Confronto tra infinitesimi e ordini di infinitesimo

Quando si calcolano i limiti capita spessissimo di dover effettuare un confronto tra infinitesimi e di dover capire, in un modo o nell'altro, qual è il risultato. A tal proposito vediamo di capire come procedere e in particolare come confrontare tra loro due infinitesimi riconoscendo gli ordini di infinitesimo. Naturalmente bisogna ricordare le principali regole di calcolo per infiniti e infinitesimi, di cui parliamo nella lezione del link.

 

Prima disambiguazione: quando si dice infinitesimo si vuole intendere uno zero. Più precisamente, un infinitesimo è il limite, che vale zero, di una funzione (per x→0 o anche x0, o anche ±∞).

 

 

La forma indeterminata che il confronto tra infinitesimi permette di risolvere è

 

\left[\frac{0}{0}\right]

 

a differenza del metodo-cugino dato dal confronto tra infiniti, che si occupa della forma di indecisione  ∞/∞.

 

Confronto tra infinitesimi

 

L'analisi di cui parliamo in questa lezione permette di stabilire quali siano le funzioni che tendono a zero più velocemente di altre. Un rapporto tra due zeri, da che mondo e mondo, non può essere calcolato: nè con l'algebra standard nè con l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi. Il punto cruciale, come nel caso del confronto tra infiniti, consiste nel capire che la questione non è confrontare due valori (due zero), bensì in che modo vengono raggiunti tali valori.


Quando si parla di infinitesimi, dunque di zeri, i valori di cui parliamo sono...due zeri. L'importante è capire chi arriva prima allo zero: la funzione che più velocemente si avvicina a zero, vince. Semplice. Si ragiona per velocità, o per dirla in termini rigorosi, si ragiona studiando gli ordini di infinitesimo.

 

Per capirci: guardando il seguente grafico delle funzioni y=x2 e y=x in un intorno destro di x=0, dovrebbe essere chiaro di cosa stiamo parlando.

 

 

Confronto tra ordini di infinitesimo

 

 

Prendiamo come al solito due funzioni reali di variabile reale y=f(x) e y=g(x), e per fissare le idee supponiamo che:

 

 

\lim_{x\to 0}{f(x)}=0=\lim_{x\to 0}{g(x)} [limite zero (i.e. finito) per x tendente a zero]

 

 

\lim_{x\to x_{0}}{f(x)}=0=\lim_{x\to x_{0}}{g(x)} [limite zero (i.e. finito) per x tendente a un valore finito]

 

 

\lim_{x\to +\infty}{f(x)}=0=\lim_{x\to +\infty}{g(x)} [limite zero (i.e. finito) per x tendente a un valore infinito].

 

 

Non importa a che valore tende x, l'importante è che il valore dei singoli limiti sia zero. Vediamo come stabilire il confronto tra infinitesimi.

 

 

Definizione (infinitesimo, o zero, di ordine superiore)

 

Diciamo che f(x) è un infinitesimo, o zero, di ordine superiore rispetto a g(x) rispettivamente per x→0, per x→x0 oppure per x→+∞ se risulta che

 

\lim_{x\to 0}{\frac{f(x)}{g(x)}}=0

 

\lim_{x\to x_{0}}{\frac{f(x)}{g(x)}}=0

 

\lim_{x\to +\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}}=0

 

Vale a dire che f(x) è un infinitesimo di ordine superiore (più veloce) di g(x) se il rapporto \frac{f(x)}{g(x)} tende a zero per x→0 nel primo caso, per x→x0 nel secondo caso oppure per x→+∞ nel terzo caso.

 

Spiegazione: cosa ci dice la definizione? Che una funzione determina un infinitesimo di ordine superiore se si avvicina al valore zero più velocemente dell'altra. E come fa ad esprimerlo? f(x) è uno zero di ordine superiore ("è uno zero più piccolo") di g(x) se g(x) sta in f(x) sempre meno volte man mano che si passa al limite (per x tendente a...). Questo è esattamente ciò che esprime il rapporto f(x)/g(x), che dice quante volte g(x) sta in f(x). Mentre x tende a ciò cui tende (0 oppure x0 oppure ±∞), entrambe le funzioni tendono a zero, ma f(x) dà un valore che è sempre più piccolo di g(x).

