O-piccolo e algebra degli o-piccolo

L'o-piccolo è un simbolo matematico, solitamente indicato con o(·), che rientra nella famiglia dei cosiddetti simboli di Landau e che viene usato per individuare l'ordine di infinitesimo di una funzione rispetto ad una funzione campione, al tendere di x ad un determinato valore o all'infinito.

 

In questa lezione vedremo cos'è l'o-piccolo, ne elencheremo le proprietà generali ed elencheremo le regole dell'algebra degli o-piccolo. Infine daremo un significato ad un particolare simbolo che ricorre spessissimo in Analisi Matematica: l'o-piccolo di 1, denotato come o(1).

 

Nota bene: il simbolo di o-piccolo e più in generale i simboli di Landau sono oggetto di studio solamente nei corsi di Analisi all'università. Gli studenti delle scuole superiori possono astenersi dalla lettura. ;)

 

Definizione di o-piccolo

 

Partiamo dalla definizione di o-piccolo, nuda e cruda. Non spaventatevi: per quanto possa sembrare impegnativa verrà ridimensionata parecchio dai successivi esempi. 

 

Siano f(x),g(x) due funzioni definite su un insieme A, e sia x_0 un punto di accumulazione per A, eventualmente infinito. Se il limite per x che tende a x_0 del rapporto tra le funzioni f(x),g(x) è uguale a zero, allora diremo che f(x) è un o-piccolo di g(x) per x che tende a x0.

 

In simboli:

 

\mbox{ se }\ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0\ \implies\ f(x)=o_{x_0}(g(x))

 

La notazione o_{x_0}(g(x)) può essere alleggerita scrivendo f(x)=o(g(x)), a patto di specificare in altro modo che la relazione di o-piccolo vale per x\to x_0.

 

Pur avendo dato una definizione di o-piccolo, non è ancora chiaro che cosa si intenda con questo simbolo. Dal punto di vista formale l'o-piccolo individua una classe di funzioni.

 

Più precisamente, la classe o(g(x))\mbox{ per }x\to x_0 contiene tutte le funzioni definite in un intorno bucato di x_0,\ B(x_0,\delta)-\{x_0\}, il cui limite del rapporto con g(x) per x\to x_0 vale zero.

 

In formule:

 

o_{x_0}(g)=\left\{f:B(x_0, \delta)\setminus\{x_0\}\to \mathbb{R}\ :\ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0\right\}

 

 

Osservazione (notazione imprecisa, ma è tutto ok!)

 

Qualcuno potrebbe obiettare che la scrittura f(x)=o_{x_0}(g(x)) non sia corretta, ed in effetti è così. In termini rigorosi dovremmo utilizzare la notazione insiemistica di appartenenza, ossia f(x)\in o_{x_0}(g(x)), ma per questioni storiche essa non ha preso piede negli ambienti accademici.

 

Esempi sugli o-piccolo

 

Prima di elencare le proprietà degli o-piccolo, proponiamo qualche esempio introduttivo.

 

 

a) x^2=o(x)\mbox{ per }x\to 0

 

Infatti è immediato verificare che

 

\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=\lim_{x\to 0}x=0

 

 

b)\ \sin(x)=o(x)\mbox{ per }x\to +\infty

 

Infatti, in accordo con la definizione, risulta che

 

\lim_{x\to +\infty}\frac{\sin(x)}{x}=0

 

 

c)\ \sin(x^2)=o(\ln(1+x))\mbox{ per }x\to 0

 

Anche in questo caso la notazione di o-piccolo si giustifica immediatamente: per verificarla basta tenere a mente la definizione

 

\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x^2)}{\ln(1+x)}=

 

e usare i limiti notevoli

 

=\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=\lim_{x\to 0}x=0

 

 

d) Dall'esempio a) sappiamo che x^2=o(x)\mbox{ per }x\to 0, ma d'altra parte x^2 non è un o-piccolo di x per x\to +\infty. Infatti

 

\lim_{x\to +\infty}\frac{x^2}{x}=+\infty\ne 0

 

Quest'ultimo esempio mettono in chiaro un aspetto davvero fondamentale: nella notazione di o-piccolo è necessario specificare a cosa tende la variabile indipendente x. L'omissione di questa informazione potrebbe invalidare la correttezza di un esercizio.

 

Significato della definizione di o-piccolo e trucco per ricordarla

 

Agli esordi è naturale fare confusione con la definizione, soprattutto quando si affrontano i primi esercizi. Ecco dunque un trucchetto per evitare di fare disastri e per ricordare quale funzione va a numeratore e quale a denominatore: leggere

 

f(x)=o(g(x))\ \ \mbox{ per }x\to x_0

 

come f(x) viene mandato a zero da g(x) per x\to x_0. Quel che viene mandato a zero sta sopra, quel che lo manda a zero sta sotto, in perfetto accordo con quanto sappiamo dal confronto tra infinitesimi:


\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0

 

In termini più rigorosi il trucchetto non è nient'altro che una riproposizione spannometrica del significato del simbolo di o-piccolo. Scrivere f(x)=o(g(x))\mbox{ per }x\to x_0 (dove x_0 può essere anche infinito) vuol dire semplicemente che f(x) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g(x) per x che tende ad x_0.

