Asintoto verticale

A differenza degli asintoti orizzontali o degli asintoti obliqui, che possono presentarsi solamente agli estremi del dominio, cioè per x→-∞ oppure per x→+∞, gli asintoti verticali si presentano in concomitanza di valori di ascissa finiti. In altri termini, in corrispondenza di ascisse x=x0 con -∞<x0<+∞.

 

Un asintoto verticale è una retta ad ascissa costante, dunque parallela all'asse delle y e della forma x=x0, che approssima l'andamento di una assegnata funzione in corrispondenza di un punto di discontinuità di seconda specie della funzione stessa. Ad esempio, x=3 è asintoto verticale per la funzione

 

y=\frac{x^{2}+2}{x-3}

 

 

Per capire quel che abbiamo appena detto, è sufficiente guardarne il grafico

 

Asintoto verticale di una funzione

 

Un punto di discontinuità di seconda specie x=x0 è infatti caratterizzato, per definizione, dalla proprietà che almeno uno dei due limiti, per x→x0- (sinistro) o per x→x0+ (destro), o non esiste o è infinito. D'altra parte, si comincia a capire qual è la relazione che sussiste tra le funzioni e i limiti infiniti per x tendente ad un valore finito: questo tipo di limite individua sempre un asintoto verticale!

 

 


 


In particolare, in presenza di un asintoto verticale di equazione x=x0, una funzione può comportarsi nei modi seguenti:

 

1) f(x)\rightarrow +\infty per x\rightarrow x_{0}^{-} e f(x)\rightarrow +\infty per x\rightarrow x_{0}^{+}, ossia la funzione diverge a +∞ sia a sinistra che a destra del punto;

 

2) f(x)\rightarrow -\infty per x\rightarrow x_{0}^{-} e f(x)\rightarrow -\infty per x\rightarrow x_{0}^{+}, ossia la funzione diverge a -∞ sia a sinistra che a destra del punto;

 

3) f(x)\rightarrow +\infty per x\rightarrow x_{0}^{-} e f(x)\rightarrow -\infty per x\rightarrow x_{0}^{+}, ossia la funzione diverge a +∞ a sinistra e a -∞ a destra del punto;

 

4) f(x)\rightarrow -\infty per x\rightarrow x_{0}^{-} e f(x)\rightarrow +\infty per x\rightarrow x_{0}^{+}, ossia la funzione diverge a -∞ a sinistra e a +∞ a destra del punto;

 

Asintoti verticali sinistri o destri

 

In particolare si può estendere la definizione di asintoto verticale considerando anche il caso in cui solo uno dei due limiti sinistro o destro vale \pm\infty. In un'eventualità del genere parleremo di:

 

5) asintoto verticale destro in x=x_0 se \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty oppure \lim_{x\to x_0^+}f(x)=-\infty e nel contempo il limite sinistro esiste finito, non esiste oppure la funzione non è nemmeno definita in un intorno sinistro di x=x_0.

 

6) asintoto verticale sinistro in x=x_0 se \lim_{x\to x_0^-}f(x)=+\infty oppure \lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty e nel contempo il limite destro esiste finito, non esiste oppure la funzione non è nemmeno definita in un intorno destro di x=x_0.

 

Un classico esempio è dato dalla funzione logaritmica f(x)=\log(x) che presenta come asintoto verticale destro la retta x=0.

 

Quando c'è e come si trova un asintoto verticale

 

Abbiamo detto una funzione y=f(x) ha asintoti verticali in corrispondenza dei punti di discontinuità di seconda specie. Cosa possiamo fare per trovare le ascisse x=x0 che danno luogo ad un asintoto verticale? Ragionando seguendo questo schema è impossibile sbagliare:

 

  1. Ogni volta che hai sotto il naso una funzione, per prima cosa determinane il dominio (insieme di definizione della funzione).

I valori finiti di ascissa che vengono esclusi singolarmente dal dominio sono punti da controllare. Se ad esempio avessimo una funzione con dominio del tipo \left(-\infty,a\right)\cup\left(a,b\right)\cup\left(b,+\infty\right), le uniche ascisse che dovremmo controllare sono a e b.

  1. Dobbiamo anche controllare i valori di ascissa finiti che limitano il dominio inferiormente o superiormente. Ad esempio, se il dominio della nostra funzione fosse \left(c,+\infty\right) oppure \left(-\infty,d\right), dovremmo rispettivamente occuparci dei punti c nel primo caso e d nel secondo.

  2. Se ci sono asintoti verticali, possono esserci solamente in corrispondenza delle ascisse dei precedenti tipi.

  3. Per vedere se un punto (tra quelli del tipo precedente!!!) corrisponde ad un asintoto verticale, ad esempio fissiamoci sul punto x=a, dovremo calcolare i limiti sinistro e destro della funzione per x→a, ossia


    \lim_{x\to a^{-}}{f(x)}\mbox{ e }\lim_{x\to a^{+}}{f(x)}.


    Se anche solo uno dei due precedenti limiti è infinito, allora x=a è asintoto verticale per la funzione y=f(x).

  4. Nel caso dei punti che limitano inferiormente (caso \left(c,+\infty\right)) oppure superiormente (caso \left(-\infty,d\right)) e che sono esclusi dal dominio stesso (niente parentesi quadra!), andranno calcolati solamente il limite destro nel primo caso e il limite sinistro nel secondo caso:

    \lim_{x\to c^{+}}{f(x)}   e   \lim_{x\to d^{-}}{f(x)}.

 

Esempio di funzione con due asintoti verticali

 

Prendiamo

 

y=\frac{\ln{(x)}}{x-2}

 

che ha dominio Dom(f)=\left(0,2\right)\cup\left(2,+\infty\right). Per vedere se ci sono asintoti verticali, calcoliamo i limiti richiesti

 

\lim_{x\to 0^{+}}{\frac{\ln{(x)}}{x-2}}=+\infty

 

\lim_{x\to 2^{-}}{\frac{\ln{(x)}}{x-2}}=-\infty

 

\lim_{x\to 2^{+}}{\frac{\ln{(x)}}{x-2}}=+\infty

 

e scopriamo così che x=0 e x=2 sono asintoti verticali per la funzione, come ci conferma il grafico.

 

Funzione con due asintoti verticali

 

Nelle schede di esercizi correlati potrai provare a determinare gli asintoti verticali delle funzioni che ti verranno proposte, ma non solo: anche quelli orizzontali e obliqui. Hai letto le relative lezioni? :)

 

Se dovessi avere dubbi o se ci dovesse essere qualcosa che non hai capito, puoi cercare qui su YM tra le tonnellate di D&R e Discussioni che abbiamo risolto, oppure puoi chiedere spiegazioni aprendo un topic nel Forum.

 

[L'argomento di questa lezione viene anche trattato in sintesi nella categoria "Studio di funzioni (grafico)"]

 

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Agente Ω

 

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