Teorema della permanenza del segno

Il teorema della permanenza del segno è un risultato della teoria dei limiti il quale asserisce che, se il limite di una funzione è diverso da zero, allora la funzione è localmente concorde con il limite.

 

In questa lezione analizzeremo il teorema della permanenza del segno per le funzioni e ne forniremo una dimostrazione in cui utilizzeremo la definizione di limite nella versione \varepsilon-\delta. Esamineremo inoltre in che modo può intervenire nella risoluzione pratica degli esercizi.

 

Prima di portare a termine la lezione esporremo due corollari del teorema: l'inverso del teorema della permanenza del segno, e il teorema della permanenza del segno per funzioni continue.

 

Teorema della permanenza del segno

 

Il teorema della permanenza del segno è un risultato teorico di tipo esistenziale. Esso infatti assicura l'esistenza di un intorno di un punto c in cui una funzione f(x) è concorde con il limite di f(x) per x\to c, a patto che tale limite sia diverso da zero.

 

Enunciato del teorema della permanenza del segno

 

Consideriamo una funzione f(x) con dominio \mbox{dom}(f) e sia c\in \overline{\mathbb{R}} un punto di accumulazione per il dominio. Se il limite per x\to c di f(x) è uguale a \ell\in\overline{\mathbb{R}}, allora esiste un intorno (eventualmente bucato) di c contenuto nel dominio di f(x) in cui la funzione assume lo stesso segno del limite.

 

Nell'enunciato appena scritto \overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}. In particolare:

 

- se il limite \ell è positivo allora esiste un intorno (eventualmente bucato) I_{c} contenuto nel dominio di f(x) in cui la funzione è positiva

 

\lim_{x\to c}f(x)=\ell>0\implies f(x)>0\ \mbox{ per ogni }x\in I_{c}

 

- se il limite \ell è negativo allora esiste un intorno (eventualmente bucato) I_{c} contenuto nel dominio di f(x) in cui la funzione è negativa

 

\lim_{x\to c}f(x)=\ell<0\implies f(x)<0\ \ \ \mbox{ per ogni }x\in I_{c}

 

Osserviamo che il teorema non pretende la finitezza del limite, né la finitezza del punto di accumulazione. Le ipotesi del teorema della permanenza del segno sono essenzialmente due:

 

- il limite per x\to c di f(x) deve esistere, finito o infinito;

 

- il limite per x\to c di f(x) deve essere diverso da zero.

 

Osserviamo inoltre che il teorema della permanenza del segno vale anche quando si prendono in considerazione il limite destro e il limite sinistro per x\to c\in\mathbb{R}.

 

Dimostrazione del teorema della permanenza del segno

 

Proponiamo la dimostrazione del teorema sulla permanenza del segno considerando il caso in cui siano finiti sia il limite \ell, sia il punto di accumulazione c. È chiaro che in questo contesto interverrà la definizione di limite finito per x che tende a un valore finito.

 

Ribadiamo che il teorema continua a valere anche con le altre tipologie di limiti (limite finito all'infinito, limite infinito al finito, limite infinito all'infinito) e le dimostrazioni possono essere costruite sulla falsariga di quella che segue, semplicemente modificando la definizione di limite da applicare.

 

 

Dimostrazione

 

Per ipotesi sappiamo che esiste finito e diverso da zero il limite:

 

\lim_{x\to c}f(x)=\ell\ \mbox{ con }\ \ell\ne 0

 

La definizione di limite assicura che per ogni numero reale positivo \varepsilon>0 riusciamo a determinare un altro numero reale positivo \delta_{\varepsilon}>0, tale che se x\in\mbox{dom}(f) soddisfa la doppia disuguaglianza 0<|x-c|<\delta_{\varepsilon} allora

 

|f(x)-\ell|<\varepsilon

 

Grazie alla teoria delle disequazioni con valore assoluto possiamo esprimere la disequazione appena scritta nella forma equivalente:

 

-\varepsilon<f(x)-\ell<\varepsilon

 

Sommiamo membro a membro \ell così da ottenere:

 

\ell-\varepsilon<f(x)<\ell+\varepsilon

 

Osserviamo che questa relazione vale per ogni \varepsilon; abbiamo pertanto la possibilità di sceglierne il valore, a patto che sia maggiore di zero. Una scelta furba consiste nel porre

 

\varepsilon=\frac{|\ell|}{2}

 

La scelta fatta su \varepsilon è lecita perché per ipotesi \ell\ne 0, e la presenza del valore assoluto fa sì che |\ell|>0. Per tale \varepsilon esiste \delta_{\varepsilon}>0 tale che se x\in\mbox{dom}(f) e 0<|x-c|<\delta_{\varepsilon}, allora risulta che

 

\ell-\frac{|\ell|}{2}<f(x)<\ell+\frac{|\ell|}{2}

 

Notiamo che la condizione 0<|x-c|<\delta_{\varepsilon} definisce l'intorno bucato di cui dobbiamo mostrare l'esistenza.