 

Utilità del simbolo di o-piccolo

 

La lezione è ancora lunga, quindi facciamo una pausina. Vi anticipiamo sin da subito che il simbolo di o-piccolo riveste un'importanza monumentale nell'Analisi Matematica e che è una delle "parole" più ricorrenti nel matematichese. Esso permette di calcolare quasi tutti i limiti con una notazione rapida ed efficace. Dopo aver imparato a padroneggiarlo ne apprezzerete la comodità, fidatevi... ;)

 

Non possiamo elencare tutte le applicazioni (sono illimitate) ma vogliamo rovinarvi la sorpresa e anticiparvi che il primo argomento in cui gli o-piccolo sono necessari è dato dagli sviluppi di Taylor.

 

Algebra degli o-piccolo

 

Si riparte: ora che abbiamo la definizione passiamo ad enunciare l'insieme di proprietà che caratterizzano gli o-piccolo e che va sotto il nome di Algebra degli o-piccolo. Tali regole riguardano le principali operazioni algebriche tra o-piccoli e permettono all'atto pratico di effettuare i calcoli con gli o-piccoli: addizione, sottrazione, prodotto e potenza.

 

 

Proprietà fondamentale degli o-piccolo

 

\lim_{x\to x_0}\frac{o(f(x))}{f(x)}=0

 

Niente di difficile: tutte le funzioni che appartengono alla classe di o-piccolo di f(x) sono infinitesimi di ordine superiore rispetto a f(x)\mbox{ per }x\to x_0. Nient'altro che una riscrittura della definizione.

 

Cerchiamo di memorizzare bene questa relazione perché interviene nella risoluzione dei limiti con Taylor. Avremo modo di approfondire la questione a suo tempo, per ora continuiamo con l'elenco delle proprietà.

 

 

Moltiplicazione per una costante

 

\\ o(c\cdot g(x))= o(g(x))\mbox{ per }x\to x_0\\ \\ c\cdot o(g(x))=o(g(x))\mbox{ per }x\to x_0

 

Dunque le costanti moltiplicative possono essere tranquillamente trascurate se accompagnate dall'o-piccolo.

 

 

Potenza di una funzione

 

\\ \mbox{ Se }f(x)=o(g(x))\mbox{ per }x\to x_0\\ \\ \mbox{ allora }[f(x)]^a=o([g(x)]^a)\mbox{ per }a>0

 

Questa proprietà dice sostanzialemente che l'o-piccolo è stabile quando applichiamo le potenze.

 

 

Somma tra o-piccolo

 

o(f(x))+o(f(x))=o(f(x))\mbox{ per }x\to x_0

 

 

Prodotto tra una funzione e un o-piccolo

 

f(x)o(g(x))= o(f(x) g(x))\mbox{ per }x\to x_0

 

 

Prodotto tra o piccolo

 

o(f(x))o(g(x))=o(f(x)g(x))\mbox{ per }x\to x_0

 

 

O-piccolo di o-piccolo

 

o(o(f(x)))=o(f(x))\mbox{ per }x\to x_0

 

 

O-piccolo ed equivalenze asintotiche - 1

 

Se per x che tende a x_0 risulta che f(x) è asintoticamente equivalente a f_1(x), allora l'o-piccolo di f(x) coincide con l'o-piccolo di f_1(x).

 

\mbox{Se }f(x)\sim_{x_0}f_1(x)\mbox{ allora }o(f(x))=o(f_1(x))\mbox{ per }x\to x_0

 

 

O-piccolo ed equivalenze asintotiche - 2

 

Se per x che tende a x_0 risulta che f(x) è asintoticamente equivalente a f_1(x), se g(x) è asintoticamente equivalente a g_1(x) e se inoltre f(x) è un o-piccolo di g(x), allora f_1(x) è un o-piccolo di g_1(x).

 

\begin{cases}f(x)\sim_{x_0}f_1(x)\\ g(x)\sim_{x_0}g_1(x)\\ f(x)=o(g(x))\mbox{ per }x\to x_0\end{cases}\ \ \ \implies\ \ \ f_1(x)=o(g_1(x))\mbox{ per }x\to x_0

 

In parole povere le equivalenze asintotiche conservano gli o-piccolo.

 

Proprietà degli o piccolo di potenze di  x con esponente positivo

 

Le regole dell'algebra degli o-piccolo appena esposte valgono nei casi più generali; le proprietà che seguono continuano a far parte dell'algebra degli o-piccolo, ma riguardano il caso in cui l'argomento dell'o-piccolo è una potenza di x con esponente positivo e x\to x_0=0.

