Limiti notevoli: come si usano

Dopo aver visto la tavola dei limiti notevoli, vogliamo parlare di come possiamo usare i limiti notevoli per calcolare i limiti. La premessa per il lettore è che essi costituiscono uno dei principali strumenti per risolvere le forme indeterminate.

 

Come applicare i limiti notevoli - consigli e trucchi

 

Prendiamo ad esempio il limite

 

(\diamond)\ \ \lim_{x\to 0}{\frac{\sin{(x)}}{\ln{(1+x)}}}=\left[\frac{0}{0}\right]

 

che genera una forma di indecisione (prova a sostituire x=0) e quindi non può essere risolto con i metodi di calcolo standard. Guardiamo la tabella dei limiti notevoli, e vediamo che ce ne sono due che potrebbero fare al nostro caso:

 

(\clubsuit)\ \ \lim_{x\to 0}{\frac{\sin{(x)}}{x}}=1\ \ \mbox{ e }\ \ (\clubsuit\clubsuit)\ \ \lim_{x\to 0}{\frac{\ln{(1+x)}}{x}}=1

 

 

Che cosa rappresenta un limite notevole contenente una frazione? Esso consiste in quella che potremmo definire un'equivalenza asintotica.

 

In parole povere: consideriamo il limite notevole (♣). Esso ci dice che, al tendere di x a zero, la funzione seno y=sin(x) si comporta allo stesso modo rispetto alla funzione identità y=x.

 

Lo stesso dicasi per il limite notevole (♣♣), per il quale risulta che al tendere di x a zero, la funzione y=ln(1+x) ha lo stesso andamento della funzione identità y=x.



Abbiamo già svelato un piccolo arcano: i limiti notevoli sono delle semplici regole che esprimono delle equivalenze nel passaggio al limite, e si esprime questo fatto dicendo per l'appunto che costituiscono delle equivalenze asintotiche (il simbolo di questo tipo di equivalenza è \sim).

 

Ciò non significa, ad esempio per quanto riguarda (♣), che y=sin(x) e y=x sono equivalenti, bensì che per x→0, vale a dire al tendere di x a zero, sono equivalenti.

 

 

Per esprimere questo fatto nel caso considerato e più in generale potremo allora usare la notazione

 

(\clubsuit)\ \ \sin{(x)}\sim x\mbox{  per  }x\rightarrow 0

 

(\clubsuit\clubsuit)\ \ \ln{(1+x)}\sim x\mbox{  per  }x\rightarrow 0

 

 

Nel calcolo dei limiti, all'atto pratico, come dobbiamo comportarci per usare un limite notevole? È sufficiente sostituire una espressione con il suo equivalente asintotico, dunque nell'esempio (◊) sostituiremo semplicemente:

 

(\diamond)\ \ \lim_{x\to 0}{\frac{\sin{(x)}}{\ln{(1+x)}}}\ \overbrace{=}^{per\ \clubsuit}\ \lim_{x\to 0}{\frac{x}{\ln{(1+x)}}}\ \overbrace{=}^{per\ \clubsuit\clubsuit}\ \lim_{x\to 0}{\frac{x}{x}=1.

 

Uso non immediato dei limiti notevoli


Ora vediamo come estendere l'utilizzo dei limiti notevoli come equivalenze asintotiche ai limiti notevoli in forma generale. Abbiamo detto, poche righe sopra, che i limiti notevoli esprimono delle equivalenze che ci permettono di effettuare delle sostituzioni all'interno dei limiti.

 

Lo scopo di queste sostituzioni consiste nel semplificare l'espressione della funzione di cui vogliamo calcolare il limite, e quindi agevolare il calcolo.

 

Di conseguenza ogni volta che ne avremo la possibilità ci metteremo nella condizione di usare uno o più limiti notevoli: a volte, quando ci è dato un limite da calcolare, è evidente che bisogna usare un limite notevole come è pure evidente quale va usato. Altre volte invece, prima di poter effettuare una sostituzione mediante un certo limite notevole, dovremo "apparecchiare" il limite dato, facendo qualche opportuna operazione algebrica che ci metta in condizione di usare il limite notevole.

