Confronto tra infiniti e ordini di infinito

Parliamo di un metodo di calcolo di limiti estremamente importante, il cosiddetto confronto tra infiniti mediante gli ordini di infinito, che serve a risolvere la forma indeterminata

 

\left[\frac{\infty}{\infty}\right]

 

In questa lezione vediamo come lavorare con le funzioni che generano infiniti e, fatto di rilievo, impareremo a distinguere tra i vari infiniti. In particolare, saremo in grado di dire quali funzioni generano infiniti "più grandi" e quali generano infiniti "più piccoli".

 

Premessa: dire che un infinito è "più grande" di un altro non è corretto. Infinito è sempre infinito! Ha però senso, ed è infatti quel che capita, che alcune funzioni tendano all'infinito (positivo o negativo) più velocemente di altre.

 

 

Si esprime questo fatto dicendo che una funzione nel tendere all'infinito ha uno specifico ordine di infinito (o velocità di divergenza).

 

Un esempio: confrontiamo, per x→+∞, i grafici della funzione identità y=x e della funzione esponenziale y=ex. È evidente che l'esponenziale (in rosso) diverge a +∞ più velocemente rispetto a y=x, che ha come grafico la bisettrice del primo e del terzo quadrante (in blu)!

 

 

Confronto tra infiniti

 

Confronto tra infiniti e vari ordini di infinito

 

Innanzitutto, dobbiamo avere un modo rigoroso per confrontare due infiniti. Per fare ciò vengono in nostro soccorso tre definizioni, che si basano su un criterio molto semplice e ci forniscono un metodo per stabilire quando una funzione genera un infinito "più veloce", "uguale" o "più lento" dell'infinito generato da un'altra funzione. Siano y=f(x) e y=g(x) funzioni reali di variabile reale. Per fissare le idee, supponiamo che

 

\lim_{x\to x_{0}}{f(x)}=+\infty=\lim_{x\to x_{0}}{g(x)} [limite infinito per x tendente a un valore finito]

 

\lim_{x\to +\infty}{f(x)}=+\infty=\lim_{x\to \infty}{g(x)} [limite infinito per x tendente a un valore infinito]

 

(abbiamo preso +∞ ma non c'è alcuna differenza con -∞).

 

 

Definizione (infinito di ordine superiore)

 

Diciamo che f(x) è un infinito di ordine superiore rispetto a g(x) rispettivamente per x→x0 oppure per x→+∞ se risulta che

 

\lim_{x\to x_{0}}{\frac{f(x)}{g(x)}}=+\infty

 

\lim_{x\to +\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}}=+\infty

 

Vale a dire che f(x) è un infinito di ordine superiore (più veloce) di g(x) se il rapporto \frac{f(x)}{g(x)} tende all'infinito per x→x0 nel primo caso oppure per x→+∞ nel secondo caso.


Spiegazione: perchè è semplice? La definizione dice che f(x) tende all'infinito più velocemente di g(x) e lo stabilisce controllando quante volte g(x) sta in f(x) quando x→x0 nel primo caso oppure per x→+∞ nel secondo caso. È questo che significa fare un rapporto, giusto?...Se il rapporto tende all'infinito (rispettivamente per x→x0 o per x→+∞) significa che la funzione f(x) diventa sempre più grande di g(x), che pure tende all'infinito.

 

Conclusione: f(x) tende all'infinito più velocemente di g(x). Modo sagace di dirlo: f(x) è un infinito di ordine superiore di g(x).

 

 

Definizione (infinito di ordine inferiore)

 

Diciamo che f(x) è un infinito di ordine inferiore rispetto a g(x) rispettivamente per x→x0 oppure per x→+∞ se risulta che

 

\lim_{x\to x_{0}}{\frac{f(x)}{g(x)}}=0

 

\lim_{x\to +\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}}=0

 

Vale a dire che f(x) è un infinito di ordine inferiore (più lento) di g(x) se il rapporto \frac{f(x)}{g(x)} tende a zero per x→x0 nel primo caso oppure per x→+∞ nel secondo caso.


Spiegazione: qui accade l'esatto opposto rispetto al caso precedentemente considerato. Per dire che f(x) tende all'infinito più lentamente di g(x), si guarda quante volte g(x) sta in f(x). Se il rapporto tende a zero, ciò vuol dire che quando x→x0 oppure quando x→+∞ risulta che g(x) sta sempre meno volte in f(x), e tenendo conto che entrambe le funzioni tendono all'infinito (rispettivamente per x→x0 o per x→+∞) significa che g(x) cresce più velocemente della f(x), "mangiandosela" nel rapporto.


Si noti poi che se f(x) è un infinito di ordine inferiore rispetto a g(x), allora g(x) è un infinito di ordine superiore rispetto a f(x).

 

 

Definizione (infiniti dello stesso ordine)

 

Diciamo che f(x) è un infinito dello stesso ordine rispetto a g(x) rispettivamente per x→x0 oppure per x→+∞ se risulta che

 

\lim_{x\to x_{0}}{\frac{f(x)}{g(x)}}=costante

 

\lim_{x\to +\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}}=costante

 

Vale a dire che f(x) è un infinito dello stesso ordine (uguale) di g(x) se il rapporto \frac{f(x)}{g(x)} tende ad una costante per x→x0 nel primo caso oppure per x→+∞ nel secondo caso.