 

Per ipotesi sappiamo che \ell è diverso da zero, dunque può essere o positivo oppure negativo.

 

Se \ell>0 allora la definizione di valore assoluto ci assicura che |\ell|=\ell e dunque la relazione precedente diventa:

 

\ell-\frac{\ell}{2}<f(x)<\ell +\frac{\ell}{2}

 

Sommiamo i termini simili

 

\frac{\ell}{2}<f(x)<\frac{3\ell}{2}

 

Nel caso che stiamo analizzando \ell è positivo, pertanto lo è anche \frac{\ell}{2}. Possiamo dunque asserire che esiste un intorno di c in cui la funzione f(x) è positiva, in quanto maggiore di una quantità positiva. In simboli

 

0<\frac{\ell}{2}<f(x)\ \ \mbox{ per ogni }x\mbox{ tale che }0<|x-c|<\delta_{\varepsilon}

 

Nel caso in cui il limite \ell fosse negativo, risulterebbe |\ell|=-\ell e sostituendola nella relazione

 

\ell-\frac{|\ell|}{2}<f(x)<\ell+\frac{|\ell|}{2}

 

otterremmo

 

\\ \ell+\frac{\ell}{2}<f(x)<\ell-\frac{\ell}{2}\\ \\ \frac{3}{2}\ell<f(x)<\frac{\ell}{2}

 

Poiché \ell è negativo allora lo sarà anche \frac{\ell}{2}. Possiamo così concludere che esiste un intorno di c in cui f(x) è negativa, perché minore di una quantità negativa. In termini più formali:

 

f(x)<\frac{\ell}{2} \ \ \mbox{ per ogni }x\mbox{ tale che }0<|x-c|<\delta_{\varepsilon} 

 

e ciò conclude la dimostrazione.

 

Utilità del teorema della permanenza del segno

 

Il teorema della permanenza del segno fornisce una condizione sufficiente affinché una funzione sia localmente positiva (negativa), e di riflesso:

 

- permette di mostrare l'esistenza di intervalli in cui una data disequazione è soddisfatta;

 

- permette di confrontare localmente due funzioni.

 

Gli studenti che hanno iniziato da poco lo studio dei limiti non possono apprezzare a dovere la potenza del teorema perché ancora non percepiscono l'utilità di studiare localmente il segno di una funzione. Se è questo il vostro caso, abbiate fede perché è un teorema che tornerà utile nel prosieguo dei vostri studi. ;).

 

Esso servirà, ad esempio, per indebolire le ipotesi del teorema degli zeri e a verificare le ipotesi per criteri di convergenza degli integrali impropri. ;)

 

Esempio sull'uso del teorema della permanenza del segno

 

Dimostrare che esiste un intervallo reale in cui la disequazione

 

3x^7<-2x^5-2x^3-1

 

è verificata per qualche x\in\mathbb{R}.

 

Prendiamoci qualche secondo in più per analizzare bene la traccia dell'esercizio. Non ci viene chiesto di determinare esplicitamente l'insieme delle soluzioni.

 

Portiamo tutto al primo membro, ottenendo la disequazione:

 

3x^7+2x^5+2x^3+1<0

 

La situazione non è migliorata. Abbiamo ottenuto una disequazione di grado superiore al secondo in cui il polinomio al primo membro non si fattorizza facilmente. Nemmeno la regola di Ruffini ci aiuta nella scomposizione. Rassegniamoci: non c'è alcun approccio algebrico che possa condurci alla soluzione dell'esercizio.

 

Cerchiamo allora di dimostrare l'esistenza di un insieme in cui la disequazione è soddisfatta facendo uso del teorema della permanenza del segno. Consideriamo come funzione il polinomio di settimo grado al primo membro

 

f(x)=3x^7+2x^5+2x^3+1

 

Calcoliamo il limite per x\to -\infty e vediamo qual è il segno del risultato.