 

 

Esempio


Consideriamo il

 

\lim_{x\to 0^{+}}{\frac{e^{x}-2^{x}}{x^{2}+2x}}=\left[\frac{0}{0}\right]

 

Un occhio discretamente allenato intuisce subito che, con un piccolo trucco algebrico, potremmo ricondurci all'utilizzo dei limiti notevoli:

 

(\bullet)\ \ \lim_{x\to 0}{\frac{e^{x}-1}{x}}=1\ \ \mbox{ e }\ \ (\bullet\bullet)\lim_{x\to 0}{\frac{a^{x}-1}{x}}=\ln{(a)}

 

o se preferite alle rispettive equivalenze asintotiche

 

(\bullet)\ \ e^{x}-1\sim x\mbox{ per }x\to 0\ \ \mbox{ e }\ \ (\bullet\bullet)\ \ a^{x}-1\sim x\ln{(a)}\mbox{ per }x\to 0

 

 

Ci mancano i termini -1. Per ovviare a questo problema, togliamo e aggiungiamo un 1 a numeratore: è come se sommassimo zero, quindi stiamo semplicemente riscrivendo in una forma equivalente il limite assegnato.

 

\lim_{x\to 0^{+}}{\frac{e^{x}-1+1-2^{x}}{x^{2}+2x}}=\lim_{x\to 0^{+}}{\left[\frac{e^{x}-1}{x^{2}+2x}+\frac{1-2^{x}}{x^{2}+2x}\right]}=

 

Raccogliamo un (-1) nella seconda frazione: siamo pronti a usare i limiti notevoli e ad effettuare le sostituzioni dettate dalle rispettive equivalenze asintotiche!

 

\lim_{x\to 0^{+}}{\left[\frac{e^{x}-1}{x^{2}+2x}-\frac{2^{x}-1}{x^{2}+2x}\right]}\ \ \overbrace{=}^{uso\ \bullet\ e\ \bullet\bullet}\ \ \lim_{x\to 0^{+}}{\left[\frac{x}{x^{2}+2x}-\frac{\ln{(2)}x}{x^{2}+2x}\right]}=

 

ora è tutto più semplice, infatti ci basta raccogliere una x a denominatore, semplificare e provare a sostituire il valore cui tende la x nell'espressione ricavata

 

=\lim_{x\to 0^{+}}{\left[\frac{x}{x(x+2)}-\frac{\ln{(2)}x}{x(x+2)}\right]}=\lim_{x\to 0^{+}}{\left[\frac{1}{x+2}-\frac{\ln{(2)}}{x+2}\right]}=\frac{1-\ln{(2)}}{2}.

 

Come si imparano tutte le strategie che ci permettono di riconoscere quando usare un limite notevole, ed eventualmente quali operazioni fare per metterci nella condizione di usarlo? Con l'esercizio e con l'esperienza: è per questo motivo che gli esercizi vengono graduati per difficoltà... ;)

 

Limiti notevoli nel caso generale (molto importante!)

 

I limiti notevoli non si riducono alle sole funzioni dipendenti dalla x, ma il loro utilizzo può essere agilmente esteso al caso di funzioni composte. In parole poverissime, e in generale: i limiti notevoli esprimono equivalenze asintotiche che rimangono valide se al posto della semplice x abbiamo una qualsiasi funzione f(x).

 

Stiamo parlando della seconda colonna della tabella dei limiti notevoli, "Limiti Notevoli (in forma generale)".

 

 

Ciò che conta nel riconoscere e nell'usare un limite notevole si può riassumere sostanzialmente in due punti:

 

- Struttura

- Valore cui tende la x

 

Il termine struttura si riferisce alla funzione che gioca il ruolo da protagonista nel limite notevole, ad esempio

 

\lim_{x\to 0}{\frac{\sin(x)}{x}} ha come funzione di riferimento: sin(x) [e lo chiamiamo "limite notevole del seno"]

 

\lim_{x\to 0}{\frac{e^{x}-1}{x}} ha come funzione di riferimento: ex [e lo chiamiamo "limite notevole dell'esponenziale"]

 

 

Quando abbiamo per esempio

 