 

Spiegazione: questo è probabilmente il caso più sottile tra i tre. Una persona si aspetterebbe che, per dire che due quantità sono uguali, debbano avere rapporto pari a uno. Attenzione però: qui stiamo parlando di "stesso ordine", non di uguaglianza. La definizione dice essenzialmente che f(x) e g(x) tendono all'infinito con la stessa velocità se, per x→x0 o per x→+∞, il loro rapporto tende ad una costante. Tale costante va intesa come un coefficiente di proporzionalità, e sta a significare che le funzioni nel tendere all'infinito non hanno gli stessi valori, ma hanno lo stesso modo, o velocità, di tendere all'infinito. Hanno la stessa velocità di divergenza perchè nel tendere all'infinito il loro rapporto non cambia e rimane uguale ad un certo numero cost.

 

 

Definizione (infiniti non confrontabili)

 

 

Diciamo che f(x) e g(x) sono infiniti non confrontabili rispettivamente per x→x0 oppure per x→+∞ se risulta che

 

\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}\ \not\exists

 

\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\ \not\exists

 

Spiegazione: quello appena introdotto è il caso più particolare che esula dal contesto del confronto tra infiniti. In breve se le due funzioni divergono per x→x0 oppure per x→+∞, e se il limite del rapporto non esiste, diciamo che gli infiniti generati dalle due funzioni non possono essere confrontati.

 

Velocità di divergenza

 

Mediante le definizioni base di limite (quelle elencate ne il concetto di limite e negli articoli successivi) si può dimostrare che valgono le seguenti relazioni tra le funzioni elementari e gli ordini di infinito che generano. È un procedimento dimostrativo meccanico, che qui tralasciamo. Passando da una funzione alla successiva, il simbolo "<<" che possiamo chiamare "molto minore di" indica che stiamo passando ad un ordine di infinito superiore. Gli ordini di infinito cui si fa riferimento sono quelli che si ottengono per x→+∞

 

\log_{a}{x}<<x^{b}<<c^{x}<<x^{x}

 

dove a,b,c sono numeri reale tali che a>1, b>0 e c>1.

 

 

Esempio

 

y=\ln(x) in blu, y=x^3 in rosso, y=4^x in verde, y=x^x in grigio.

 

 

Ordini di infinito

 

 

Dunque, se vi capita di avere un limite del tipo

 

\lim_{x\to +\infty}{\frac{\log_{2}{(x+45)}}{\sqrt[5]{x}}}

 

adesso sapete automaticamente che vale 0, perchè la funzione a numeratore è un infinito di ordine inferiore rispetto a quella a denominatore.

 

Limiti più complessi che comportano il confronto tra infiniti e lo studio delle velocità di divergenza richiedono, il più delle volte, calcoli o altri strumenti della teoria dei limiti prima di giungere ad una soluzione (vedi la lezione sulle forme indeterminate), resta il fatto che la tabella precedente ci permette di dare risposta ad alcuni dei limiti che i limiti notevoli, da soli, non potrebbero risolvere. Inoltre, è una tabella non risolutiva: ci serve anche conoscere la nozione di parte principale di infinito.


Esempi sul confronto tra infiniti


1) Un esempio di quanto detto nelle ultime righe: come devo comportarmi con

 

\lim_{x\to +\infty}{\frac{\ln{\left( 5^x\right)}}{e^{\ln{(x)}}}} ?

 

Un magheggino algebrico ci dice che coincide con \lim_{x\to +\infty}{\frac{x\ln{(5)}}{x}}=\ln{(5)}. Morale: se non sai confrontare gli ordini di infinito sei fritto, se sai confrontarli non basta: ci vogliono anche gli altri metodi di calcolo dei limiti.

 

2) \lim_{x\to +\infty}{\frac{x^{4}}{x^{2}}}=\lim_{x\to +\infty}{x^{2}}=+\infty.

 

A volte non c'è niente di complicato nel confrontare due infiniti, perchè l'algebretta elementare viene in nostro soccorso.

 

3) \lim_{x\to +\infty}{\frac{x^{2}+3x+5}{2x^{2}+100000}}=\frac{1}{2}.

 

Per capire in pieno il confronto tra infiniti, qui, sarebbe il caso di conoscere il concetto di parte principale di un ordine di infinito, che riassumiamo più sotto. Grazie ad esso, ad esempio, siamo in grado di dire senza dubbio alcuno che

 

4) \lim_{x\to +\infty}{\frac{x^{2}+3x+5}{2^{x}-3}}=0.

 

Parte principale di un infinito

 

Per concludere, trattiamo questo aspetto. Un esempio servirà a ricordarci che non è tutto rose e fiori.

 

\lim_{x\to +\infty}{\frac{x^{5}+4^{7x}+10^{12}+x^x}{x^{780}+100^{12}+2^{x}}}

 

Come fare? Il concetto di parte principale di infinito, e la cui conoscenza rigorosa è chiesta solamente agli studenti universitari, risolve brillantemente la questione. In breve: quando hai un infinito composto da più infiniti, l'unico infinito che conta è quello più potente. Ossia: quello di ordine superiore. Calcolare il precedente limite e

 

\lim_{x\to +\infty}{\frac{x^x}{2^x}}=+\infty

 

è la stessa identica cosa. Quindi il numeratore iniziale è un infinito di ordine superiore rispetto al denominatore iniziale. Analogamente, anzichè calcolare

 

\lim_{x\to +\infty}{\frac{4x^{3}+500}{x^{3}+x^{2}-3000}}}

 

puoi calcolare

 

\lim_{x\to +\infty}{\frac{4x^{3}}{x^{3}}}=4.

 

 


 

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