 

\lim_{x\to -\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}(3x^7+2x^5+2x^3+1)=-\infty

 

Il limite è negativo ed è un'ottima notizia, perché per il teorema della permanenza del segno esiste almeno un intorno I_{-\infty} in cui la funzione assume lo stesso segno del suo limite:

 

f(x)<0\ \ \ \forall x\in I_{-\infty}\iff 3x^7+2x^5+2x^3+1<0\ \ \ \forall x\in I_{-\infty}

 

Possiamo concludere che esiste un intervallo, I_{-\infty}, in cui è soddisfatta la disequazione:

 

3x^7<-2x^5-2x^3-1<0

 

Ribadiamolo ancora una volta: non abbiamo trovato l'insieme delle soluzioni della disequazione, ma almeno abbiamo mostrato che esiste un intervallo in cui la disequazione è soddisfatta e tanto basta.

 

Corollari del teorema della permanenza del segno

 

I corollari del teorema della permanenza del segno sono conseguenze dirette del teorema che possono tornarci utili quando affronteremo lo studio di una funzione, per controllare ad esempio la coerenza tra il risultato dei limiti e il segno stesso della funzione.

 

Teorema inverso della permanenza del segno

 

Intuitivamente, il teorema inverso della permanenza del segno afferma che se una funzione è a segno costante in un intorno di un punto di accumulazione per il dominio, e se il limite della funzione per x che tende a tale punto esiste, allora il limite deve necessariamente essere concorde con la funzione o al più nullo.

 

Formalizziamo l'enunciato: sia f(x) una funzione con dominio \mbox{dom}(f) e sia c un punto di accumulazione per il dominio. Se:

 

\bullet\ f(x)>0\ \forall x\in I_c\ \ \ (\mbox{risp}.\ f(x)<0\ \forall x\in\I_c)

 

\bullet\ \lim_{x\to c}f(x)=\ell\in\overline{\mathbb{R}}

 

allora

 

\lim_{x\to c}f(x)\geq 0\ \ \ \left(\lim_{x\to c}f(x)\leq 0\right)

 

In parole povere, se una funzione è positiva non può avere limite negativo e simmetricamente una funzione negativa non può avere limite positivo.

 

Proponiamo una rapida dimostrazione per il caso in cui la funzione f(x) sia positiva nell'intorno di c.

 

Supponiamo per assurdo che il limite per x\to c della funzione f(x) sia negativo. Per il teorema della permanenza del segno esiste un intorno di c in cui la funzione è negativa, in netto contrasto con la positività locale di f(x).

 

Abbiamo raggiunto l'assurdo derivante dall'ipotesi di negatività del limite. Poiché il limite non può essere negativo, allora deve essere necessariamente positivo o nullo.

 

Teorema della permanenza del segno per funzioni continue

 

Alcuni professori preferiscono fornire ai propri studenti una versione meno generale del teorema, richiedendo come ipotesi aggiuntiva la continuità della funzione. Si tratta di una scelta didattica su cui non vogliamo disquisire. Consigliamo la lettura del paragrafo a chi ha già studiato il concetto di continuità, prerequisito necessario per comprende quanto segue.

 

Il teorema della permanenza del segno per le funzioni continue è una riformulazione del teorema della permanenza del segno in cui viene richiesta la continuità della funzione f(x), nulla di più e nulla di meno.

 

Consideriamo una funzione f(x) continua in un insieme D\subset\mathbb{R}. Se c è un punto del dominio in cui la funzione è diversa da zero, f(c)\ne 0, allora esiste un intorno di c contenuto in D in cui la funzione f(x) assume lo stesso segno di f(c).

 

In altre parole, se una funzione continua f(x) è positiva in punto c interno al dominio, allora è positiva anche nei punti sufficientemente vicini a c.

 

Per dimostrare il teorema basta osservare che, poiché per ipotesi f(x) è continua in c, allora dalla definizione di continuità segue che

 

f(c)=\lim_{x\to c}f(x)

 

Se f(c)\ne 0 allora anche il limite è diverso da zero e a questo punto interviene il teorema nella sua forma generale.

 

 


 

La lezione è giunta al termine. Nel caso foste in cerca di esercizi sul teorema della permanenza del segno vi suggeriamo di usare la barra di ricerca interna; qui su YM ci sono tantissimi esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)
Credits per la dimostrazione: Fabrizio Caruso (Carfaby)

 

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Tags: teorema di permanenza del segno per funzioni nel caso generale e nel caso delle funzioni continue.