O-grande

L'O-grande, solitamente indicato con O(·), è un simbolo di Landau che viene utilizzato per analizzare il comportamento locale di due funzioni nell'intorno di un punto dato, e che inoltre viene usato per agevolare la scrittura di svariati teoremi di Analisi Matematica.

 

In questa lezione vedremo cos'è l'O-grande, ne elencheremo le proprietà generali e vedremo quali sono le relazioni che legano gli O-grande agli altri simboli di Landau. Infine daremo un senso ad un particolare simbolo che ricorre spesso in Analisi Matematica: l'O-grande di 1, denotato come O(1).

 

Nota bene: il simbolo di O-grande e più in generale i simboli di Landau sono argomento di studio solo nei corsi di Analisi Matematica all'università. Gli studenti delle scuole superiori possono astenersi dalla lettura. :)

 

Definizione di O-grande tramite limite

 

Per chi affronta l'argomento per la prima volta, la definizione di O-grande può creare qualche grattacapo. Non spaventatevi, è normale: ci vuole un po' di tempo per abituarsi alla nuova notazione.

 

Iniziamo fornendo la definizione di O-grande tramite limite.

 

Sia x_0\in \mathbb{R}\cup\{\pm \infty\} e consideriamo due funzioni f(x)\mbox{ e }g(x), definite in un intorno di x_0 escluso eventualmente x_0, con la condizione che g(x) sia diversa da zero nell'intorno bucato.

 

Diremo che f(x) è un O-grande di g(x) per x\to x_0 se e solo se il limite per x\to x_0 del rapporto tra f(x)\mbox{ e }g(x) esiste ed è finito. In formule:

 

f(x)=O(g(x))\mbox{ per }x\to x_0\iff \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\ell\in\mathbb{R}

 

Oltre alla notazione O(g(x)) per x\to x_0 è possibile utilizzare la più comoda forma O_{x_0}(g(x)).

 

Esempi sulla definizione di O-grande

 

Presentiamo alcuni esempi introduttivi sulla definizione di O-grande.

 

a)\ \sin(x)=O(x)\mbox{ per }x\to 0

 

Infatti per il limite notevole del seno

 

\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1

 

 

b)\ \sin(x)=O(x)\mbox{ per }x\to +\infty

 

Infatti si può dimostrare, tramite il teorema del confronto, che

 

\lim_{x\to +\infty}\frac{\sin(x)}{x}=0

 

e ancora una volta il limite del rapporto esiste ed è finito.

 

 

c)\ 1-\cos(x)=O(x^2)\mbox{ per }x\to 0

 

infatti dal limite notevole del coseno

 

\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}=\frac{1}{2}

 

 

d)\  e^x-1=O(x)\mbox{ per }x\to 0

 

infatti

 

\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1

 

mentre la stessa funzione, e^{x}-1, non è un O-grande di x per x \to +\infty.

 

 

Osservazione

 

L'ultimo esempio proposto mette in evidenza l'importanza di specificare a cosa tende la variabile indipendente. Ricordiamolo ancora una volta: l'O-grande indica un confronto locale tra funzioni, non un confronto globale. Sottointendere x_0 può comportare spiacevoli conseguenze. :)

 

Definizione di O-grande tramite disuguaglianza

 

La definizione di O-grande che abbiamo dato poco sopra può essere indebolita non pretendendo l'esistenza del limite; è sufficiente utilizzare una particolare disuguaglianza che vedremo tra pochissimo.

 

Lo diciamo sin da subito: la definizione di O-grande tramite disuguaglianza è per i puristi della Matematica, e solitamente non viene fornita nei corsi standard di Analisi Matematica 1. Riportiamo questa versione della definizione per completezza.

 

Una funzione f(x) è un O-grande di g(x) per x\to x_0 se e solo se esistono una costante positiva C ed un intorno I\mbox{ di }x_0 tali per cui valga la disuguaglianza

 

|f(x)|\le C|g(x)|\mbox{ per ogni }x\in I

 

Questa seconda definizione spiega perché si sente spesso dire che se f(x)=O(g(x))\mbox{ per }x\to x_0 allora g(x) controlla f(x) in un intorno di x_0.

