Teorema del confronto per i limiti

In questo articolo parleremo del teorema del confronto per limiti di funzioni, altrimenti detto teorema dei due carabinieri con il quale è possibile risolvere agevolmente dei limiti all'apparenza impossibili. Per padroneggiare correttamente questa tecnica è necessario avere un sufficiente background e saper smanettare con le disuguaglianze. Se non sapete come fare, niente paura...

 

Iniziamo come sempre dall'enunciato del teorema.

 

Teorema del confronto (teorema dei due carabinieri)

 

Sia c un numero reale e supponiamo d'avere tre funzioni f, g, h definite in un intorno bucato di c, che chiamiamo I. Se:
 

Hp-1) f(x)\le g(x)\le h(x)\quad\forall x\in I

 

Hp-2) \lim_{x\to c}f(x)= \lim_{x\to c}h(x)= \ell con \ell\in \mathbb{R}

 

allora:

 

Ts) \lim_{x\to c} g(x)= \ell 

 

 

Calma e sangue freddo! Che cosa ci dice il teorema? Gli ingredienti sono tre funzioni definite in un certo intorno bucato di c. In tale insieme esse devono soddisfare la condizione f(x)≤g(x)≤h(x). Se le funzioni f(x) (funzione minorante) e h(x) (funzione maggiorante) hanno lo stesso limite per x che tende a c, allora costringono anche g(x) ad avere lo stesso limite.

 

Le funzioni esterne si comportano come i carabinieri che accompagnano il detenuto (la funzione interna) in prigione, da qui il nome. Laughing 

 

Ecco un grafico che possa mettere in chiaro la situazione.

 

teorema-dei-carabinieri

 

Questo risultato vale anche  quando

 

a)  x tende a c da destra oppure da sinistra.

 

b)  c= \pm \infty: la variabile x può tendere sia a più che a meno infinito.

 

Riporteremo la dimostrazione per il caso finito che è quello maggiormente richiesto agli esami! Se riuscirete a comprendere bene questa, potrete cimentarvi nella costruzione delle dimostrazioni per gli altri casi.

 

Dimostrazione del teorema del confronto

 

Per l'ipotesi Hp-2) sappiamo che \lim_{x\to c}f(x)= \ell e \lim_{x\to c}h(x)= \ell e per definizione di limite

 

\lim_{x\to c}f(x)=\ell\iff\forall\varepsilon\,\textgreater 0

 

riusciamo a determinare \delta_1\,\textgreater 0 tale che,  se x\in I e soddisfa la relazione 0\,\textless \,|x-c|\,\textless\delta_1, si ha che

 

\color{red}\ell-\varepsilon\textless\,f(x)\color{black}\,\textless \ell+\varepsilon\quad (1)

 

Inoltre, sappiamo che la definizione di limite \lim_{x\to c}h(x)=\ell vale se e solo se per ogni l\varepsilon\,\textgreater 0 riusciamo a determinare \delta_2\,\textgreater 0 tale che, se x\in I con 0\,\textless \,|x-c|\,\textless\delta_2 allora:

 

\ell-\varepsilon\textless\,\color{blue}h(x)\,\textless \ell+\varepsilon\quad (2)

 

Ottimo! Adesso definiamo \delta= \min(\delta_1, \delta_2). Per tale \delta valgono contemporaneamente le condizioni (1) e (2) e utilizziando l'ipotesi Hp-1) scopriamo che:

 

\color{red}\ell-\varepsilon\,\textless\,f(x)\color{black}\le g(x)\le \color{blue}h(x)\le \ell+\varepsilon.

 

Pertanto se x appartiene all'intorno bucato I con 0\,\textless |x-c|\,\textless\delta, allora


\ell-\varepsilon\,\textless\,g(x)\,\textless\ell+\varepsilon


che si traduce in \lim_{x\to c}g(x)= \ell.

