Teorema di unicità del limite

Il teorema di unicità del limite di una funzione è uno dei teoremi fondamentali della teoria dei limiti ed assicura l'unicità del limite di una funzione, se quest'ultimo esiste, al tendere di x→x0 dove x0 può essere un valore finito o infinito.

 

In questa lezione esporremo l'enunciato del teorema di unicità del limite per le funzioni e ne forniremo la dimostrazione: ripercorreremo i passaggi salienti, spiegandoli in dettaglio, nella speranza di renderla più chiara e semplice possibile.

 

Fatto ciò commenteremo il teorema spiegandone il significato e commentandolo nel dettaglio, in modo da comprenderne la grande utilità. :)

 

Teorema di unicità del limite di una funzione

 

L'enunciato del teorema di unicità del limite di una funzione non è così complicato da ricordare, ed è forse questo uno dei motivi per cui si tende a sottovalutare l'impatto teorico e pratico che questo teorema comporta.

 

In netto contrasto con la semplicità dell'enunciato, la dimostrazione del teorema di unicità del limite presenta diversi tecnicismi matematici che generano molte perplessità in coloro che muovono i primi passi nella teoria dei limiti (in casi estremi anche enormi mal di testa!). ;)

 

Enunciato del teorema di unicità del limite

 

Consideriamo una funzione f(x) con dominio \mbox{dom}(f) e un punto di accumulazione x_0 del dominio. Se il limite per x\to x_0 della funzione f(x) esiste finito o infinito, allora il valore di tale limite è unico.

 

Lo stesso enunciato, scritto in termini matematici, diventa

 

\lim_{x\to x_0}f(x)=\ell\in \overline{\mathbb{R}}\implies \ell\ \grave{\mbox{e}}\mbox{ unico}

 

dove \overline{\mathbb{R}}:=\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}. Sottolineiamo che l'unica vera ipotesi del teorema riguarda l'esistenza del limite come valore finito o infinito; non vi sono vincoli né sul punto di accumulazione del dominio x_0, né sul possibile risultato del limite \ell: entrambi possono essere finiti oppure infiniti.

 

Dimostrazione del teorema di unicità del limite

 

La tecnica usata per dimostrare la validità del teorema di unicità del limite è la reductio ad absurdum o, in altri termini, dimostrazione per assurdo: negheremo la tesi per giungere ad una contraddizione con una delle ipotesi.

 

Proponiamo la dimostrazione del teorema di unicità del limite di una funzione nel caso in cui x_0,\ell siano entrambi numeri reali, ossia lavoreremo con la definizione di limite finito per x che tende a un valore finito, perché è il caso più richiesto durante un'interrogazione o esame orale. ;)

 

Per le rimanenti tipologie di limiti (limite infinito al finito, limite finito all'infinito e limite infinito all'infinito) il teorema continua a valere, ma le dimostrazioni vanno riformulate utilizzando di volta in volta la relativa definizione di limite. Lasciamo a voi l'eventuale compito di ricavarle. ;)

 

Nel caso servisse, vi anticipiamo sin da subito che esiste una dimostrazione del teorema di unicità del limite con gli intorni che non riportiamo in questa sede per non appesantire troppo la lezione. Potete leggerla qui: dimostrazione dell'unicità del limite con gli intorni. Sottolineamo comunque che le due dimostrazioni sono identiche nella sostanza e che cambia solamente il linguaggio usato.

 

 

Dimostrazione

 

negare la tesi del teorema di unicità del limite significa supporre che il limite assuma (almeno) due valori distinti, \ell, m\mbox{ con }\ell\ne m. Possiamo inoltre supporre senza perdita di generalità che m<\ell, così che la differenza \ell-m sia positiva.

 

L'ipotesi d'assurdo suggerisce che:

 

\lim_{x\to x_0}f(x)=\ell\ \ \ ; \ \ \ \lim_{x\to x_0}f(x)=m\mbox{ con }\ell>m

 

Per definizione di limite risulta che, comunque si fissi \varepsilon>0:

 

- riusciamo a determinare un numero reale \delta_{m}>0 tale che, se x\in \mbox{dom}(f) e 0<|x-x_0|<\delta_{m}, allora

 

|f(x)-m|<\varepsilon

 

- riusciamo a determinare un numero reale \delta_{\ell}>0 tale che, se x\in \mbox{dom}(f) e 0<|x-x_0|<\delta_{\ell}, allora

 

|f(x)-\ell|<\varepsilon

 

In questo contesto è fondamentale notare l'arbitrarietà di \varepsilon. Con lo scopo di giungere all'assurdo, facciamo in modo che \varepsilon assuma un valore

 

0<\varepsilon<\frac{\ell-m}{2}

 

Tale imposizione su \varepsilon è lecita proprio perché abbiamo supposto preliminarmente che \ell>m, pertanto la differenza \ell-m è positiva, così come è positivo il rapporto \frac{\ell-m}{2}.

