Limiti notevoli

I limiti notevoli sono particolari limiti di funzioni elementari ricorrenti che vengono dimostrati una volta per tutte e che vengono dati per buoni nel calcolo dei limiti. In altri termini, i limiti notevoli possono essere usati come risultati assodati nel calcolo di limiti più complessi che li coinvolgono.

 

Eccoci giunti al cuore dei metodi di calcolo dei limiti. In questa lezione vi proponiamo la tabella dei limiti notevoli, vale a dire un elenco di risultati relativi ai limiti - ciascuno con una propria dimostrazione - che possono essere usati direttamente nello svolgimento degli esercizi. Vi assicuriamo che conoscere i limiti notevoli è fondamentale per il prosieguo degli studi in Matematica, quindi vi raccomandiamo di non sottovalutarli.

 

Più che una lezione, quello che vi proponiamo qui è un formulario sui limiti notevoli utile sia per chi sta studiando da zero, sia per chi sta ripassando. Nella lezione successiva passeremo all'azione e spiegheremo come usare i limiti notevoli negli esercizi: mostreremo cioè le varie tecniche di applicazione nella pratica e proporremo diversi esempi svolti e commentati. 

 

Cosa sono i limiti notevoli

 

Un piccolo riassunto delle puntate precedenti. Nella lezione sulle forme indeterminate abbiamo detto che il calcolo dei limiti non è tutto rose e fiori. Non sono sufficienti infatti gli strumenti che l'Algebra dei limiti e che l'Algebra di infiniti e infinitesimi ci forniscono. Ciò è dovuto al fatto che non sappiamo risolvere a priori tutti i possibili calcoli che ci capita di incontrare nella risoluzione di un limite.

 

Abbiamo quindi associato un metodo di risoluzione a ciascuna forma di indecisione. Ora iniziamo a descriverli uno ad uno: sappiate sin da subito che i limiti notevoli non ci permetteranno di risolvere tutte le forme indeterminate che possono manifestarsi, ma ci permetteranno di risolvere una tonnellata di esercizi delle più disparate tipologie. ;)

 

In questo senso i limiti notevoli sono esattamente ciò che il nome lascia intendere: limiti di particolari funzioni che ricorrono spesso e volentieri e che, dopo averne compreso le rispettive dimostrazioni, possono essere utilizzati senza ulteriori giustificazioni.

 

Guida alla lettura della tabella dei limiti notevoli

 

In questo formulario proponiamo un elenco che racchiude tutti i limiti notevoli che possono servire negli esercizi:

 

- quelli numerati in arancione sono quelli che dovrete usare nel 98% dei casi;

 

- quelli in verde sono meno comuni e vengono solitamente utilizzati negli studi universitari, dunque gli studenti delle scuole superiori possono tralasciarli;

 

- quelli in azzurro, infine, possono essere dedotti dagli altri limiti notevoli. Qui li riportiamo per completezza, ma potete far finta che non ci siano. È sempre meglio sapere giungere ai risultati con il puro ragionamento, piuttosto che con la memoria. ;)

 

Come ulteriore nota informativa, sappiate che le dimostrazioni dei limiti notevoli non sono indispensabili per saper calcolare i limiti, ma sono essenziali per capire e per imparare nuovi metodi di ragionamento.

 

Da ultimo, riteniamo estremamente utile (per voi!) fornire una duplice versione di ciascun limite notevole dell'elenco. Da un lato riportiamo il puro e semplice limite notevole di base, dall'altro il corrispondente limite notevole in forma generale. Sappiate che negli esercizi quella che userete nella maggior parte dei casi sarà proprio la seconda versione, come avrete modo di constatare nella lezione successiva sull'utilizzo dei limiti notevoli. 

 

Elenco completo dei limiti notevoli

 

Nota bene: nella generalizzazione di ciascun limite notevole, riportata a destra, la struttura rimane invariata e la variabile x può essere sostituita da una qualsiasi funzione f(x). Ciò è consentito a patto che valga una semplice condizione: la variabile x può tendere a qualsiasi valore finito o infinito, purché f(x) soddisfi la condizione specificata nel limite notevole generalizzato.

 

Tutti i seguenti limiti notevoli si riferiscono alla forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right] ad eccezione del limite notevole del numero di Nepero, che fa riferimento alla forma indeterminata [1^\infty].