 

Siano n,m>0,\ x_0=0

 

\\ c\cdot o(x^n)=o(c\cdot x^n)=o(x^n)\\ \\ o(x^{n})\pm o(x^{m})= o(x^{p})\mbox{ dove }p=\mbox{min}(n, m)\\ \\ o(x^m)o(x^n)= o(x^{m+n})\\ \\ x^{m} o(x^n)=o(x^{m+n})\\ \\ x^{m}=o(x^n)\mbox{ con }n<m

 

Esempi sull'algebra degli o-piccolo

 

Lo sappiamo, vi abbiamo subissato di proprietà e regole. Ora passiamo agli esempi, ma ribadiamo il nostro invito: abbiate fiducia. Tutte le regole viste in precedenza sono semplici da imparare, bastano pochi esercizi. ;)

 

 

Esempio 1

 

Calcoliamo il prodotto

 

o(x^4)[1 + \sin(x)]=1\cdot o(x^4)+o(x^4)\sin(x)

 

Per la proprietà sul prodotto tra una costante e l'o piccolo, vale l'uguaglianza 1\cdot o(x^4)= o(x^4), mentre la proprietà d) sul prodotto tra una funzione e un o-piccolo avremo che o(x^4)\sin(x)=o(x^4\sin(x)).

 

Il limite notevole del seno ci assicura la validità della stima asintotica \sin(x)\simx e per le relazioni che legano l'o-piccolo con le stime asintotiche abbiamo che

 

o(x^4\sin(x))=o(x^4 x)=o(x^5)

 

pertanto

 

1\cdot o(x^4)+o(x^4)\sin(x)= o(x^4)+o(x^5)

 

Per la proprietà sulla somma degli o-piccolo di potenze di x si ha che

 

o(x^4)+o(x^5)=o(x^4)

 

possiamo concludere quindi che l'espressione di partenza coincide con o(x^4).

 

 

Esempio 2

 

Determiniamo il prodotto

 

[1+o(x^4)][1+x+x^2+ o(x^2)]\mbox{ per }x\to 0

 

Eseguiamo la moltiplicazione, così da ottenere

 

1+x+x^2+o(x^2)+o(x^4)+x o (x^4)+x^2 o(x^4)+o(x^4)o(x^2)

 

Per la proprietà sul prodotto tra una funzione e l'o piccolo si ha che

 

1+x+x^2+o(x^2)+o(x^4)+o(x^5)+o(x^6)+o(x^6)\mbox{ per }x\to 0

 

Siamo di fronte ad un esempio in cui compare la somma di o piccolo con potenze di x ad esponente positivo, e proprietà 1. sulla somma degli o piccolo si ha che 

 

o(x^2)+o(x^4)+o(x^5)+o(x^6)+o(x^6)=o(x^2)

 

In definitiva per x che tende a zero

 

[1+o(x^4)][1+x+x^2+o(x^2)]= 1+x+x^2+o(x^2)

 

 

Esempio 3

 

Valutiamo il seguente prodotto

 

[1+x+o(x^2)][1+x+o(x)]\mbox{ per }x\to 0

 

Eseguiamo la moltiplicazione ottenendo

 

1+x+o(x)+x+x^2+x o(x)+o(x^2)+x o(x^2)+o(x)o(x^2)=

 

Le proprietà degli o-piccolo del prodotto ci permettono di giungere all'espressione

  

\\ =1+x+o(x)+x+x^2+o(x^2)+o(x^2)+o(x^3)+o(x^3)=\\ \\ 1+x+x+x^2+o(x)+o(x^2)+o(x^2)+o(x^3)+o(x^3)=

 

Per la proprietà sulla somma tra o piccolo di una potenza di x si ha che

 

=1+x+x+x^2+o(x)=1+2x+x^2+ o(x)=

 

e dunque, inglobando l'infinitesimo di ordine superiore (x^2) rispetto a x

 

=1+2x+o(x)

 

o-piccolo di 1

 

Prima di portare a termine questa lezione, prendiamoci qualche minuto per comprendere cosa indica il simbolo o(1). Per definizione di o piccolo, f(x) è un o-piccolo di 1 per x\to x_0 se e solo se il limite per x\to x_0 del rapporto tra f(x) ed 1 è zero.

 

\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{1}=0

 

Ora, sappiamo sin dalle scuole medie che l'uno al denominatore può essere sottointeso, dunque il precedente limite non è altro che:

 

\lim_{x\to x_0}f(x)=0

 

pertanto o(1) è la classe di funzioni infinitesime per x che tende a un certo x0 fissato, nulla di più.

 

o_{x_0}(1)=\{f:B(x_0, \delta)\setminus\{x_0\}\to \mathbb{R}:\ \lim_{x\to x_0}f(x)=0\}

 

 


 

Per questa lezione è tutto. Nel caso foste in cerca di esercizi svolti vi consigliamo di fare buon uso della barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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