 

Esempio sulla non equivalenza delle definizioni di O-grande

 

Purtroppo le due definizioni di O-grande non sono equivalenti: la definizione con il limite implica la definizione tramite disuguaglianza (segue direttamente dalla definizione di limite), ma non vale il viceversa.

 

Mostriamo la non equivalenza delle definizioni date di O-grande, considerando le funzioni f(x)= x \sin(x)\mbox{ e }g(x)=x, e come x_0=+\infty.

 

È chiaro che

 

\lim_{x\to \infty}\frac{x \sin(x)}{x}=\lim_{x\to \infty}\sin(x)

 

non esiste e quindi non rispetta la definizione tramite limite.

 

D'altra parte, poiché la funzione seno è limitata, possiamo scrivere la disuguaglianza

 

|x \sin(x)|=|x||\sin(x)|\le |x|\mbox{ per ogni }x\in\mathbb{R}

 

e in base alla definizione di O-grande tramite disuguaglianza

 

x\sin(x)=O(x)\mbox{ per }x\to \infty

 

Ribadiamo che la definizione di O-grande con il limite è quella maggiormente usata nei corsi di Analisi Matematica 1, e parlando schiettamente è quella più utile nella risoluzione degli esercizi. Questi sono i motivi che ci spingono a utilizzarla come definizione standard.

 

Proprietà degli O-grande

 

A prescindere dalla definizione che si adotta, gli O-grande godono di alcune proprietà interessanti che ci vengono spessissimo in soccorso nella risoluzione degli esercizi e in molte applicazioni teoriche. Lasciamo a voi il compito di svolgere le relative, semplici dimostrazioni.

 

Prodotto tra una funzione e un O-grande

 

f(x)\cdot O(g(x))=O(f(x)g(x))\mbox{ per }x\to x_0

 

Prodotto tra due O-grande

 

O(f(x))O(g(x))=O(f(x) g(x))\mbox{ per }x\to x_0

 

Somma di due O-grande di funzioni diverse

 

\begin{cases}f_1(x)=O(g_1(x))\\ f_2(x)=O(g_2(x))\end{cases}\implies f_1(x)+f_2(x)=O(|g_1(x)|+|g_2(x)|),\ x\to x_0

 

In altri termini

 

O(g_1(x))+O(g_2(x))=O(|g_1(x)|+|g_2(x)|)\mbox{ per }x\to x_0

 

Somma di due O-grande della medesima funzione

 

\begin{cases}f_1(x)=O(g(x))\\ f_2=O(g(x))\end{cases}\implies f_1(x)+f_2(x)=O(g(x))\mbox{ per }x\to x_0

 

O, in forma contratta:

 

O(g(x))+O(g(x))=O(g(x))\mbox{ per }x\to x_0

 

Somma tra una funzione positiva e O-grande

 

\mbox{Se }f(x)>0\mbox{ e }g(x)>0\implies  f(x)+O(g(x))=O(f(x)+g(x))\mbox{ per }x\to x_0

 

Moltiplicazione per una costante

 

Sia c una costante reale, allora:

 

\\ O(k g(x))=O(g(x))\mbox{ se }k\ne 0\\ \\ f(x)=O(g(x))\implies k f(x)=O(g(x))

 

Relazione tra O-grande e gli altri simboli di Landau

 

Dalla definizione stessa è possibile notare la strettissima parentela tra l'O-grande e gli altri simboli di Landau: l'o-piccolo, l'equivalenza asintotica e l'equigrandezza. Stiamo per assistere ad un colpo di scena alla Star Wars di lucasiana memoria: i simboli di Landau menzionati sono casi particolari dell'O-grande.

 

Consideriamo il solito x_0\in\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}, e siano f(x),g(x) due funzioni definite in un intorno bucato di x_0.

 

 

Relazione tra O-grande e o-piccolo

 

Se f(x)=o(g(x)) per x\to x_0, dalla definizione di o-piccolo sappiamo che

 

\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0

 

Il limite del rapporto è zero, ossia in particolare esiste ed è finito e in forza della definizione di O-grande possiamo concludere che f(x)=O(g(x))\mbox{ per }x\to x_0.

