Confronto tra infinitesimi e ordini di infinitesimo

Il confronto tra infinitesimi è un metodo di calcolo dei limiti che permette di capire, ove possibile, quale tra due funzioni convergenti a zero converge più velocemente a zero; il confronto tra infinitesimi viene effettuato facendo riferimento ad una serie di regole che stabiliscono una gerarchia negli ordini di infinitesimo.

 

L'algebra di infiniti e infinitesimi ci ha insegnato che nella teoria dei limiti infiniti e infinitesimi rivestono un ruolo di estrema importanza. Dopo aver studiato il confronto tra infiniti passiamo ad occuparci dell'altra faccia della medaglia e ci accingiamo ad apprendere una tecnica che, in molti casi, ci permetterà di risolvere la forma indeterminata del tipo zero su zero. È giunto il momento di definire in modo rigoroso la nozione di infinitesimo e di capire in quali modi una funzione può convergere a zero.

 

Successivamente proporremo una tabella con regole precise sugli ordini di infinito e vedremo come usarle nei limiti con rapporto di infinitesimi; per concludere daremo la definizione di parte principale di un infinitesimo ed estenderemo il confronto alle somme e alle differenze di infinitesimi.

 

Definizione di infinitesimo (inteso come funzione)

 

Il termine infinitesimo nella teoria dei limiti si rifà alla definizione di limite finito per x tendente a un valore finito e a quella di limite finito per x tendente all'infinito, e si riferisce in particolare ai limiti che valgono zero.

 

Più precisamente: sia f:Dom(f)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R} una funzione definita in un intorno di un punto x_0 di accumulazione per il suo dominio e definita in un intorno di +\infty (rispettivamente di -\infty).

 

Diremo che f è un infinitesimo per x\to x_0 se

 

\lim_{x\to x_0}f(x)=0

 

Diremo che f è un infinitesimo per x\to +\infty (rispettivamente per x\to-\infty) se

 

\lim_{x\to +\infty}f(x)=0\ \ \ \left(\lim_{x\to -\infty}f(x)=0\right)

 

In sintesi una funzione è un infinitesimo per x tendente a un valore finito o infinito se la funzione converge a zero, ossia se il suo limite vale zero. Come si evince facilmente dalla definizione la proprietà di essere un infinitesimo non può prescindere dal valore finito o infinito cui tende la x.

 

Cos'è il confronto tra infinitesimi

 

Innanzitutto, la forma indeterminata che il confronto tra infinitesimi permette di risolvere è

 

\left[\frac{0}{0}\right]

 

a differenza del metodo-cugino dato dal confronto tra infiniti, che si occupa della forma di indecisione infinito su infinito.

 

L'analisi di cui parliamo in questa lezione permette di stabilire quali funzioni tendono a zero più velocemente delle altre. Un rapporto tra due zeri, da che mondo e mondo, non può essere calcolato né con l'algebra standard né con l'algebra di infiniti e infinitesimi. Come ben sappiamo zero diviso zero è un'operazione non definita.

 

Il punto cruciale, come nel caso del confronto tra infiniti, consiste nel capire che la questione non è confrontare due valori (due zeri), bensì in che modo le funzioni si avvicinano a tali valori (a zero). L'importante qui è capire quale tra due funzioni che generano due infinitesimi converge più velocemente a zero: la funzione che più velocemente si avvicina a zero vince. Semplice: si ragiona per velocità, o per dirla in termini rigorosi, si ragiona studiando gli ordini di infinitesimo.

 

Ad esempio, guardando i grafici di y=x^2 (parabola) e y=x (bisettrice primo-terzo quadrante) in un intorno destro di x=0, dovrebbe essere chiaro di cosa stiamo parlando.

 

 

Confronto tra infinitesimi

 

 

Entrambe le funzioni convergono a zero al tendere di x\to 0^+

 

\lim_{x\to 0^+}x^2=0\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to 0^+}x=0

 

ciononostante dal grafico è evidente che esse si avvicinano al valore y=0 in modi diversi: la funzione quadratica (in rosso) converge a zero più velocemente rispetto alla funzione identità al tendere di x\to 0^+.

