Definizione di limite finito per x tendente a un valore finito

In questo articolo trattiamo la definizione di limite nel primo dei quattro casi presentati nell'articolo il concetto di limite di funzione, e nel frattempo cerchiamo di prendere confidenza con questa nuova operazione. In particolare, daremo un senso alla scrittura di limite per x tendente ad un valore x_{0} finito


\lim_{x\rightarrow{x_{0}}}{f(x)}=c

 

che assume un valore finito c.

 

Definizione di limite finito con x tendente a un valore finito

 

Cominciamo con le cose banali: intanto f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}} è una funzione reale di variabile reale.

 

Cosa indica la scrittura x\rightarrow x_{0}? Significa che stiamo considerando valori di x sempre più vicini al punto x_{0}, e avvicinandoci ad esso stiamo effettuando le valutazioni f(x).

 

Obiezione: non si fa prima a calcolare direttamente la valutazione della funzione nel punto, cioè f(x_{0})? Dipende, perchè non sempre è possibile effettuare tale valutazione, e il concetto di limite viene introdotto proprio per sopperire a questa mancanza.

 

Anche in questo caso vi è richiesto un atto di fiducia almeno per il momento, ma un paio di esempio possono darvi un'idea.

 

Esempio 1

 

Se vogliamo calcolare \lim_{x\rightarrow{-2}}{x^2}, tale limite vale 4 e calcolarlo è la stessa identica cosa che valutare la funzione nel punto -2, vale a dire f(-2)=4. Il limite precedente vale esattamente 4.

 

Esempio 2


Se invece vogliamo calcolare \lim_{x\rightarrow{0}}{\frac{x}{\ln(x)}}, vi anticipiamo che tale limite vale 0. Riuscite a calcolare la valutazione della funzione f(x)=\frac{x}{\ln(x)} in 0? Proprio no, perché il logaritmo naturale non è definito in zero...

 

 


 

 

Torniamo a noi. Quando abbiamo di fronte un limite del tipo \lim_{x\rightarrow{x_{0}}}{f(x)}, abbiamo detto che il significato intuitivo è quello di effettuare valutazioni di f(x) immaginando che la x si avvicini via via al punto x_{0}, sia arrivando da sinistra che da destra di x_{0}

 

x tendente a x con 0

 

Ricordatevi sempre che poi, nella pratica, x_{0} sarà uno specifico valore (3, -6, 1, 11121, e...)!

 

A che diavolo serve il limite finito per x tendente a un valore finito? Come tutti i limiti, serve ad ampliare l'operazione di valutazione di una qualsiasi funzione in un punto x_{0}, anche ai casi in cui questa non sia possibile. Moralmente questo avviene perchè il limite, a differenza della semplice valutazione di f(x) in un punto x_{0} (cioè sostituzione di x_{0} al posto della x nell'espressione di f(x)), si occupa di studiare l'andamento della funzione nell'avvicinarsi al punto. Dunque è uno strumento ben più completo della valutazione: ecco perché ti costringono a studiare i limiti!

 

Diamo la definizione, di cui i novizi non capiranno niente all'inizio Wink

 

Definizione (limite finito per x tendente a un valore finito)


Prendiamo una funzione f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, y=f(x) e un punto x_0. Diciamo che per x tendente a x_{0} la funzione f(x) tende al valore c, e scriviamo

 

\lim_{x\rightarrow{x_{0}}}{f(x)}=c

 

se per ogni valore \varepsilon>0 esiste un valore \delta(\varepsilon)>0, che dipende dall' \varepsilon precedentemente scelto, tale che ogni volta che prendo


0<\left|x-x_{0}\right|<\delta risulta che \left|f(x)-c\right|<\varepsilon

 

In simboli


\lim_{x\rightarrow x_{0}}{f(x)}=c \mbox{ se }\forall \varepsilon>0,\,\, \exists \delta(\varepsilon)>0 \mbox{ tale che se } \left|x-x_{0}\right|<\delta

\mbox{ allora risulta che }\left|f(x)-c\right|<\varepsilon

 

Analisi della definizione di limite finito per x tendente a un valore finito

 

Vediamo cosa significa la precedente definizione, anche con qualche esempio. Scomponiamo la definizione pezzo per pezzo.

 

"se per ogni valore \varepsilon>0...":

 

il valore \varepsilon è arbitrario, ed è un parametro che usiamo per controllare la differenza sulle ordinate y, cioè le immagini mediante f. Iniziamo quindi con lo scegliere un valore \varepsilon positivo e libero.

