Equivalenze asintotiche

L'equivalenza asintotica è un simbolo di Landau, solitamente indicato con ~, che permette di confrontare localmente due funzioni al tendere di x ad un determinato valore o all'infinito. Il simbolo di equivalenza asintotica permette di calcolare i limiti e si rivela molto utile nel semplificare le espressioni analitiche piuttosto elaborate.

 

In questa lezione proporremo la definizione di equivalenza asintotica, detta anche stima asintotica. Ne elencheremo le proprietà ed evidenzieremo le relazioni che legano tale simbolo al simbolo di o-piccolo. Infine dedicheremo un intero paragrafo al comportamento della stima asintotica sotto l'azione delle operazioni tra funzioni e della composizione di funzioni. L'obiettivo consiste nel capire come si individua una stima asintotica.

 

Attenzione: la nozione di equivalenza asintotica riprende, formalizza ed estende il ragionamento introdotto nella lezione sull'uso dei limiti notevoli. Se da un lato tale tecnica viene studiata e utilizzata sia alle scuole superiori che all'università, la formalizzazione alle equivalenze asintotiche è richiesta ai soli studenti universitari. 

 

Definizione di equivalenza asintotica

 

Partiamo senza indugi con la definizione di stima asintotica. Siano f(x),g(x) due funzioni definite in un intorno di x_0, con g(x) diversa da zero per ogni x diverso da x_0. Diremo che f(x) è asintoticamente equivalente a g(x) per x\to x_0 (eventualmente per x\to \pm\infty) se e solo se il limite per x che tende a x_0 del rapporto tra f(x)\mbox{ e }g(x) è esattamente uguale a 1.

 

\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1

 

In tal caso scriveremo

 

f(x)\sim g(x)\mbox{ per }x\to x_0

 

che si legge f(x) è asintoticamente equivalente a g(x) per x che tende a x_0.

 

Oltre alla scrittua appena riportata esistono altre notazioni del tutto equivalenti:

 

f(x)\sim_{x\to x_0}g(x)\mbox{ o ancora }f(x)\sim_{x_0}g(x)

 

La definizione di per sé non presenta grosse difficoltà: il simbolo di equivalenza asintotica del limite di un rapporto tra funzioni camuffato. Questo però non vuol dire che l'equivalenza asintotica sia un argomento di poco conto, anzi... ;)

 

Col tempo ne comprenderemo a fondo l'importanza nel calcolo dei limiti e, più avanti, nello studio degli integrali impropri. Più in generale le stime asintotiche serviranno sempre e comunque ogniqualvolta dovremo confrontare due funzioni nell'intorno di un punto.

 

Esempi sulle equivalenze asintotiche

 

Dopo aver fornito la definizione è d'obbligo proporre qualche esempio sulle equivalenze asintotiche. Niente di complicato, a patto che vi ricordiate i limiti notevoli.

 

 

1) Il seno di x è asintoticamente equivalente ad x quando x tende a zero.

 

\sin(x)\sim x\mbox{ per }x\to 0

 

Tale stima proviene direttamente dal limite notevole del seno, infatti sappiamo che

 

\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1

 

 

2) La funzione logaritmica con argomento (1+x) è asintoticamente equivalente ad x per x che tende a 0.

 

\ln(1+x)\sim x\mbox{ per }x\to 0

 

Infatti il limite del corrispondente rapporto vale 1

 

\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1

 

è il limite notevole del logaritmo.

 

 

3) f(x)=\sin(x) non è asintoticamente equivalente ad x quando x tende a + infinito, infatti per il teorema del confronto si può dimostrare che il corrispondente limite non vale 1:

 

\lim_{x\to +\infty}\frac{\sin(x)}{x}=0\ne 1

 

 

Osservazione (equivalenza asintotica: ok, ma dove?)

 

Concentriamoci per un momento sugli esempi 1) e 3). Le funzioni in gioco sono le stesse (abbiamo \sin(x) da una parte e x dall'altra); cambia però il valore a cui tende la variabile x e, cosa più importante, anche i risultati ottenuti.