 

Dalla definizione di limite, per il valore di \varepsilon fissato, riusciamo a determinare \delta_{m} tale per cui se x soddisfa la relazione 0<|x-x_0|<\delta_{m} allora |f(x)-m|<\varepsilon.

 

Allo stesso modo, riusciamo a determinare \delta_{\ell} tale che se x soddisfa la relazione 0<|x-x_0|<\delta_{\ell} allora |f(x)-\ell|<\varepsilon.

 

Siamo giunti al passaggio più delicato di tutta la dimostrazione. Consideriamo un nuovo \delta definito come il più piccolo tra i valori di \delta_{m}\mbox{ e }\delta_{\ell}

 

\delta=\mbox{min}(\delta_{\ell}, \delta_{m})

 

La domanda sorge spontanea: perché dobbiamo tirare in ballo proprio questo \delta\ ?

 

Definiamo in questo modo \delta perché se x soddisfa la relazione 0<|x-x_0|<\delta allora la stessa x soddisferà contemporaneamente le condizioni:

 

\bullet\ 0<|x-x_0|<\delta_{m} e dunque risulterà che |f(x)-m|<\varepsilon;

 

\bullet\ 0<|x-x_0|<\delta_{\ell} e dunque risulterà che |f(x)-\ell|<\varepsilon

 

Possiamo quindi asserire che se x soddisfa la doppia disuguaglianza 0<|x-x_0|<\delta allora f(x) soddisferà il sistema:

 

\begin{cases}|f(x)-m|<\varepsilon\\ \\ |f(x)-\ell|<\varepsilon\end{cases}

 

La teoria sulle disequazioni con valore assoluto ci assicura che il precedente sistema di disequazioni è equivalente al seguente:


\begin{cases}m-\varepsilon<f(x)<m+\varepsilon\\ \ell-\varepsilon<f(x)<\ell+\varepsilon\end{cases}

 

Affinché f(x) soddisfi il sistema, dobbiamo richiedere che esso sia maggiore del valore più grande tra m-\varepsilon\mbox{ e }\ell-\varepsilon e, allo stesso tempo, minore del valore più piccolo tra m+\varepsilon\mbox{ e }\ell+\varepsilon. Osserviamo inoltre che dalla disuguaglianza m<\ell seguono le relazioni

 

\\ m-\varepsilon<\ell-\varepsilon\implies \ell-\varepsilon<f(x)\\ \\ m+\varepsilon<\ell+\varepsilon\implies f(x)<m+\varepsilon

 

e per quanto detto poc'anzi

 

\ell-\varepsilon<f(x)<m+\varepsilon

 

Per la proprietà transitiva di cui gode la relazione d'ordine, otteniamo

 

\ell-\varepsilon<m+\varepsilon

 

e risolvendo la disequazione rispetto a \varepsilon:

 

\varepsilon>\frac{\ell-m}{2}

 

L'ultima relazione è in netta contraddizione con la disuguaglianza

 

\varepsilon<\frac{\ell-m}{2}

 

Abbiamo raggiunto l'assurdo che deriva dall'ipotesi di non unicità del limite. Poiché l'ipotesi d'assurdo conduce ad una contraddizione, essa è necessariamente una proposizione falsa, pertanto, è vera la sua negazione: il limite è unico.

 

Utilità del teorema di unicità del limite di una funzione

 

Il teorema di unicità del limite riveste un'enorme rilevanza nello studio dei limiti. Ad essere più precisi, non è tanto la sua formulazione diretta ad essere utile quanto più la sua negazione logica, che possiamo parafrasare come segue: se non vi è unicità del limite allora il limite non esiste.

 

Per fare un esempio su come utilizzare correttamente la negazione del teorema di unicità del limite consideriamo la funzione

 

f(x)=\begin{cases}1&\mbox{ se }x>0\\ -1&\mbox{ se }x<0\end{cases} 

 

Quando x\to 0^+, ossia tende a 0 da destra, si ha che f(x)=1. Conseguentemente:

 

\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}1=1

 

D'altro canto quando x\to 0^-, ossia tende a 0 da sinistra, si ha che f(x)=-1. Pertanto

 

\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^-}-1=-1

 

Da qui si vede che l'ipotesi di esistenza del limite non può sussistere: il limite bilatero

 

\lim_{x\to 0}f(x)

 

dovrebbe infatti assumere due valori distinti. È fatta: per la negazione del teorema di unicità, il limite bilatero non può esistere.

 

 


 

Come avrete modo di apprezzare nel prosieguo dei vostri studi, il teorema di unicità del limite fornisce una condizione che verrà utilizzata nelle dimostrazioni di tantissimi altri teoremi. Per il momento ci fermiamo qui; se volete vedere il teorema in azione e consultare alcuni esercizi svolti potete usare la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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