 

Confronto tra infinitesimi e vari ordini di infinitesimo

 

Per formalizzare il confronto tra le possibili velocità di convergenza a zero dobbiamo introdurre quattro definizioni e altrettante condizioni che ci permettano di stabilire con precisione quando un infinitesimo è "più veloce", "più lento" o "uguale" ad un altro nel convergere a zero.

 

Consideriamo due funzioni reali di variabile reale y=f(x)\mbox{ e }y=g(x) e supponiamo che esse convergano a zero in un punto x_0 e per x\to +\infty

 

\\ \lim_{x\to x_{0}}f(x)=0=\lim_{x\to x_0}{g(x)}\\ \\ \\ <span style="text-align: left;">\lim_{x\to +\infty}f(x)=0=\lim_{x\to +\infty}g(x)

 

Per il caso x\to -\infty varranno considerazioni del tutto analoghe. Non importa a quale valore tende x, l'importante è che contestualmente i limiti di f(x)\mbox{ e }g(x) siano zero, in modo da avere due infinitesimi.

 

 

Definizione (infinitesimo di ordine superiore, o zero di ordine superiore)

 

Diciamo che f(x) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g(x)per x\to x_0 oppure per x\to +\infty se risulta che

 

\\ \lim_{x\to x_{0}}{\frac{f(x)}{g(x)}}=0\\ \\ \\ \lim_{x\to +\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}}=0

 

Vale a dire che f(x) è un infinitesimo di ordine superiore (più veloce) di g(x) se il rapporto \frac{f(x)}{g(x)} tende a zero rispettivamente per x\to x_0 oppure per x\to +\infty.

 

Spiegazione: per definizione una funzione genera un infinitesimo di ordine superiore rispetto a un'altra se si avvicina al valore zero più velocemente rispetto all'altra. A ben vedere la condizione sul limite ha un significato algebrico ben preciso: f(x) è uno zero di ordine superiore ("è uno zero più piccolo") di g(x) se g(x) sta in f(x) sempre meno volte man mano che si passa al limite (per x tendente a ...).

 

Questo è esattamente ciò che esprime il rapporto \frac{f(x)}{g(x)}, che dice quante volte g(x) sta in f(x). Man mano che x tende a x_0 o a +\infty, a seconda dei casi, entrambe le funzioni tendono a zero, ma f(x) assume di volta in volta valori più piccoli rispetto a g(x).

 

 

Definizione (infinitesimo di ordine inferiore, o zero di ordine inferiore)

 

Diciamo che f(x) è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a g(x) per x\to x_0 oppure per x\to +\infty se risulta che

 

\\ \lim_{x\to x_{0}}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\pm\infty\\ \\ \lim_{x\to +\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\pm\infty

 

Spiegazione: a parole, f(x) è un infinitesimo di ordine inferiore (più lento) di g(x) se il rapporto \frac{f(x)}{g(x)} tende a infinito rispettivamente per x\to x_0 oppure per x\to +\infty.

 

A differenza della definizione precedente, qui si vuole esprimere il fatto che f(x) si avvicina a zero più lentamente di g(x) (per x tendente a...), ossia che f(x) assume di volta in volta valori maggiori di g(x) (per x tendente a...).

 

Per esprimere questo fatto in matematichese il modo più logico è, al solito, di imporre una condizione sul rapporto \frac{f(x)}{g(x)}. Se f(x) è via via sempre più grande di g(x) man mano che entrambe le funzioni convergono a zero, allora g(x) sta in f(x) sempre più volte. Il rapporto \frac{f(x)}{g(x)} tende cioè all'infinito.

 

 

Definizione (infinitesimi dello stesso ordine, o zeri di uguale ordine)

 

Diciamo che f(x) è un infinitesimo dello stesso ordine rispetto a g(x) per x\to x_0 oppure per x\to +\infty se risulta che

 

\\ \lim_{x\to x_{0}}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\mbox{costante}\neq 0\\ \\ \\ \lim_{x\to +\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\mbox{costante}\neq 0

 

Con ciò si intende che f(x) è un infinitesimo dello stesso ordine di g(x) se il rapporto \frac{f(x)}{g(x)} tende ad una costante rispettivamente per x\to x_0 oppure per x\to +\infty.