 

Da ciò si evince in particolare che per scrivere correttamente un'equivalenza asintotica è necessario specificare il valore a cui tende x. Se non riportiamo questa informazione, un professore particolarmente puntiglioso potrebbe invalidare la risoluzione dell'esercizio. Occhio! ;)

 

Proprietà delle equivalenze asintotiche

 

Usare correttamente le equivalenze asintotiche richiede esperienza, e soprattutto la conoscenza delle proprietà che le caratterizzano. Elenchiamole e commentiamole nel dettaglio.

 

1) L'equivalenza asintotica è una relazione di equivalenza

 

Per provarlo basta dimostrare che il simbolo di stima asintotica soddisfa la definizione di relazione di equivalenza:

 

- proprietà riflessiva: ogni funzione f(x) che non si annulla in un intorno bucato di x_0 è asintoticamente equivalente a sé stessa per x\to x_0.

 

f(x)\sim_{x\to x_0}f(x)

 

- proprietà simmetrica: se per x\to x_0 risulta che f(x) è asintoticamente equivalente a g(x), allora g(x) è asintoticamente equivalente a f(x) e viceversa.

 

f(x)\sim_{x\to x_0}g(x)\implies g(x)\sim_{x\to x_0}f(x)

 

- proprietà transitiva: se per x\to x_0 risulta che f(x) è asintoticamente a g(x) e se g(x) è asintoticamente equivalente ad h(x), allora f(x) è asintoticamente equivalente ad h(x).

 

\begin{cases}f(x)\sim_{x\to x_0}g(x)\\ g(x)\sim_{x\to x_0}h(x)\end{cases}\ \implies\ f(x)\sim_{x\to x_0}h(x)

 

Delle tre proprietà appena elencate la proprietà transitiva è quella che interviene maggiormente nella risoluzione degli esercizi e dunque, prima di aggiungere altra carne al fuoco, presentiamo un esempio.

 

 

Esempio sulla proprietà transitiva delle equivalenze asintotiche

 

Dimostriamo che vale la seguente equivalenza asintotica:

 

\ln(1+\sin(x))\sim x\mbox{ per }x\to 0

 

Dal limite notevole del logaritmo in forma generale sappiamo che 

 

\lim_{f(x)\to 0}\frac{\ln(1+f(x))}{f(x)}=1

 

Per definizione di equivalenza asintotica si ha quindi:

 

\ln(1+f(x))\sim f(x)\mbox{ quando }f(x)\to 0

 

La funzione \sin(x) tende a zero quando x\to 0, dunque

 

\ln(1+\sin(x))\sim \sin(x)\mbox{ per }x\to 0

 

Il limite notevole del seno di x assicura inoltre che

 

\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1

 

da cui segue per definizione l'equivalenza asintotica

 

\sin(x)\sim x\mbox{ per }x\to 0

 

Abbiamo così ottenuto le seguenti relazioni

 

\begin{cases}\ln(1+\sin(x))\sim \sin(x)\mbox{ per }x\to 0\\ \sin(x)\sim x\mbox{ per }x\to 0\end{cases}

 

e, per la transitività delle equivalenze asintotiche possiamo, concludere che

 

\ln(1+\sin(x))\sim x\mbox{ per }x\to 0

 

Come si può evincere dall'esempio conoscere a menadito i limiti notevoli vi aiuterà nell'arduo compito di costruire le equivalenze asintotiche, anche di funzioni ben più complicate di quella appena vista. Naturalmente il solo uso dei limiti notevoli non basta, e come vedremo tra poco serve qualche altra proprietà.

 

2) Equivalenza asintotica di funzioni con lo stesso limite finito e non nullo

 

Se due funzioni hanno lo stesso limite per x che tende a x_0, e tale limite è finito e diverso da zero, allora le due funzioni sono asintoticamente equivalenti.

