f(a_n)=f(x_0)\ ;\ \lim_{n\to +\infty}{f(b_n)}=f(x_0)

 

Se per assurdo fosse f(x_0)<0 cadremmo in contraddizione con il teorema della permanenza del segno, perché il limite della successione \{f(b_n)\} non può essere negativo. Di contro, se fosse f(x_0)>0 cadremmo in contraddizione con la permanenza del segno per il limite di \{f(a_n)\}.

 

L'unica possibilità è che sia f(x_0)=0, da cui la tesi.

 

Osservazioni importanti sul teorema degli zeri

 

Come già accennato, l'unico punto che tipicamente crea dubbi e problemi è la conclusione della dimostrazione. In particolare ciò che trae in inganno è il riferimento al teorema della permanenza del segno, perché si è erroneamente portati a pensare che una successione di termini positivi (o negativi) debba avere limite positivo (o negativo). Non è così! Il teorema della permanenza del segno dice che una successione a termini positivi non può avere limite negativo, e che una successione a termini negativi non può avere limite positivo.

 

Un esempio? La successione \left\{\frac{1}{n}\right\}_n ha tutti i termini positivi, e ha limite zero. :)

 

Osservazione (Esistenza di almeno uno zero)

 

Attenzione anche a non scambiare fischi per fiaschi: il teorema degli zeri stabilisce che esiste almeno uno zero nell'intervallo dato, e NON un solo zero! Se una funzione soddisfa le ipotesi del teorema degli zeri potrebbe avere poi due, tre, quarantotto o millemila zeri interni all'intervallo, ma non è di questo che si occupa il succitato teorema: esso si preoccupa solamente dell'esistenza di almeno uno zero, e non del numero di zeri.

 

Esempio sul teorema degli zeri

 

1) La funzione f(x)=x+2 ammette almeno uno zero in [-8,+10] ? Sì, perché soddisfa le ipotesi del teorema degli zeri. Infatti...

 

- f è continua in tutto il suo dominio, che è l'intero asse reale, dunque in particolare lo è sull'intervallo dato;

 

- l'intervallo considerato è chiuso e limitato;

 

- La funzione assume agli estremi dell'intervallo valori di segno opposto, infatti f(-8)=-6<0 e f(+10)=12>0.

 

2) (Almeno uno zero, ma non so quanti) La funzione g(x)=\sin{(x)} ammette sull'intervallo \left[\frac{\pi}{2},\frac{11\pi}{2}\right] almeno uno zero, piché soddisfa le ipotesi del teorema degli zeri. In realtà essa ammette più di uno zero, e il teorema non ci dice quanti ce ne sono.

 

3) (Attenzione ai falsi negativi) L'ultimo esempio riguarda un ulteriore, importante aspetto da tenere presente. Il teorema esprime una condizione sufficiente e NON necessaria e sufficiente per l'esistenza di almeno uno zero.

 

Questo significa in soldoni che se le sue ipotesi sono soddisfatte allora la funzione ammette certamente almeno uno zero; se però le ipotesi non sono soddisfatte, non è detto che la funzione non ammetta comunque uno zero interno all'intervallo. Un classico esempio è dato da h(x)=\sin{(x)} su \left[\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{2}\right]. In tale intervallo abbiamo almeno uno zero per f (in realtà due: x_1=\pi,\ x_2=2\pi) però non sono soddisfatte le ipotesi del teorema essendo

 

f\left(\frac{\pi}{2}\right)>0\ ;\ f\left(\frac{5\pi}{2}\right)>0.

 


 

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Agente Ω

 

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