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Tabella dei limiti notevoli

I limiti notevoli sono risultati pre-confezionati di primaria importanza nella teoria dei limiti e nello svolgimento degli esercizi: conoscerli è fondamentale per la tua sopravvivenza matematica e studentesca! Le dimostrazioni non sono indispensabili per saper calcolare i limiti, ma sono essenziali per capire, a differenza di quel che farebbe una scimmietta ben ammaestrata, e per imparare nuovi metodi di ragionamento.

 

Nell'articolo sulle forme indeterminate abbiamo detto che il calcolo dei limiti non è tutto rose e fiori. Non sono sufficienti infatti gli strumenti che l'Algebra dei limiti e che l'Algebra degli infiniti e degli infinitesimi ci forniscono. Ciò è dovuto al fatto che non sappiamo risolvere a priori tutti i possibili calcoli che ci capita di incontrare nella risoluzione di un limite.

 

Abbiamo quindi associato un metodo di risoluzione a ciascuna forma di indecisione. Ora iniziamo a descriverli uno ad uno, ed incominciamo da quello che bene o male può essere utile sempre: l'utilizzo dei limiti notevoli.

 

Qui ti proponiamo un elenco che racchiude tutti i limiti notevoli che ti possono servire: quelli in bianco sono quelli che dovrai usare nel 98% dei casi. Quelli in verde sono meno comuni e, soprattutto se sei uno studente liceale, puoi tralasciarli. Quelli in azzurro, infine, possono essere dedotti dagli altri limiti notevoli: qui li riportiamo per completezza, ma puoi far finta che non ci siano. È sempre meglio sapere giungere ai risultati con il puro ragionamento, piuttosto che con la memoria!


Elenco completo dei limiti notevoli

 

Limite notevole in forma sintetica Limite notevole in forma generale

\frac{\sin{(x)}}{x}\to 1\ \ \ \mbox{ se } x\to 0

 

Funzione seno

\frac{\sin{(f(x))}}{f(x)}\to 1\ \ \ \mbox{ se } f(x)\to 0

 

(x può tendere a ciò che vuole, purchè
risulti che f(x) tende a 0)

\frac{\ln{(1+x)}}{x}\to 1\ \ \ \mbox{ se } x\to 0

 

Logaritmo naturale

\frac{\ln{(1+f(x))}}{f(x)}\to 1\ \ \ \mbox{ se } f(x)\to 0

 

(x può tendere a ciò che vuole, purchè
risulti che f(x) tende a 0)

\frac{\log_{a}{(1+x)}}{x}\to \frac{1}{\ln{(a)}}\ \ \ \mbox{ se } x\to 0

 

(forma generale del precedente,
a>0, a‡1)

\frac{\log_{a}{(1+f(x))}}{f(x)}\to \frac{1}{\ln{(a)}}\ \ \ \mbox{ se } f(x)\to 0

 

(forma generale del precedente,
a>0, a‡1;
x può tendere a ciò che vuole, purchè
risulti che f(x) tende a 0)

\frac{e^{x}-1}{x}\to 1\ \ \ \mbox{ se } x\to 0

 

Funzione esponenziale

\frac{e^{f(x)}-1}{f(x)}\to 1\ \ \ \mbox{ se } f(x)\to 0

 

(x può tendere a ciò che vuole, purchè
risulti che f(x) tende a 0
)

\frac{a^{x}-1}{x}\to \ln{(a)}\ \ \ \mbox{ se } x\to 0

 

(forma generale del precedente,

a>0)

\frac{a^{x}-1}{x}\to \ln{(a)}\ \ \ \mbox{ se } f(x)\to 0

 

(forma generale del precedente,
a>0;
x può tendere a ciò che vuole, purchè
risulti che f(x) tende a 0)

\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\to e\ \ \ \mbox{ se } x\to \pm\infty

 

(Limite del numero di Nepero)