 

\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)=\ell\ne 0\implies f(x)\sim g(x)\mbox{ per }x\to x_0

 

3) Due funzioni asintoticamente equivalenti hanno lo stesso limite

 

Se il limite per x\to x_0 di una funzione f(x) è l, finito o infinito, e se una seconda funzione g(x) è asintoticamente equivalente a f(x) per x\to x_0, allora il limite per x\to x_0 di g(x) è l.

 

\begin{cases}\lim_{x\to x_0}f(x)=\ell\in\overline{\mathbb{R}}\\ g(x)\sim f(x)\mbox{ per }x\to x_0\end{cases}\ \implies\ \lim_{x\to x_0}g(x)=\ell

 

4) Proprietà sulla concordanza locale (due funzioni asintoticamente equivalenti hanno localmente lo stesso segno)

 

Se f(x),g(x) sono due funzioni asintoticamente equivalenti per x che tende a x_0, allora esiste un intorno bucato di x_0 in cui f(x)\mbox{ e }g(x) sono concordi, ossia hanno lo stesso segno.

 

La proprietà di concordanza locale è una conseguenza del teorema della permanenza del segno, ed è molto comoda per studiare il segno locale di una funzione dall'espressione analitica impegnativa.

 

Equivalenze asintotiche sotto le azioni delle operazioni

 

Il comportamento del simbolo di equivalenza asintotica non rispecchia sempre le nostre aspettative, e ciò può avere conseguenze disastrose sul risultato degli esercizi. A tal proposito è bene attenersi alle regole che legano le stime asintotiche alle operazioni tra funzioni. Vediamole.

 

Equivalenze asintotiche e prodotto/quoziente

 

Se f(x) è asintoticamente equivalente f_1(x) e se g(x) è asintoticamente equivalente a g_1(x) per x\to x_0, allora il prodotto f(x)g(x) è asintoticamente equivalente a f_1(x)g_1(x) per x\to x_0.

 

Inoltre il quoziente \frac{f(x)}{g(x)} è asintoticamente equivalente a\frac{f_1(x)}{g_1(x)} per x che tende a x0.

 

\begin{cases}f(x)\sim_{x_0}f_1(x)\\ g(x)\sim_{x_0}g_1(x)\end{cases}\ \implies\ f(x)g(x)\sim_{x_0}f_1(x)g_1(x),\ \frac{f(x)}{g(x)}\sim_{x_0}\frac{f_1(x)}{g_1(x)}

 

Equivalenze asintotiche e potenze

 

Se f(x) è asintoticamente equivalente a f_1(x), allora per ogni a reale risulta che [f(x)]^a è asintoticamente equivalente a [f_1(x)]^a.

 

f(x)\sim_{x\to x_0}f_1(x)\implies [f(x)]^{a}\sim_{x\to x_0}[f_{1}(x)]^{a}

 

Le equivalenze asintotiche quindi si comportano molto bene quando abbiamo a che fare con moltiplicazioni, quozienti e potenze di funzioni. Cosa possiamo dire sull'addizione/sottrazione di funzioni? Stiamo per aprire il vaso di Pandora, quindi occhi aperti!

 

Equivalenze asintotiche con addizioni e sottrazioni di funzioni

 

Purtroppo le equivalenze asintotiche funzionano male quando abbiamo a che fare con le operazioni di somma e sottrazione tra funzioni. Per evidenziare questa mancanza proponiamo un controesempio classico, considerando la differenza \sin(x)-\tan(x)\mbox{ per }x\to 0.

