Cosa sono i limiti di funzioni?

In Matematica il concetto di limite è tanto oscuro all'inizio, quanto utile una volta compreso. Il nostro obiettivo in questo articolo è, attraverso una chiacchierata non troppo rigorosa, capire come il limite non sia nient’altro che un nuovo tipo di operazione. Questa ci fornirà informazioni certe, per niente oscure, riguardanti l’andamento della funzione di cui vogliamo tracciare il grafico.

 

Il concetto di limite di una funzione

 

Prima di porci il problema dei limiti cerchiamo di capire quando questi personaggi vengono chiamati in gioco. Se vogliamo studiare una funzione reale di variabile reale, questa sicuramente avrà un dominio (al più l’intera retta reale, che comunque non include i suoi estremi \pm\infty).

 

 

Come si comporta la funzione nei punti di frontiera del dominio? Cerchiamo di intepretare questa frase: il domino di una funzione è un sottoinsieme di \mathbb{R} su cui la funzione è definita, i suoi punti di frontiera sono quelli che delimitato il sottoinsieme all’interno della retta reale, in pratica sono il bordo del sottoinsieme.

 

Facciamo un esempio: consideriamo un insieme che sia unione di tre intervalli E=E_1\cup E_2\cup E_3\subseteq\mathbb{R} come in figura:

 

Insieme per introdurre il concetto di limite

 

La frontiera in questo caso è data dai punti: \{a,b,c,d,e,f\} sulla retta reale.

 

Ora, come facciamo a sapere quale sia il comportamento della nostra funzione nei punti in cui non è definita? Utilizziamo l’operazione di limite, cioè quell’operazione che non ha come entrate due fattori come la moltiplicazione, o due addendi come la somma, bensì la funzione che è oggetto del nostro studio e il posto dove vogliamo studiarla.

 

Detto in soldoni, il limite ci permette di fingere che la funzione sia definita anche in quei punti e conseguentemente di capirne l’andamento. In matematica l’operazione di limite si scrive

 

\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)

 

e si legge limite per x che tende a "x-con-zero" di f(x).

 

x_0 è il punto (il posto), dove vogliamo calcolare il limite, mentre f(x) è la funzione che vogliamo studiare.

 

Perché si dice limite per x che tende a qualcosa? Ricordate che stiamo trattando con valori che stanno sulla frontiera del dominio, cioè dei valori in cui la funzione non è definita. Per questo motivo per un matematico sarebbe un’eresia dire limite per x= qualcosa , perché in quel punto la funzione non esiste!

 

Domande preliminare sul concetto di limite di una funzione

 

Giunti fino a qui è d’obbligo domandarsi quando è possibile utilizzare questa operazione, in sostanza dobbiamo rispondere alle due domande che seguono:

 

1. A quali punti dell’asse reale possiamo fare tendere x per calcolare il limite della funzione? La risposta è: a qualunque punto, \pm\infty compresi.

 

2. Quali risultati può dare l’operazione di limite? La particolarità del limite è che può dare come risultato sia un numero reale che \pm\infty.

 

La domanda che segue logicamente a quelle precedenti è: con quali tipi di limite possiamo avere a che fare?

 

I) limite di f(x) per x che tende a un valore finito che dà un risultato finito;

 

\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=c.

 

II) limite di f(x) per x che tende a un valore finito che dà un risultato infinito;

 

\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\pm\infty

 

III) limite di f(x) per x che tende a infinito che dà un risultato finito;

 

\lim_{x\rightarrow\pm\infty}f(x)=c

 

IV) limite di f(x) per x che tende a infinito che dà un risultato infinito.

 

\lim_{x\rightarrow \pm\infty}f(x)=\pm\infty

 

Potete trovare definizioni rigorose, esempi e ulteriori spiegazioni per ognuno dei punti trattati sopra nelle lezioni successive:

 

Limite finito per x tendente a un valore finito

Limite infinito per x tendente a un valore finito

Limite finito per x tendente a un valore infinito

Limite infinito per x tendente ad un valore infinito

 

 


 

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Lezione successiva


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