 

"...esiste un \delta(\varepsilon)>0...":

 

la proprietà di esistenza del limite finito (cioè con valore c finito) per x tendente a un valore finito ( x_{0}) è data dall'esistenza di un valore \delta che qui non è preso a caso, ma è determinato dall' \varepsilon inizialmente scelto.

 

OCCHIO: la proprietà che ci richiede la definizione è che ad una scelta libera di \varepsilon corrisponda in automatico un valore \delta correlato a quell' \varepsilon scelto liberamente.

 

Che ce ne facciamo del \delta(\varepsilon) ? Ci servirà per effettuare un controllo di distanza tra i valori delle ascisse.

 

"...tale che ogni volta che prendo 0<\left|x-x_{0}\right|<\delta...":

 

ora stiamo dicendo che se prendiamo un'ascissa x che dista da x_{0} meno di quel \delta ottenuto in precedenza...

 

"risulta che \left|f(x)-c\right|<\varepsilon.":

 

allora avremo un'ordinata f(x) corrispondente a quella x che disterà dal valore c meno di \varepsilon.

 

Riassumendo: diciamo che c, valore finito, è il limite per x tendente a x_{0} (ascissa finita) se comunque scegliamo una distanza \varepsilon liberamente esiste una distanza \delta vincolata da \varepsilon per cui, SE prendiamo la x distante da x_{0} meno di \delta, allora l'ordinata f(x) dista da c meno di \varepsilon.

 

Ecco come si presenta la situazione con un esempio grafico.

 

Limite finito per x tendente a un valore finito

 

Notate che il processo logico per la definizione di limite finito (il risultato del limite: c) per x tendente a un valore finito x_{0} prevede i seguenti passaggi:

 

  1. prendo distanza di controllo ordinate;
  2. ho una corrispondente distanza di controllo sulle ascisse;
  3. prendo una x entro la distanza delle ascisse dal punto x_{0};
  4. ho un'immagine f(x) entro la distanza delle ordinate dal valore f(x_{0});

 

Notate poi che nella definizione le distanze compaiono con il valore assoluto perchè la x può trovarsi sia a sinistra che a destra di x0, e il valore f(x) può trovarsi sia sopra che sotto f(x0).

 

Esempio


Consideriamo la funzione

 

y=f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}.

 

Vogliamo verificare che

 

\lim_{x\rightarrow 1}{\frac{x^2-1}{x-1}}=2.

 

Intanto notiamo che non possiamo valutare direttamente la funzione considerata in x=1, che non rientra nel suo dominio.

 

Comunque scegliamo un valore \varepsilon>0, esiste un corrispondente \delta che soddisfa la definizione? Ricordiamo che il \delta dipenderà da \varepsilon, per questo si è soliti indicare \delta(\varepsilon).

 

Per vederlo, imponiamo la disequazione "finale"

 

\left|\frac{x^2-1}{x-1}-2\right|<\varepsilon

 

che si traduce in

 

\left|\frac{x^2-1-2x+2}{x-1}\right|<\varepsilon

 

\left|\frac{x^2-2x+1}{x-1}\right|<\varepsilon

 

scomponiamo il numeratore con la regola del quadrato di un binomio, e poi semplifichiamo per (x-1)

 

\left|x-1\right|<\varepsilon

 

Esprimiamo la disuguaglianza in modulo come una doppia disuguaglianza:

 

1-\varepsilon<x<1+\varepsilon

 

Dunque, comunque scelgo \varepsilon, esiste un corrispondente \delta che rende vera la proprietà richiesta nella definizione? Sì, basta prendere \delta=\varepsilon!

 


 

Gli altri tre casi sui limiti, di cui abbiamo accennato nell'articolo introduttivo, verranno presentati in altre lezioni. Naturalmente, una volta capite le definizioni, presenteremo delle tecniche di calcolo dei limiti veloci senza ricorrere alle definizioni...l'importante, al solito, è fare esercizi e imparare a riconoscere al volo il caso che ci si presenta davanti. Vale poi la solita regola: non abbiate la pretesa di capire tutto e subito! Il più delle volte non si riesce a capire un concetto perchè ci si distrae, pensando ai suoi utilizzi oppure perchè si vuole arrivare la traguardo senza prima fare il percorso: non è così che si fa e non è così che funziona!

 

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Hwyl fawr, see you soon guys!

Agente Ω

 

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Tags: definizione di limite finito per x tendente a un valore finito, il quarto dei quattro tipi di limite. Lezione molto utile nel contesto di verifica dei limiti con la definizione e per impararne il significato geometrico - per ogni epsilon esiste un delta.

 

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