Teorema di de l'Hôpital

Nel calcolare i limiti una delle tecniche a nostra disposizione prevede l'utilizzo del teorema di de l'Hôpital. Attenzione: l'utilizzo di questo teorema nel calcolo dei limiti prevede di saper calcolare le derivate di funzioni.

 

Il teorema di de l'Hôpital fornisce un criterio semplice e accessibile a tutti gli studenti, ma la dimostrazione è un po' ostica e non la riportiamo. Ecco l'enunciato...

 

Enunciato del teorema di de l'Hôpital

 

Siano f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} funzioni derivabili su un intervallo (a,b), con a e b valori finiti o infiniti. Supponiamo che:

 

(i) g'(x)\neq 0 \mbox{ }\forall x\in(a,b), ossia che la derivata di g(x) non sia mai nulla sull'intervallo considerato;

 

(ii) il limite \lim_{x\to a^+}{\frac{f'(x)}{g'(x)}} esista, finito o infinito.

 

Se inoltre \lim_{x\to a^+}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\left[\frac{0}{0}\right], oppure se \lim_{x\to a^+}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]allora (tesi):

 

- esiste il \lim_{x\to a^+}{\frac{f(x)}{g(x)}};

 

- vale\lim_{x\to a^+}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{x\to a^+}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}.

 

Analogamente nel caso di x\rightarrow b^{-}.

 

Nota: in questa sede omettiamo la dimostrazione. Chi volesse leggerla è libero di consultarla nel topic del link.

 

Come usare il teorema di De l'Hôpital con i limiti

 

All'inizio di questa lezione ho detto che il teorema è semplice. Ho mentito? No! Laughing Iniziamo a dividere il risultato espresso dal teorema in due parti: la prima riguarda l'esistenza del limite; la seconda fornisce un metodo pratico di calcolo.

 

Occupiamoci della parte pratica. Il teorema di de l'Hôpital ci dice sostanzialmente quanto segue. Abbiamo un limite con x→x0, dove x0 può essere un valore finito o infinito, il limite è un rapporto di funzioni entrambe differenziabili e il denominatore è una funzione che deve avere derivata MAI nulla sull'intervallo.

 

Ok, ma quale intervallo? Lo scegliamo noi, a patto che uno dei due estremi sia il valore x0 cui tende la x nel limite. A questo punto, prima di poter usare de l'Hôpital, dobbiamo assicurarci che il limite dia come forma indeterminata

 

\left[\frac{0}{0}\right]   oppure   \left[\frac{\infty}{\infty}\right]

 

Se valgono queste tre ipotesi, nella pratica anzichè calcolare

 

\lim_{x\to x_{0}}{\frac{f(x)}{g(x)}}

 

calcoliamo il limite del rapporto delle SINGOLE derivate


\lim_{x\to x_{0}}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}

 

che - scopo del gioco - dovrebbe essere più semplice di quello di partenza.

 

Tra le altre cose, se il nuovo limite non è abbastanza semplice, ma le funzioni f'(x) e g'(x) soddisfano le ipotesi che nel teorema sono richieste per f e g, allora possiamo riapplicare de l'Hôpital. Prima o poi ci troveremo di fronte ad un limite semplice...

 

Quando usare de l'Hôpital?

 

Il criterio che il teorema stabilisce è semplice, un po' meno capire quando usarlo. Ricordiamoci che lo scopo è calcolare un limite, e che disponiamo di tanti metodi: dunque se i metodi che preferiamo usare di solito non bastano, vale la pena di dare un'occhiatina e controllare se valgono le ipotesi di de l'Hôpital. Se valgono, possiamo usarlo.

 

La risposta alla domanda è quindi: quando non abbiamo alternative più semplici (limiti notevoli, trucchi algebrici, etc...) e quando valgono le ipotesi richieste dal teorema.

 

 

Esempi

 

1) Consideriamo il

 

\lim_{x\to+\infty}{\left(1+\frac{1}{2x}\right)^{3x^2}}=\left[1^{\infty}\right].

 

Qui non possiamo neppure scrivere la funzione come un rapporto di funzioni. Non possiamo usare de l'Hôpital!

 

2) Consideriamo il

 

\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}{\frac{1-\sin{(x)}}{\cos{(x)}}}=\left[\frac{0}{0}\right].

 

Qui possiamo ricorrere al teorema: la forma di indecisione va bene; le funzioni sono differenziabili su tutto l'asse reale, quindi possiamo scegliere l'intervallo (a,b) del teorema a nostro piacimento; infine, per fare in modo che la derivata del denominatore g(x) (g'(x)=-sin(x)) non sia mai nulla sull'intervallo (a,b) scelto, ci basta prendere ad esempio

 

(a,b)=\left(\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3}\right).

 

Possiamo allora calcolare al posto del limite di partenza:

 

\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}{\frac{-\cos{(x)}}{-\sin{(x)}}}=\frac{0}{1}=0.

 

3) Consideriamo il

 

\lim_{x\to 0}{\frac{\sqrt{\cos{(x)}}-1}{\ln{(1+x)}-x}}.

 

Possiamo applicare de l'Hôpital? Forse. Un estremo dell'intervallo (a,b) dovrà essere zero, potremmo prendere (-1,0). Guardiamo le derivate:

 

\frac{1}{2\sqrt{\cos{(x)}}}(-\sin{(x)}),      \frac{1}{1+x}-1

 

si vede che f non è derivabile nei punti del tipo x=\frac{\pi}{2}+k\pi con k intero relativo (vale a dire le ascisse che annullano il denominatore della derivata), mentre g non è derivabile nel punto x=-1. Quindi su (-1,0) le funzioni f e g sono derivabili (gli estremi vanno esclusi!!!) e g'(x) non si annulla in (-1,0) (si annulla in x=0, ma ancora una volta gli estremi vanno esclusi). Ci manca da controllare se esiste il limite del rapporto delle singole derivate:

 

\lim_{x\to 0}{\frac{-\frac{\sin{(x)}}{2\sqrt{\cos{(x)}}}}{\frac{1}{1+x}-1}}=\left[\frac{0}{0}\right]=\lim_{x\to 0}{\frac{-\sin{(x)}}{2\sqrt{\cos{(x)}}}\frac{x+1}{-x}}=\frac{1}{2}.

 

Quindi esiste, e abbiamo anche calcolato il limite.

 


 

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Atsisveikinimas, see you soon guys!

Agente Ω

 

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