 

Spiegazione: a questo punto dovrebbe essere chiara la logica che ci permette di descrivere il confronto tra le velocità di convergenza di due funzioni a zero. In particolare, con infinitesimi dello stesso ordine si intende che le due funzioni tendono a zero non necessariamente con gli stessi valori, bensì che tendono a zero nello stesso modo, con la stessa velocità.

 

La costante a cui tende il rapporto \frac{f(x)}{g(x)} va intesa come un coefficiente di proporzionalità, che dice di quanto differiscono le due funzioni nel tendere a zero. Attenzione perché c'è un mare di differenza: un conto sono i valori che si hanno man mano che le funzioni si avvicinano a zero, un conto è la velocità con cui si avvicinano a zero.

 

 

Definizione (infinitesimi non confrontabili)

 

Diciamo che f(x)\mbox{ e }g(x) sono infinitesimi non confrontabili rispettivamente per x\to x_0 oppure per x\to +\infty se risulta che

 

\\ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}\ \not\exists\\ \\ \\ \lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\ \not\exists

 

Spiegazione: tale definizione viene introdotta per individuare quei casi patologici in cui il limite del rapporto \frac{f(x)}{g(x)} non esiste, e dunque non è possibile stabilire la gerarchia tra gli infinitesimi generati dalle due funzioni.

 

 

Osservazione (confronto tra infinitesimi da sinistra e da destra)

 

Le definizioni appena scritte per x\to x_0 valgono in modo analogo, con le ovvie modifiche del caso, per i limiti da sinistra e da destra; ciò significa che il confronto tra infinitesimi può essere effettuato singolarmente quando x\to x_0^- e per x\to x_0^+.

 

Esempi sulle definizioni del confronto tra infinitesimi

 

1) La funzione f(x)=x^4 è un infinitesimo di ordine superiore a g(x)=1000x^2 al tendere di x\to 0, perché

 

\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{x^4}{1000x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{1000}=0

 

Dai calcoli si capisce anche che per x\to 0 la funzione g(x) è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a f(x): per capirlo basta considerare il limite del reciproco, separare il calcolo dei limiti da sinistra e da destra e applicare l'algebra di infiniti e infinitesimi

 

\\ \lim_{x\to 0}\frac{g(x)}{f(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{1000x^2}{x^4}=\lim_{x\to 0}\frac{1000}{x^2}\ \implies\\ \\ \\ \implies\begin{cases}\lim_{x\to 0^+}\frac{1000}{x^2}=+\infty\\ \lim_{x\to 0^-}\frac{1000}{x^2}=+\infty\end{cases}

 

 

2) Le funzioni f(x)=\frac{1}{x-2}\mbox{ e }g(x)=\frac{1}{(x-2)(x+2)} generano infinitesimi dello stesso ordine per x\to 2^+, infatti

 

\lim_{x\to 2^+}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to 2^+}\frac{\frac{1}{x-2}}{\frac{1}{(x-2)(x+2)}}=

 

Dalla regola per la frazione di una frazione

 

=\lim_{x\to 2^+}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\lim_{x\to 2^+}(x+2)=4

 

 

3) Le funzioni f(x)=x\sin\left(\frac{1}{x}\right)\mbox{ e }g(x)=x sono infinitesimi non confrontabili per x\to 0^+, poiché

 

\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to 0^+}\frac{x\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{x}=\lim_{x\to 0^+}\sin\left(\frac{1}{x}\right)

 

e si può dimostrare facilmente che tale limite non esiste.

 

Ordini di infinitesimo e velocità di convergenza a zero

 

Come nel caso degli infiniti, anche nel caso degli zeri è possibile stilare un elenco che sintetizza il confronto tra gli infinitesimi generati dalle funzioni elementari. Il discorso qui si complica un po', ma solo apparentemente. Procediamo con ordine e distinguiamo vari casi, tenendo a mente che la notazione << indica che la funzione a sinistra è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a quella a destra.

