Asintoto obliquo

Un asintoto obliquo è una retta del piano cartesiano, di equazione y=mx+q, che approssima il comportamento di una data funzione f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, y=f(x) all'infinito (per x→+∞ oppure per x→-∞).

 

In questa lezione faremo vedere quali sono le condizioni che garantiscono l'esistenza di un asintoto obliquo per una funzione y=f(x), e mostreremo come calcolare il coefficiente angolare m e l'ordinata all'origine q.

 

Innanzitutto: una funzione può avere un solo asintoto obliquo (per x→+∞ oppure per x→-∞), due asintoti obliqui (uno per x→+∞ e uno per x→-∞) oppure nessuno.

 

Equazione di un asintoto obliquo

 

Supponiamo che una assegnata funzione y=f(x) abbia un asintoto obliquo, e per fissare le idee supponiamo che esso approssimi i valori della funzione per x→+∞ (nel caso x→-∞ si ragiona allo stesso modo). Scriviamo l'equazione della retta nella forma generica y=mx+q, e ragioniamo così: la retta e la funzione hanno la stesso comportamento per x→+∞, quindi

 

\left(\clubsuit \right)\mbox{ }\lim_{x\to+\infty}{f(x)}=\lim_{x\to+\infty}{mx+q}.

 

Dato che ci troviamo in un intorno di +∞, la precedente uguaglianza implica la successiva

 

\lim_{x\to+\infty}{\frac{f(x)}{x}}=\lim_{x\to+\infty}{\frac{mx+q}{x}}

 

e quindi riscrivendo il secondo membro

 

\lim_{x\to+\infty}{\frac{f(x)}{x}}=\lim_{x\to+\infty}{m+\frac{q}{x}}

 

Ora osserviamo che q/x→0 per x→+∞, essendo q un valore reale finito (una costante). D'altra parte anche m è una costante e quindi troviamo

 

\lim_{x\to+\infty}{\frac{f(x)}{x}}=m   [coefficiente angolare dell'asintoto obliquo]

 

Tornando per un secondo all'uguaglianza (♣), la riscriviamo nella forma

 

\lim_{x\to+\infty}{f(x)}=\lim_{x\to+\infty}{mx}+\lim_{x\to+\infty}{q}

 

cioè

 

\lim_{x\to+\infty}{\left[f(x)-mx\right]}=q

 

dove al posto di m dobbiamo sostituire il valore precedentemente calcolato. Abbiamo così l'equazione dell'asintoto obliquo.

 

Condizioni di esistenza di un asintoto obliquo

 

Ora dobbiamo stabilire delle regole che ci permettano di dire se una funzione y=f(x) ha due asintoti obliqui, uno oppure nessuno. Naturalmente se f(x) ha dominio limitato superiormente, dunque un dominio della forma (-∞,a), oppure limitato inferiormente, quindi del tipo (b,+∞), allora dovremo calcolare rispettivamente solo il limite per x→-∞ nel primo caso e per x→+∞ nel secondo.

 

Mettiamoci però nella situazione più generica: immaginiamo che la funzione y=f(x) sia definita in un intorno di -∞ e in un intorno di +∞. Vogliamo stabilire se essa ha un asintoto obliquo per x→+∞. Facciamo così:

 

1) Calcoliamo

 

\lim_{x\to+\infty}{f(x)}=\left\{\begin{matrix}\pm \infty\\c\in(-\infty,+\infty)\end{matrix} 

 

Se il limite è finito allora non c'è asintoto obliquo, se invece il limite è infinito potrebbe esserci un asintoto obliquo.

 

2) Se il precedente limite è infinito, allora calcoliamo \lim_{x\to+\infty}{\frac{f(x)}{x}}=m.

 

2.a) Se m=\pm\infty, non c'è asintoto obliquo;

 

2.b) Se -\infty \textless  m \textless +\infty, ancora, potrebbe esserci un asintoto obliquo.  

 

3) Se siamo nel caso 2.b), ovvero se anche il precedente limite è finito, calcoliamo \lim_{x\to+\infty}{f(x)-mx}=q.

 

3.a) Se q=\pm\infty allora non c'è asintoto obliquo;

 

3.b) se -\infty< q <+\infty allora y=f(x) ha asintoto obliquo dato da

 

y=mx+q

 

 


 

 

Lo schema logico è estremamente semplice, il tutto si riduce a calcolare qualche limite, alla peggio tre. Se hai letto gli articoli asintoti orizzontali e asintoti obliqui, nelle schede di esercizi correlati ti viene richiesto di determinare tutti gli eventuali asintoti delle funzioni proposte. Se vuoi puoi provare da solo.

 

Se qualcosa non fosse chiaro apri pure una discussione nel Forum, e prova ad effettuare un paio di ricerche qui su YM: potresti rimanere molto soddisfatto...Wink

 

[L'argomento di questa lezione viene anche trattato in sintesi nella categoria "Studio di funzioni (grafico)"]

 

Güle güle, see you soon guys!


Agente Ω

 

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