Asintoto orizzontale

Un asintoto orizzontale è una retta che approssima l'andamento di una funzione, e quindi i valori che essa assume, al tendere di x a +∞ oppure a -∞ (a seconda dei casi). Ad esempio, una retta come quella in figura

 

Due asintoti orizzontali

 

 

Innanzitutto, essendo una retta orizzontale, un asintoto orizzontale viene individuato da un'equazione ad ordinata costante, ossia un'equazione della forma y=y0 dove y0 è un qualche numero reale.

 

Come e quando una funzione ha un asintoto orizzontale

 

Abbiamo detto che un asintoto orizzontale è una retta che approssima l'andamento di una assegnata funzione all'infinito. Di conseguenza, per poterne determinare l'esistenza dovremo calcolare un limite per x tendente a +∞, oppure a -∞ (a seconda dei casi), e tale limite dovrà assumere un valore finito.

 

Per vedere se una data funzione y=f(x) ha uno, due o nessun asintoto orizzontale dovremo calcolare:

 

\lim_{x\to-\infty}{f(x)}   e   \lim_{x\to+\infty}{f(x)}.

 

Se, fissando ad esempio l'attenzione al caso x→+∞, dovessimo avere

 

\lim_{x\to+\infty}{f(x)}=c

 

con c un valore reale finito, allora y=c è un asintoto orizzontale per la funzione y=f(x). Se invece

 

\lim_{x\to+\infty}{f(x)}=\pm\infty

 

allora la funzione non ha un asintoto orizzontale per x→+∞. Nel caso in cui x→-∞ si ragiona esattamente allo stesso modo.

 

Morale della favola: per dire se una funzione ha uno, due o nessun asintoto orizzontale, è sufficiente calcolare i limiti di f(x) per x tendente a -∞ e a +∞.

 

Esempio di funzione con due asintoti orizzontali

 

Consideriamo

 

y=\frac{x^{2}+2x+7}{4+5x^{2}}.

 

Essa ha asintoti orizzontali y=1/5 per x→-∞ come pure per x→+∞, infatti risulta che

 

\lim_{x\to-\infty}{\frac{x^{2}+2x+7}{4+5x^{2}}}=\frac{1}{5}   e  \lim_{x\to+\infty}{\frac{x^{2}+2x+7}{4+5x^{2}}}=\frac{1}{5}.

 

Dando uno sguardo al grafico della funzione, capiamo subito cosa significa che la retta y=1/5 approssima l'andamento della funzione, in questo caso sia a -∞ che a +∞.

 

Un asintoto orizzontale sia sinistro che destro

 

Esempio di funzione con un solo asintoto orizzontale

 

Data

 

y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}

 

essa ha come asintoto orizzontale a destra (cioè per x→+∞) la retta y=0, mentre a sinistra (per x→-∞) non ha asintoto orizzontale. Abbiamo infatti

 

\lim_{x\to+\infty}{\left(\frac{1}{2}\right)^{x}}=0   e   \lim_{x\to-\infty}{\left(\frac{1}{2}\right)^{x}}=+\infty

 

Asintoto orizzontale da sotto o da sopra? Limite per eccesso o per difetto?

 

Possiamo essere ben più precisi. Per fissare le idee mettiamoci nel caso di x→+∞, e supponiamo che

 

\lim_{x\to+\infty}{f(x)}=c

 

cosicché y=c è asintoto orizzontale per la funzione y=f(x). Se nel calcolare il precedente limite riusciamo a specificare se vale c per eccesso o per difetto, dunque rispettivamente se

 

\lim_{x\to+\infty}{f(x)}=c^{+}   oppure   \lim_{x\to+\infty}{f(x)}=c^{-}

 

allora saremo automaticamente in grado di dire se la funzione si approssima alla retta y=c da sopra o da sotto.

 

Esempio di asintoto orizzontale da sotto


La funzione

 

y=\frac{x}{e^{x}}+1

 

ha asintoto orizzontale y=1 per x→+∞, mentre non ha asintoto orizzontale per x→-∞. In particolare, poiche risulta che

 

\lim_{x\to+\infty}{\frac{x}{e^{x}}+1}=1^{+}

 

ne deduciamo che la funzione considerata si approssima alla retta y=0 da sopra, quando x→+∞.

 

Esempio di asintoto orizzontale da sotto




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