 

 

 

Indovinello. Cosa vorrà dire, e come si esprimerà il fatto che f(x) è un infinitesimo di ordine inferiore a g(x)?...

 

Definizione (infinitesimo, o zero, di ordine inferiore)


Diciamo che f(x) è un infinitesimo, o zero, di ordine inferiore rispetto a g(x) rispettivamente per x→0, per x→x0 oppure per x→+∞ se risulta che

 

\lim_{x\to 0}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\infty

 

\lim_{x\to x_{0}}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\infty

 

\lim_{x\to +\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\infty

 

In altre parole, f(x) è un infinitesimo di ordine inferiore (più lento) di g(x) se il rapporto \frac{f(x)}{g(x)} tende a infinito per x→0 nel primo caso, per x→x0 nel secondo caso oppure per x→+∞ nel terzo caso.

 

Spiegazione: a differenza del caso precedente, qui si vuole esprimere il fatto che f(x) si avvicina a zero più lentamente di g(x) (per x tendente a...), ossia che f(x) rimane sempre più grande di g(x) (per x tendente a...). Decidiamo quindi di chiamare questo concetto con la terminologia: f(x) è un infinitesimo o zero di ordine inferiore a g(x).

 

Come lo esprimiamo in matematichese? Il modo più logico è, come al solito, dare una condizione sul rapporto f(x)/g(x). Se f(x) è via via sempre più grande di g(x), mentre entrambi si avvicinano a zero quando x tende a ciò cui tende, allore g(x) sta in f(x) sempre più volte. Il rapporto f(x)/g(x) tende cioè all'infinito.

 

 

Definizione (infinitesimi, o zeri, dello stesso ordine)

 

Diciamo che f(x) è un infinitesimo, o zero, dello stesso ordine rispetto a g(x) rispettivamente per x→0, per x→x0 oppure per x→+∞ se risulta che

 

\lim_{x\to 0}{\frac{f(x)}{g(x)}}=costante

 

\lim_{x\to x_{0}}{\frac{f(x)}{g(x)}}=costante

 

\lim_{x\to +\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}}=costante

 

intendendo che f(x) è un infinitesimo dello stesso ordine (uguale) di g(x) se il rapporto \frac{f(x)}{g(x)} tende ad una costante per x→0 nel primo caso, per x→x0 nel secondo caso oppure per x→+∞ nel terzo caso.

 

Spiegazione: a questo punto dovrebbe essere chiara la logica che ci permette di descrivere il confronto tra le velocità di convergenza di due funzioni qualsiasi a zero. In particolare, con infinitesimi dello stesso ordine si intende che le due funzioni tendono a zero non esattamente con gli stessi valori, ma quasi: tendono a zero nello stesso modo, con la stessa velocità. La costante a cui tende il rapporto f(x)/g(x) va intesa come un coefficiente di proporzionalità, che dice di quanto differiscono le due funzioni nel tendere a zero. Importante, e c'è un mare di differenza: un conto sono i valori che si hanno man mano che le funzioni si avvicinano a zero, un conto è la velocità con cui si avvicinano a zero.

 

 

Definizione (infinitesimi non confrontabili)

 

Diciamo che f(x) e g(x) sono infinitesimi non confrontabili rispettivamente per x→x0 oppure per x→+∞ se risulta che

 

\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}\ \not\exists

 

\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}\ \not\exists

 

\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\ \not\exists

 

Spiegazione: non c'è molto da dire. Si introduce la precedente definizione per classificare quei casi patologici in cui il limite del rapporto non esiste e dunque non è possibile stabilire la gerarchia tra gli infinitesimi generati da due funzioni (per x→x0 oppure per x→+∞).