 

Per x\to 0 le potenze x^a con a>0 seguono una regola piuttosto semplice

 

x^a<<x^b\ \ \ \mbox{se }a>b

 

Dunque per x\to 0 le potenze di x generano ordini di infinitesimo superiori al crescere dell'esponente. Tale formula include ovviamente anche le radici come potenze con esponente fratto.

 

Bisogna anche tenere conto che per x\to 0 i limiti notevoli forniscono importanti informazioni sugli infinitesimi dello stesso ordine di x. Dalla tabella dei limiti notevoli e dalla definizionesi capisce subito che

 

\\ x\ \ \ ;\ \ \ \log_a(x)\ \mbox{con }0<a<1,\ a>1\ \ \ ;\ \ \ a^x-1\ \mbox{con }0<a<1,\ a>1\\ \\ (1+x)^c-1\ \mbox{con }x\in\mathbb{R}\ \ \ ;\ \ \ \sin(x)\ \ \ ;\ \ \ \tan(x)\\ \\ \arcsin(x)\ \ \ ;\ \ \ \arctan(x)\ \ \ ;\ \ \ \sinh(x)

 

sono tutti infinitesimi del medesimo ordine per x\to 0.

 

Quanto appena scritto può essere generalizzato per x\to x_0 e per x\to \pm\infty: basta considerare rispettivamente due funzioni g(x)\mbox{ e }h(x) tali che

 

\lim_{x\to x_0}g(x)=0\ \ \ \mbox{ e }\lim_{x\to \pm\infty}h(x)=0

 

e sostituire nelle precedenti relazioni g(x)\mbox{ e }h(x) in luogo di x. Dato che g(x)\mbox{ e }h(x) tendono a zero rispettivamente per x\to x_0,\ x\to \pm\infty gli ordini di infinito vengono preservati.

 

D'altra parte ci sono ulteriori informazioni che possono essere desunte dalla tabella di confronto tra infiniti. Se consideriamo una funzione p(x) che diverge positivamente per x\to +\infty

 

\lim_{x\to +\infty}{p(x)}=+\infty

 

allora l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi ci suggerisce che il suo reciproco convergerà a zero

 

\lim_{x\to +\infty}{\frac{1}{p(x)}}=0

 

Alla luce di questa osservazione preliminare possiamo scrivere ulteriori regole sul confronto tra infinitesimi di funzioni elementari:

 

\\ \frac{1}{x^x}<<\frac{1}{a^x}<<\frac{1}{b^x}<<\frac{1}{x^c}<<\frac{1}{x^d}<<\frac{1}{\log_a{(x)}}\\ \\ \\ \mbox{per }x\to +\infty\ \ \ \mbox{con }a>b>1,\ \ \ c>d>0,\ \ \ a>0\ \wedge\ a\neq 1

 

In sintesi più una funzione diverge velocemente all'infinito, più il suo reciproco converge velocemente a zero, e viceversa.

 

Calcolo dei limiti per confronto tra ordini di infinitesimo

 

Le definizioni sugli ordini di infinitesimo e le gerarchie di confronto si prestano alla perfezione per calcolare i limiti nella forma indeterminata zero su zero, con particolare riferimento ai limiti di funzioni sotto forma di rapporto. Per il momento ci concentriamo su questa tipologia di limiti e nella parte finale della lezione vediamo come estendere l'applicazione del confronto tra infinitesimi mediante la nozione di parte principale di un infinitesimo.

 

Per il momento è immediato vedere che

 

\lim_{x\to 0^+}\frac{\log(1+x)}{x^2}=+\infty

 

perché la funzione a numeratore è un infinitesimo dello stesso ordine di x per x\to 0^+, che a sua volta è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a x^2.

 

Limiti più complicati che comportano il confronto tra infinitesimi richiedono, il più delle volte, manipolazioni algebriche o altri strumenti del calcolo dei limiti prima di giungere ad una soluzione (si veda a tal proposito la lezione sui metodi di risoluzione per le forme di indecisione).