 

Abbiamo finito la dimostrazione! Wink

 

Quando e come utilizzare il teorema del confronto

 

Il teorema dei due carabinieri ci torna particolarmente utile nei limiti in cui compaiono la funzione seno o la funzione coseno. In particolare potranno tornare utili le seguenti disuguaglianze notevoli:

 

\bullet\,\,-1\le \sin(x)\le 1\quad\forall x\in\mathbb{R} (utile soprattutto quando x tende a infinito)

 

\bullet\,\,-1\le \cos(x)\le 1\quad\forall x\in\mathbb{R}

 

 \bullet\,\, |\sin(x)|\le |x|\quad\forall x\in\mathbb{R}: utile quando x tende a zero

 

Esempi sul teorema dei due carabinieri

 

E-1) Vogliamo calcolare il limite 

 

\lim_{x\to 0} x\sin\left(\frac{1}{x}\right).

 

Utilizzeremo il teorema dei carabinieri, ma per innescarlo dobbiamo determinare due funzioni, f(x) e h(x) che hanno lo stesso limite per x che tende a zero e tali che f(x)\le x\sin\left(\frac{1}{x}\right)\le h(x).

 

Si dimostra abbastanza agevolmente che:

 

\overbrace{-|x|}^{= f(x)}\le\overbrace{ x\sin\left(\frac{1}{x}\right)}^{=g(x)}\le \overbrace{|x|}^{h(x)}\quad\forall x\ne 0

 

Inoltre \lim_{x\to 0}-|x|= \lim_{x\to 0}|x|= 0

 

per il teorema del confronto concludiamo

 

\lim_{x\to 0}x\sin\left(\frac{1}{x}\right)= 0

 


 

E-2) Mostreremo che \lim_{x\to \infty}\sin\left(\frac{1}{x}\right)=0.

 

Si ha che

 

0\le \sin\left(\frac{1}{x}\right)\le \frac{1}{x}\quad\forall x\,\textgreater  0 

 

e poiché \lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}=0 allora \lim_{x\to \infty}\sin\left(\frac{1}{x}\right)=0

 

Teorema del confronto nel caso infinito (teorema del carabiniere)

 

Oltre al caso visto in precedenza vale una formulazione anche per i limiti infiniti. Vediamo subito l'enunciato.

 

Siano f, g due funzioni definite in [a, c) che obbediscono alla disuguaglianza f(x)g(x)  

 

\bullet se \lim_{x\to c^{-}} f(x)= +\infty allora \lim_{x\to c^{-}}g(x)= +\infty

 

\bullet se \lim_{x\to c^{-}} g(x)= -\infty allora \lim_{x\to c^{-}}f(x)= -\infty

 

e, attenzione, c può essere anche più infinito!

 

A differenza del teorema dei due carabinieri, in cui sono presenti tre funzioni, qui ne bastano due: basta una funzione che costringa l'altra a divergere all'infinito. Bisogna stare molto attenti, perché nonostante l'enunciato sia facile, molti cadono in errore. 

 

Come abbiamo preannunciato la dimostrazione segue una logica analoga a quella vista nel caso finito, e ve la lasciamo per esercizio. Wink Passiamo subito ad un

 

Esempio

 

E-3) Il limite \lim_{x\to \infty}x^2 (\sin(x)+2) è uguale a più infinito, infatti si ha che

 

 \sin(x)\ge -1\quad\forall x\in \mathbb{R}

 

sommando membro a membro 2, otteniamo

 

2+\sin(x)\ge 1.

 

Ora moltiplichiamo membro a membro per x^2 (è una quantità positiva e non inverte il verso della disuguaglianza).

 

x^2 (2+\sin(x))\ge x^2

 

Noi conosciamo bene il limite della funzione minorante, è molto semplice da calcolare

 

\lim_{x\to +\infty}x^2= +\infty

 

e grazie al teorema del confronto anche il limite di partenza diventa... semplicissimo!

 

\lim_{x\to +\infty}x^2(2+\sin(x))= +\infty.

 


 

Bene! Non vi resta che rimboccarvi le maniche e iniziare ad esercitarvi a manetta. Lo Staff di YouMath è a disposizione nel caso in cui aveste bisogno di chiarimenti! Utilizzate la barra di ricerca di YouMath, troverete moltissime discussioni sull'argomento! 

 

Buono studio

Salvatore Zungri A.K.A. Ifrit

 

Lezione precedente......... Lezione successiva


Tags: teorema del confronto nel caso finito e infinito - enunciato e dimostrazione del teorema dei due carabinieri.

 

pba1