 

 

1. Limite notevole del logaritmo naturale

 

\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1\ \ \ \ \ ;\ \ \ \ \ \lim_{f(x)\to 0}\frac{\ln(1+f(x))}{f(x)}=1

 

 

2. Limite notevole della funzione logaritmica con base arbitraria

 

\\ \lim_{x\to 0}\frac{\log_a(1+x)}{x}=\frac{1}{\ln(a)}\ \ \ \ \ ;\ \ \ \ \ \lim_{f(x)\to 0}\frac{\log_a(1+f(x))}{f(x)}=\frac{1}{\ln(a)}\\ \\ \mbox{con }a>0,\ a\neq 1

 

 

3. Limite notevole della funzione esponenziale

 

\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1\ \ \ \ \ ;\ \ \ \ \ \lim_{f(x)\to 0}\frac{e^{f(x)}-1}{f(x)}=1

 

 

4. Limite notevole della funzione esponenziale con base arbitraria

 

\\ \lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln(a)\ \ \ \ \ ;\ \ \ \ \ \lim_{f(x)\to 0}\frac{a^{f(x)}-1}{f(x)}=\ln(a)\\ \\ \mbox{con }a>0

 

 

5. Limite notevole del numero di Nepero

 

\lim_{x\to \pm\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e\ \ \ \ \ ;\ \ \ \ \ \lim_{f(x)\to \pm\infty}\left(1+\frac{1}{f(x)}\right)^{f(x)}=e

 

 

6. Limite notevole della potenza con differenza

 

\\ \lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^c-1}{x}=c\ \ \ \ \ ;\ \ \ \ \ \lim_{f(x)\to 0}\frac{(1+f(x))^c-1}{f(x)}=c\\ \\ \mbox{con }c\in\mathbb{R}

 

 

7. Limite notevole della funzione seno

 

\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1\ \ \ \ \ ;\ \ \ \ \ \lim_{f(x)\to 0}\frac{\sin(f(x))}{f(x)}=1 

 

 

8. Limite notevole della funzione coseno

 

\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}=\frac{1}{2}\ \ \ \ \ ;\ \ \ \ \ \lim_{f(x)\to 0}\frac{1-\cos(f(x))}{(f(x))^2}=\frac{1}{2}

 

 

9. Limite notevole della funzione tangente

 

\lim_{x\to 0}\frac{\tan(x)}{x}=1\ \ \ \ \ ;\ \ \ \ \ \lim_{f(x)\to 0}\frac{\tan(f(x))}{f(x)}=1

 

 

10. Limite notevole dell'arcoseno

 

\lim_{x\to 0}\frac{\arcsin(x)}{x}=1\ \ \ \ \ ;\ \ \ \ \ \lim_{f(x)\to 0}\frac{\arcsin(f(x))}{f(x)}=1

 

 

11. Limite notevole dell'arcotangente

 

\lim_{x\to 0}\frac{\arctan(x)}{x}=1\ \ \ \ \ ;\ \ \ \ \ \lim_{f(x)\to 0}\frac{\arctan(f(x))}{f(x)}=1

 

 

12. Limite notevole del seno iperbolico

 

\lim_{x\to 0}\frac{\sinh(x)}{x}=1\ \ \ \ \ ;\ \ \ \ \ \lim_{f(x)\to 0}\frac{\sinh(f(x))}{f(x)}=1

 

 

13. Limite notevole del coseno iperbolico

 

\lim_{x\to 0}\frac{\cosh(x)-1}{x^2}=\frac{1}{2}\ \ \ \ \ ;\ \ \ \ \ \lim_{f(x)\to 0}\frac{\cosh(f(x))-1}{(f(x))^2}=\frac{1}{2}

 

 

14. Limite notevole della tangente iperbolica

 

\lim_{x\to 0}\frac{\tanh(x)}{x}=1\ \ \ \ \ ;\ \ \ \ \ \lim_{f(x)\to 0}\frac{\tanh(f(x))}{f(x)}=1

 

 


 

Conoscere i limiti notevoli è una cosa, sapere come si usano è tutt'altra faccenda. A questo proposito vi rimandiamo alla lettura della lezione successiva: come si usano i limiti notevoli?

 

Prima di lasciarvi proseguire ci teniamo a fornirvi altre indicazioni utili. In primo luogo il tool per il calcolo dei limiti online, grazie al quale potrete correggere i risultati dei vostri esercizi. Oltre a questo, chi è qui per ripassare e si sente già pronto può mettersi alla prova con gli esercizi svolti sui limiti notevoli o con quelli proposti, a cui potete accedere dai link di navigazione presenti qui sotto.

 

Infine, gli universitari interessati possono eventualmente consultare la lezione sui limiti notevoli di successioni. ;)

 

Farvel, see you soon guys!

Agente Ω

 

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