 

Parte principale di un infinitesimo

 

Eccoci infine giunti alla nozione che permette di estendere l'applicazione del confronto tra infinitesimi ad un vastissimo numero di limiti: la parte principale di un infinitesimo.

 

Esattamente come nel caso del confronto tra infiniti è possibile definire, in una somma o in una differenza di infinitesimi, l'infinitesimo di ordine principale. Nel nostro caso però è necessario prestare molta attenzione perché, a differenza del caso degli infiniti, la nozione di infinitesimo di ordine principale è estremamente controintuitiva.

 

Consideriamo a titolo di esempio il limite

 

\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{x}+x^{6}+5x^{3}}{x^{21}+\sqrt[5]{x}}

 

Come possiamo effettuare il confronto tra infinitesimi in presenza di una somma o di una differenza di infinitesimi? Semplicemente possiamo limitarci a considerare l'infinitesimo di ordine inferiore tra tutti gli infinitesimi coinvolti nella somma/differenza. In questo senso la parte principale di un infinitesimo è controintuitiva, perché l'infinitesimo di riferimento è quello che più lentamente converge a zero (nel caso degli infiniti la parte principale è data dall'infinito di ordine superiore).

 

Per capire perché dobbiamo considerare l'infinitesimo di ordine inferiore possiamo considerare due funzioni f(x)\mbox{ e }g(x) che convergono a zero per x\to x_0, giusto per fissare le idee:

 

\lim_{x\to x_0}(f(x)\pm g(x))

 

Supponiamo che sia f(x)<<_{x\to x_0}g(x), dunque g(x) è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a f(x). Se lo raccogliamo

 

\lim_{x\to x_0}g(x)\left(\overbrace{\frac{f(x)}{g(x)}}^{\to 0}\pm 1\right)

 

il rapporto che si viene a formare tende a zero, perché f(x) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g(x). Possiamo quindi calcolare il limite equivalente

 

\lim_{x\to x_0}g(x)

 

Abbiamo così dimostrato il principio di eliminazione degli infinitesimi di ordine superiore: in una somma/differenza di infinitesimi possiamo limitarci a considerare l'infinitesimo di ordine di inferiore, che è per definizione la parte principale di infinitesimo, ottenendo un limite equivalente.

 

Tale tecnica di calcolo richiede naturalmente che nella somma/differenza siano presenti solamente infinitesimi: dall'algebra di infiniti e infinitesimi sappiamo infatti che la somma tra una costante e un infinitesimo coincide con la costante, e che la somma di un infinito e di un infinitesimo coincide con l'infinito.

 

Chi studia il principio di eliminazione da un punto di vista pratico per i primi tempi pul seguire la falsariga della precedente dimostrazione e procedere raccogliendo di volta in volta gli infinitesimi di ordine inferiore, applicando il cosiddetto metodo della messa in evidenza. Una volta digerita la logica del metodo però è importante imparare a riconoscere le parti principali degli infinitesimi senza effettuare calcoli, in modo da risparmiare tempo e fatica. ;)

 

 

Esempi

 

1) \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{x}+x^6+5x^3}{x^{21}+\sqrt[5]{x}}=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[5]{x}}=0

 

 

2) \lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{1}{5^x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{\log_2(x)}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^x}+\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{1}{\log_2(x)}}{\frac{1}{x}}=+\infty 

 

 


 

La lezione si conclude qui. Vi raccomandiamo di fare molti esercizi e ancor prima di leggere i nostri esercizi svolti, cui potete accedere a partire dalla scheda correlata. Non dimenticate che qui su YM ci sono un sacco di risorse a vostra disposizione, tra cui ad esempio il tool per calcolare i limiti online, e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna.

 

Un'ultima nota per gli studenti universitari: il confronto tra infinitesimi verra ripreso e ulteriormente formalizzato nelle lezioni sull'o-piccolo e sulle equivalenze asintotiche. ;)

 

 

Lamtumirë, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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