 

Grazie al limite notevole del seno e a quello della tangente possiamo estrapolare le seguenti equivalenze asintotiche

 

\\ \sin(x)\sim x\mbox{ per }x\to 0\\ \\ \tan(x)\sim x\mbox{ per }x\to 0

 

Siamo quindi portati a pensare che valga

 

\sin(x)-\tan(x)\sim x-x=0\mbox{ per }x\to 0

 

Ebbene, tale stima asintotica è del tutto errata. Per capirlo basta fare riferimento alla definizione di equivalenza asintotica:

 

\sin(x)-\tan(x)\sim 0\mbox{ per }x\to 0\mbox{ significa }\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)-\tan(x)}{0}=1\mbox{ NO}

 

Non è possibile utilizzare le equivalenze asintotiche sulle somme e differenze? Non sempre. In realtà, sotto opportune ipotesi, possiamo utilizzarle anche in questo caso, sussiste infatti il seguente teorema.

 

Sia f(x) asintoticamente equivalente a f_1(x) per x\to x_0, e sia g(x) asintoticamente equivalente a g_1(x) per x\to x_0. Se f_1(x)\pm g_1(x)\ne 0 allora risulta che

 

f(x)\pm g(x)\sim f_1(x)\pm g_1(x)\mbox{ per }x\to x_0

 

Si noti che la differenza delle stime asintotiche di \sin(x) e di \tan(x) è nulla, per questo motivo il teorema non vale. Ritorneremo pesantemente su questo fatto nella lezione sui limiti con Taylor.

 

Equivalenze asintotiche sotto l'azione di composizione

 

In generale, le equivalenze asintotiche non sono stabili quando agisce la composizione di funzioni. Per esempio consideriamo la funzione

 

f(x)=e^{x^2+ x}

 

Proponiamoci come obiettivo il voler determinare una stima asintotica per x\to+\infty. Sappiamo che sussiste la relazione

 

x^2+x\sim x^2\mbox{ per }x\to +\infty

 

D'altro canto non è vero che

 

e^{x^2+ x}\sim e^{x^2}\mbox{ per }x\to +\infty

 

infatti

 

\lim_{x\to \infty}\frac{e^{x^2+x}}{e^{x^2}}=\lim_{x\to \infty}e^{x}=+\infty\ne 1

 

Il limite del rapporto non è 1 come richiesto dalla definizione. E dunque? Le equivalenze asintotiche non possono essere usate in presenza di funzioni composte? Ancora una volta la risposta è: dipende. Possiamo aggirare questo inconveniente affidandoci ai limiti notevoli in forma generale. In base alla tabella dei limiti notevoli valgono le seguenti relazioni asintotiche

 

Se \lim_{x\to x_0}f(x)=0, allora

 

 

\begin{matrix}\sin(f(x))\sim f(x) & \ln(1+f(x))\sim f(x) & \log_{a}(1+f(x))\sim \frac{f(x)}{\ln(a)} \\ \\ e^{f(x)}-1\sim f(x) & a^{f(x)}-1\sim \ln(a) f(x) & (1+f(x))^{c}-1\sim c f(x)\\ \\ 1-\cos(f(x))\sim \frac{1}{2}[f(x)]^2 & \tan(f(x))\sim f(x) & \arcsin(f(x))\sim f(x)\\ \\ \arctan(f(x))\sim f(x) & \sinh(f(x))\sim f(x) & \cosh(f(x))-1\sim \frac{[f(x)]^2}{2} \\ \\ & \tanh(f(x))\sim f(x) & \end{matrix}

 

 

Grazie a questa piccola tabella possiamo esibire equivalenze asintotiche di moltissime funzioni. Possiamo procedere con un esempio.

 

 

Esempio

 

Costruiamo la stima asintotica della seguente funzione

 

f(x)=\frac{x^2(\sqrt{1+\sin(x)}-1)}{e^{\sin(x)}-1}\mbox{ per }x\to 0

 

Per x\to 0 valgono le seguenti stime asintotiche

 

x^2\sim_{x\to 0}x^2 (proprietà riflessiva)

 

Poiché per x\to 0 risulta che \sin(x)\to 0 ed inoltre vale l'equivalenza asintotica

 

\sqrt{1+f(x)}-1\sim_{f(x)\to 0}\frac{f(x)}{2}

 

allora

 