\left(1+\frac{1}{f(x)}\right)^{f(x)}\to e\ \ \ \mbox{ se } f(x)\to \pm\infty

 

(x può tendere a ciò che vuole,
purchè 
risulti che f(x) tende a ±∞)

\frac{\left(1+x\right)^{c}-1}{x}\to c\ \ \ \mbox{ se } x\to 0

 

per ogni c reale

 

\frac{\left(1+f(x)\right)^{c}-1}{f(x)}\to c\ \ \ \mbox{ se } f(x)\to 0

 

(per ogni c reale;
x può tendere a ciò che vuole, purchè
risulti che f(x) tende a 0
)

\frac{1-\cos{(x)}}{x^{2}}\to \frac{1}{2}\ \ \ \mbox{ se } x\to 0

 

Funzione coseno

\frac{1-\cos{(f(x))}}{(f(x))^{2}}\to \frac{1}{2}\ \ \ \mbox{ se } f(x)\to 0

 

(x può tendere a ciò che vuole, purchè
risulti che f(x) tende a 0
)

\frac{\tan{(x)}}{x}\to 1\ \ \ \mbox{ se } x\to 0

 

Funzione tangente (basta conoscere il limite notevole del seno...)

\frac{\tan{(f(x))}}{f(x)}\to 1\ \ \ \mbox{ se } f(x)\to 0

 

(basta conoscere il limite notevole del seno...
x può tendere a ciò che vuole, purchè
risulti che f(x) tende a 0
)

\frac{\arcsin(x)}{x}\to 1}\ \ \ \mbox{ se }x\to 0

 

Arcoseno

\frac{\arcsin(f(x))}{f(x)}\to 1}\ \ \ \mbox{ se } f(x)\to 0

 

(x può tendere a ciò che vuole, purchè
risulti che f(x) tende a 0
)

\frac{\arctan(x)}{x}\to 1}\ \ \ \mbox{ se }x\to 0

 

Arcotangente

\frac{\arctan(f(x))}{f(x)}\to 1}\ \ \ \mbox{ se } f(x)\to 0

 

(x può tendere a ciò che vuole, purchè
risulti che f(x) tende a 0
)

\frac{\mbox{sinH}(x)}{x}\to 1}\ \ \ \mbox{ se }x\to 0

 

Seno iperbolico

\frac{\mbox{sinH}(f(x))}{f(x)}\to 1}\ \ \ \mbox{ se }f(x)\to 0

 

(seno iperbolico)

(x può tendere a ciò che vuole, purchè
risulti che f(x) tende a 0
)

\frac{\mbox{cosH}(x)-1}{x^{2}}\to \frac{1}{2}}\ \ \ \mbox{ se }x\to 0

 

Coseno iperbolico

\frac{\mbox{cosH}(f(x))-1}{f(x)^{2}}\to \frac{1}{2}}\ \ \ \mbox{ se }f(x)\to 0

 

(coseno iperbolico)

(x può tendere a ciò che vuole, purchè
risulti che f(x) tende a 0)

\frac{\mbox{tanH}(x)}{x}\to 1}\ \ \ \mbox{ se } x\to 0

 

Tangente iperbolica

\frac{\mbox{tanH}(f(x))}{f(x)}\to 1}\ \ \ \mbox{ se }f(x)\to 0

 

(tangente iperbolica)

(x può tendere a ciò che vuole, purchè
risulti che f(x) tende a 0
)

 

 

Conoscere i limiti notevoli è una cosa, sapere come si usano è tutt'altra faccenda, e puoi scoprirlo leggendo l'articolo successivo: come si usano i limiti notevoli?

 

Se qualcosa non fosse chiaro non esitare a cercare qui su YM, abbiamo risolto molti dubbi ed esercizi...e nel caso in cui non ci fosse quel che cerchi, non esitare ad aprire una nuova discussione nel Forum.

 

Farvel, see you soon guys!

Agente Ω

 

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