Limite infinito per x tendente a un valore finito

Passiamo alla presentazione del secondo caso che si può incontrare quando si calcola un limite per x tendente a un valore finito, vale a dire quando x\rightarrow x_{0} con -\infty limite finito per x tendente a un valore finito abbiamo considerato il caso in cui \lim_{x \to x_{0}}{f(x)}=c, dove f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} è al solito una funzione reale di variabile reale. Qui ci preoccupiamo invece del caso

 

\lim_{x \to x_{0}}{f(x)}=\pm\infty

 

Dove il limite, anziche assumere un valore finito c il limite per x\rightarrow x_{0} assume valore +\infty oppure -\infty

 

 

In questo contesto il limite che stiamo considerano "ha più senso" rispetto al caso in cui il valore assunto dal limite è finito. Questo perché mentre nel caso di limite finito per x tendente a un valore finito gli studenti hanno la tendenza a confondere il limite con la valutazione della funzione nel punto cui tende la x, qui già dai primi esempi risulta chiaro che effettuare la valutazione della funzione nel punto x_{0} cui tende la x non è possibile.

 

Esempio 1


Se calcoliamo il

 

\lim_{x\to +1}{\frac{x+2}{(x-1)^2}}

 

non è possibile effettuare la valutazione della funzione f(x)=\frac{x+2}{(x-1)^2} nel punto x=+1, in quanto questo non appartiene al dominio. Infatti abbiamo che Dom(f)=(-\infty,+1)\cup(+1,+\infty). Saper calcolare questo tipo di limite ci permetterà però di dire che il risultato è

 

\lim_{x\to +1}{\frac{x+2}{(x-1)^2}}=+\infty.

 

Esempio 2


Consideriamo il

 

\lim_{x\to 0^+}{\ln(x)}

 

che è un limite da destra. Sappiamo che non è possibile valutare la funzione logaritmo naturale in x=0, poichè ha dominio (0,+\infty). Vedremo però che il calcolo del limite ci darà come risultato

 

\lim_{x\to 0^+}{\ln(x)}=-\infty.

 

Definizione di limite infinito per x tendente ad un valore finito

 

Come nel caso finito, la necessità di introdurre il concetto di limite è dovuta al fatto che ci permette di risolvere problemi in cui non avremmo soluzioni alternative. Questa è la risposta alla domanda che frulla in testa ad alcuni: "ma-a-me-che-me-ne-frega?".

 

Il tipo di limite che stiamo ora trattando, in particolare, ci permetterà di dire come si comporta una funzione in prossimità dei punti che sono esclusi dal dominio, come ad esempio nel caso di una funzione y=f(x) con dominio del tipo [a,x_{0})\cup (x_{0},b]. Quanto vale f(x_{0})? Non puoi dirlo, ma con il limite infinito per x tendente ad un valore finito, puoi sapere come si comporta la funzione nell'intorno di quel punto.

 

Bando alle chiacchere. Ci sono 4 possibili casi in cui si può manifestare un limite infinito per x tendente a un valore finito x_{0}, soprattutto alla luce del fatto che a sinistra e a destra del punto x_{0} possiamo avere infinito con segni diversi.

 

Sia f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\mbox{ }y=f(x) una funzione e prendiamo un punto -\infty

 

Definizione (limite +\infty a sinistra e a destra per x tendente ad un valore finito)

 

Diciamo che per x tendente a x_{0} la funzione f(x) tende a +\infty se per ogni valore M>0 esiste un valore \delta(M), che dipende da M precedentemente scelta, tale che se si considera |x-x_{0}|<\delta allora risulta che f(x)>M.


Esempio grafico limite infinito per x tendente a un valore finito

 

Nel primo caso si vede come la definizione richiede che, comunque si prende un valore M di controllo sulle ordinate, a questo corrisponderà un valore \delta di controllo sulle ascisse tale che prendendo le ascisse x che distano da x_{0} meno di \delta, allora le corrispondenti immagini f(x) si troveranno al di sopra di M.

 

Definizione (limite -\infty a sinistra e a destra per x tendente ad un valore finito) 

 

Diciamo che per x tendente a x_{0} la funzione f(x) tende a -\infty se per ogni valore M>0 esiste un valore \delta(M), che dipende da M precedentemente scelta, tale che se si considera |x-x_{0}|<\delta allora risulta che f(x)<-M.

 

Esempio di limite che vale meno infinito al tendere di x a un valore finito

 

Qui la logica è esattamente la stessa, rispetto al caso precedente, solo che le ascisse x che distano da x_{0} meno di \delta devono avere immagini f(x) che si trovano al di sotto del valore -M, ossia f(x)<-M.

 

 

Definizione (limite +\infty a sinistra, -\infty a destra per x tendente ad un valore finito)

 

Diciamo che per x tendente a x_{0} la funzione f(x) tende a +\infty a sinistra e -\infty a destra se per ogni valore M>0 esiste un valore \delta(M), che dipende da M precedentemente scelta, tale che se si considera x_{0}-x<\delta (sinistra) allora risulta che f(x)>M, mentre se si considera x-x_{0}<\delta (destra) allora risulta che f(x)<-M.

 

Esempio di limite infinito con segno più e meno a sinistra e a destra di un valore finito

 

In questo caso il comportamento della funzione a sinistra di x_{0} è l'esatto opposto rispetto a quanto accade a destra. Se infatti prendiamo un'ascissa x a sinistra di x_{0}, e sempre distante meno di \delta da x_{0} allora l'immagine f(x) corrispondenti deve trovarsi al di sopra di M. Se invece l'ascissa x si trova a destra di x_{0} e meno distante da esso di \delta, allora l'immagine corrispondente deve trovarsi al di sotto di -M.


Attenzione al fatto che qui non si usa più il valore assoluto nella differenza |x-x_{0}|<\delta ma si distingue e scrive x_{0}-x<\delta per dire che la x è a sinistra di x_{0}, mentre si scrivex-x_{0}<\delta per dire che la x è a destra di x_{0}!

 

Perchè? Perchè \delta è un valore positivo e  quindi anche la differenza deve essere positiva...

 

Definizione (limite -\infty a sinistra, +\infty a destra per x tendente ad un valore finito)

 

Diciamo che per x tendente a x_{0} la funzione f(x) tende a:
-\infty a sinistra e +\infty a destra se per ogni valore M>0 esiste un valore \delta(M), che dipende da M precedentemente scelta, tale che se si considera x_{0}-x<\delta (sinistra) allora risulta che f(x)<-M , mentre se si considera x-x_{0}<\delta (destra) allora risulta che f(x)>M.


Limite che vale meno infinito a sinistra di un valore finito e più infinito a destra

 

Qui accade invece l'esatto opposto di quanto capita nel terzo caso!

 


 

Negli esercizi correlati potrai trovare degli esempi di limiti infiniti per x tendente a valote finito, verificati mediante le definizioni precedenti.

 

Se qualcosa non fosse chiaro non esitare! Cerca le risposte ai tuoi dubbi con la barra di ricerca interna ed eventualmente apri una discussione nel Forum!

 

 

Zbohom, see you soon guys!

Agente Ω

 

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Tags: definizione di limite infinito per x tendente a un valore finito, il secondo dei quattro tipi di limite. Lezione molto utile nel contesto di verifica dei limiti con la definizione e per impararne il significato geometrico - per ogni N esiste un delta.

 

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