 

f(x)=o(g(x))\mbox{ per }x\to x_0\implies f(x)=O(g(x))\mbox{ per }x\to x_0

 

In buona sostanza se una funzione f(x) è un o-piccolo di g(x) per x\to x_0, allora f(x) è un O-grande di g(x) per x\to x_0. Il viceversa in generale non vale.

 

 

Relazione tra O-grande ed equigrandezza

 

Se f(x)\asymp g(x)\mbox{ per }x\to x_0, ossia se la funzione f(x) è equigrande a g(x) per x\to x_0, allora il limite del rapporto tra le funzioni f(x)\mbox{ e }g(x) esiste finito e diverso da zero.

 

\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=l\neq 0

 

In accordo con la definizione di O-grande, possiamo quindi scrivere f(x)=O(g(x))\mbox{ per }x\to x_0.

 

f(x)\equiv g(x)\mbox{ per }x\to x_0\implies f(x)=O(g(x))\mbox{ per }x\to x_0

 

Anche in questo caso l'implicazione inversa non sussiste necessariamente.

 

 

Relazione tra O-grande e equivalenza asintotica

 

Se f(x)\sim g(x)\mbox{ per }x\to x_0, ossia se la funzione f(x) è asintoticamente equivalente alla funzione g(x) per x\to x_0, allora per definizione di equivalenza asintotica sappiamo che il limite del rapporto delle due funzioni vale 1:

 

\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1

 

Questo è ovviamente un caso particolare della definizione di O-grande: il limite del rapporto esiste finito e diverso da zero.

 

f(x)\sim g(x)\mbox{ per }x\to x_0 \implies f(x)=O(g(x))\mbox{ per }x\to x_0

 

 

Osservazione (limite infinito e reciproco O-grande)

 

La panoramica delle relazioni tra il simbolo di O-grande e gli altri principali simboli di Landau può ritenersi conclusa. A titolo di esempio possiamo ragionare su un caso che viene escluso aprioristicamente dalla definizione.

 

Cosa possiamo dire se il limite del rapporto tra le due funzioni è infinito? La risposta a questa domanda è abbastanza semplice a patto di conoscere l'algebra dei limiti.

 

Se il limite per x\to x_0 del rapporto tra f(x)\mbox{ e }g(x) è \pm \infty, allora il limite del suo reciproco è zero, dunque esiste ed è finito. Ciò si traduce in:

 

\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\pm \infty\implies \lim_{x\to x_0}\frac{g(x)}{f(x)}=0\implies g(x)=O(f(x))\mbox{ per }x\to x_0

 

 

Esempio

 

Poiché

 

\lim_{x\to +\infty}\frac{e^{x}}{x}=+\infty

 

allora

 

\lim_{x\to +\infty}\frac{x}{e^{x}}=\left[\frac{1}{+\infty}\right]=0

 

Possiamo quindi concludere che

 

x=O(e^{x})\mbox{ per }x\to +\infty

 

Cos'è l'O-grande di 1

 

Prima di portare a termine questa lezione vogliamo soffermare la vostra attenzione sul simbolo O-grande di 1, indicato con O(1), che stranamente inquieta molti studenti.

 

Per comprendere cosa si intende con tale simbolo, è sufficiente utilizzare la definizione che abbiamo riportato all'inizio di questa lezione.

 

f(x)=O(1)\mbox{ per }x\to x_0\iff \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{1}=\ell

 

L'uno al denominatore possiamo tranquillamente sottintenderlo:

 

\lim_{x\to x_0}f(x)=\ell

 

Una funzione f(x) è un O-grande di 1 per x\to x_0 se e solo se esiste finito il limite della funzione f(x)\mbox{ per }x\to x_0.

 

In altri termini una funzione f(x)=O(1)\mbox{ per }x\to x_0 se e solo se esiste un intorno di x_0 in cui f(x) è una funzione limitata.

 

 


 

È il momento dei saluti, ma prima vi suggeriamo di usare la barra di ricerca interna di YM. Ci sono moltissimi esercizi svolti e spiegati passo-passo sull'O-grande. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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