\sqrt{1+\sin(x)}-1\sim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{2}

 

D'altro canto, poiché l'argomento del seno è infinitesimo, vale inoltre

 

\sin(x)\sim_{x\to 0}x

 

Per la proprietà transitiva possiamo scrivere

 

\sqrt{1+\sin(x)}-1\sim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{2}\sim_{x\to 0}\frac{x}{2}

 

Per la regola sulla equivalenza asintotica del prodotto di funzioni segue che

 

x^2(\sqrt{1+\sin(x)}-1)\sim_{x\to 0}x^2\cdot \frac{x}{2}=\frac{x^3}{2}

 

Il numeratore è andato; concentriamoci sul denominatore. Grazie all'equivalenza asintotica notevole dell'esponenziale

 

e^{f(x)}-1\sim_{f(x)\to 0}f(x)

 

si ha che

 

e^{\sin(x)}-1\sim_{x\to 0}\sin(x)

 

A sua volta la funzione seno è asintoticamente equivalente al suo argomento quando questo tende a zero

 

\sin(x)\sim_{x\to 0}x

 

Per la proprietà transitiva

 

e^{\sin(x)}-1\sim_{x\to 0}\sin(x)\sim_{x\to 0}x

 

Per la regola sul prodotto delle equivalenze asintotiche si ha che

 

\frac{x^2(\sqrt{1+\sin(x)}-1)}{e^{\sin(x)}-1}\sim_{x\to 0}\frac{\frac{x^3}{2}}{x}=\frac{x^2}{2}

 

Relazione tra equivalenza asintotica e o-piccolo

 

Siamo in dirittura d'arrivo. Ora ci occupiamo della relazione che sussiste tra le equivalenze asintotiche ed il simbolo di o-piccolo. Attenzione perché quella che segue è una delle più potenti relazioni a nostra disposizione che consentono di costruire le equivalenze asintotiche.

 

Consideriamo due funzioni f(x),g(x) definite in un intorno bucato di x_0, con g(x) diverso da zero in tale intorno. Se f(x)=g(x)+o(g(x)) per x\to x_0 allora f(x) è asintoticamente equivalente a g(x) per x che tende a x_0.

 

In simboli

 

\mbox{Se }f(x)=g(x)+o(g(x))\mbox{ per }x\to x_0\mbox{ allora }f(x)\sim g(x)\mbox{ per }x\to x_0

 

 

Esempi

 

1) Supponiamo di voler costruire un'equivalenza asintotica alla funzione

 

f(x)=x+x^2-3x^3 \mbox{ per } x \to 0

 

È chiaro che per x\to 0 si ha che x^2=o(x), così come -3x^3=o(x), di conseguenza possiamo riscrivere la funzione f(x) come:

 

f(x)=x+o(x)\mbox{ per }x\to 0

 

Per la relazione tra equivalenza asintotica e o-piccolo si ha che

 

f(x)\sim x\mbox{ per }x\to x_0

 

 

2) Determiniamo ora un'equivalenza asintotica associata alla funzione

 

f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+3x\mbox{ per }x\to -\infty

 

È evidente che gli addendi \frac{1}{x},\ \frac{1}{x^2} sono infinitesimi per x\to -\infty, mentre l'addendo 3x diverge a meno infinito, dunque possiamo esprimere f(x) come:

 

f(x)=3x+o(x)

 

pertanto

 

f(x)\sim 3x\mbox{ per }x\to -\infty

 

 


 

 

Tanta teoria che potrebbe sembrarvi astratta, ma non è così. ;) Le equivalenze asintotiche stravolgono e semplificano tantissimo il calcolo dei limiti. Non abbiamo voluto allungare ulteriormente questa lezione con esempi sui limiti con le equivalenze asintotiche, ma non c'è problema: nella scheda di esercizi correlati potete consultare svariati esempi pratici di applicazione.

 

 

Buona Matematica a tutti

Salvatore Zungri (A.K.A. Ifrit)

 

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