\lim_{x\to 0}{\frac{e^x-1}{altro}}

 

possiamo sostituire e^x-1 con x in forza dell'equivalenza asintotica e^{x}-1\sim_{x\to 0}x, che discende dal limite notevole \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1

 

\lim_{x\to 0}{\frac{e^x-1}{altro}}=\lim_{x\to 0}{\frac{x}{altro}}

 

In realtà questo genere di sostituzione si può effettuare anche quando, al posto della x, abbiamo una funzione qualsiasi f(x):


\lim_{x\to \lambda}{\frac{e^{f(x)}-1}{altro}}

 

possiamo sostituire e^{f(x)}-1 con f(x)ma ad una condizione: f(x)\to 0 quando x\to\lambda.

 

In altri termini se f(x)\to_{x\to lambda}0 facciamo ricorso all'equivalenza asintotica e^{f(x)}-1\sim_{x\to \lambda}f(x), che discende dal limite notevole \lim_{x\to \lambda}\frac{e^{f(x)}-1}{f(x)}=1.

 

Di conseguenza potremmo effettuare la seguente sostituzione:

 

\lim_{x\to \lambda}{\frac{e^{f(x)}-1}{altro}}\ \ \ \overbrace{=}^{se\ f(x)\to0\ per\ x\to \lambda}\ \ \ \lim_{x\to \lambda}{\frac{f(x)}{altro}}

 

 

In sintesi: ogni limite notevole può essere utilizzato nella forma generale, quindi se al posto della x compare una generica funzione f(x), se valgono le seguenti condizioni:

 

- ci sia la struttura originaria del limite notevole (seno, esponenziale, etc...);

 

- x può tendere a ciò che vuole nella forma generale del limite notevole, a patto che f(x) tenda al valore cui tendeva la x nella forma originaria del limite notevole.

 

 

Difficile? A parole può sembrarlo, nella pratica è molto semplice. Vediamo qualche esempio

 

 

1) Vale la sostituzione

 

 

\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{(x)}}{altro}}=\lim_{x\to 0}{\frac{x}{altro}}

 

 

dato che \sin(x)\sim x al tendere di x\to 0.

 

 

Vale anche la sostituzione (esempio a caso)

 

 

\lim_{x\to 1}{\frac{\sin{(x-1)}}{altro}}=\lim_{x\to 1}{\frac{x-1}{altro}}

 

 

perché \sin(x-1)\sim (x-1) per x\to 1. Infatti f(x)=x-1\to0 quando x\to 1.

 

 

2) Vale la sostituzione

 

 

\lim_{x\to 0}{\left(1-\cos(x)\right)^{4}}}=\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{2}\cdot x^2\right)^4

 

 

infatti (1-\cos(x))\sim \frac{1}{2}\cdot x^2 quando x\to 0.

 

 

D'altra parte, vale la sostituzione (esempio a caso)

 

 

\lim_{x\to +\infty}{\left(1-\cos\left(\frac{8}{x}\right)\right)^{4}}}=\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{64}{x^2}\right)^4

 

 

perchè f(x)=\frac{8}{x}\to 0 quando x\to +\infty, e quindi vale l'equivalenza asintotica 1-\cos\left(\frac{8}{x}\right)\sim \frac{1}{2}\cdot \left(\frac{8}{x}\right)^2 per x\to +\infty.

 

 


 

 

E così via: struttura e f(x) che tende al valore cui tende la x nel limite notevole originario. Sono le uniche due cose che contano, per il resto le possibilità sono infinite!

 

 


 

Negli esercizi correlati troverai dei suggerimenti sui limiti notevoli da usare: è un buon modo per prendere confidenza con lo strumento che abbiamo appena introdotto.

 

Chiudiamo questa lunga lezione con un avvertimento: il metodo di utilizzo delle equivalenze asintotiche per i limiti notevoli, per come l'abbiamo presentato, funziona bene ed è richiesto sia agli studenti delle scuole superiori che agli universitari. Per quest'ultimi in particolare il discorso può essere generalizzato e formalizzato in termini ancor più rigorosi: ne parleremo molto più avanti nella lezione sulle equivalenze asintotiche. ;)

 

 

ગુડબાય, see you soon guys!

Agente Ω

 

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