 

 

Ordini di infinitesimo - Velocità di convergenza a zero

 

Come nel caso degli infiniti, anche nel caso degli zeri è possibile stilare un elenco che sintetizza il confronto tra gli infinitesimi generati dalle funzioni elementari. Il discorso è molto agevole: consideriamo una funzione che genera un infinito, chiamiamola h(x), e supponiamo che (prendiamo x→+∞ per fissare le idee, ma non fa alcuna differenza)

 

\lim_{x\to +\infty}{h(x)}=+\infty

 

allora l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi ci suggerisce che

 

\lim_{x\to +\infty}{\frac{1}{h(x)}}=0(^{+}).

 

Alla luce di questa osservazione preliminare, possiamo riassumere nella forma più generale possibile il confronto tra infinitesimi di funzioni elementari con

 

\left[\frac{1}{x^{x}}\right]_{x\to +\infty}<<\left[\frac{1}{c^{x}}\right]_{x\to +\infty}<<\left[\frac{1}{x^b}\right]_{x\to +\infty}<<\left[\frac{1}{\log_a{(x)}}\right]_{x\to +\infty}

 

dove a,b,c sono numeri reale tale che a>1, b>0 e c>1. Andando da destra verso sinistra si passa ad infinitesimi di ordine superiore, i.è. più veloci nell'avvicinarsi a zero. Va da sé invece che

 

\left[x^{N}\right]_{x\to 0}<<\left[x^{n-1}\right]_{x\to 0}<<...<<[x^2]_{x\to 0}<<[x]_{x\to 0}

 

Per vederlo basta calcolare il rapporto tra due potenze qualsiasi della x, scrivere il limite per x→0 e semplificare!

 

Limiti più complicati che comportano il confronto tra infinitesimi richiedono, il più delle volte, calcoli o altri strumenti del calcolo dei limiti prima di giungere ad una soluzione (vedi la lezione forme indeterminate). Resta il fatto che la tabella precedente ci permette di dare risposta ad alcuni dei limiti che i limiti notevoli, da soli, non potrebbero risolvere. Inoltre, è una tabella non risolutiva: ci serve anche conoscere la nozione di parte principale di infinitesimo.


Esempi sul confronto tra infinitesimi e sugli ordini di infinitesimo

 

1) \lim_{x\to \0}{\frac{x^{2}}{x^{10}}}=\lim_{x\to \0}{\frac{1}{x^{8}}}=+\infty.

 

2) \lim_{x\to \0}{\frac{x^{2}+3x}{x^{3}-2x^{2}+4x}}=\frac{3}{4}.

 

Per calcolare questo limite, il solo confronto tra infinitesimi non basta. Ci serve la nozione di parte principale di un infinitesimo, di cui parleremo tra un attimo.

 

3) \lim_{x\to 0}{\frac{x^{2}+3x}{e^{x}-1}}=3.

 

Parte principale di un infinitesimo

 

Quando abbiamo un limite con forma di indecisione 0/0 e numeratore e denominatore sono costituiti dalla somma di diverse funzioni che generano ciascuna un infinitesimo:

 

\lim_{x\to 0^{-}}{\frac{\sqrt[3]{x}+x^{6}+5x^{3}}{x^{21}+3^{\frac{1}{x}}}}

 

dobbiamo limitarci a considerare l'infinitesimo di ordine inferiore, vale a dire la funzione che si avvicina a zero più lentamente. Il motivo è presto detto: se ho una somma di funzioni che vanno a zero, quella più corposa è quella che vale più delle altre, cioè quella che si avvicina più lentamente allo zero. In sostanza: l'infinitesimo di ordine inferiore. Al posto del precedente limite, possiamo così ridurci a calcolare

 

\lim_{x\to 0^{-}}{\frac{\sqrt[3]{x}}{x^{21}}}=+\infty

 

dove il risultato è stato dedotto con la tabellina del paragrafo precedente.

 


 

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Agente Ω

 

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