Forme indeterminate

Le forme indeterminate sono operazioni che coinvolgono infiniti e infinitesimi nel calcolo dei limiti per le quali non è possibile determinare un risultato a priori, e sono 7 in tutto: zero su zero, infinito su infinito, zero per infinito, uno alla infinito, infinito meno infinito, zero alla zero, infinito alla zero.

 

Pronti per risolvere l'annoso mistero delle forme indeterminate nel calcolo dei limiti? In questa lezione introdurremo le cosiddette forme di indeterminazione, o forme di indecisione, e spiegheremo cosa sono e da dove scaturiscono nell'operazione di passaggio al limite. Nella lezione successiva presenteremo un riepilogo di tutte le tecniche che permettono di risolverle, trattandole una ad una e proponendo diversi esempi, ma non prima di aver compreso a fondo perché tali operazioni siano effettivamente indeterminate.

 

Un consiglio: diffidate di chi tenta di spiegarvi le forme indeterminate proponendovi un paio di esempi svolti. Le forme di indeterminazione sono il cuore della teoria del calcolo dei limiti e richiedono la conoscenza di tutte le tecniche possibili. Per questo motivo, se volete imparare davvero a risolverle, vi suggeriamo di procedere con calma e cautela. ;)

 

Cosa sono le forme indeterminate

 

Per capire cosa sono le forme di indeterminazione partiamo da un piccolo riassunto delle puntate precedenti. Nella lezione su infiniti e infinitesimi abbiamo ampliato le nostre conoscenze nel calcolo dei limiti. Sostanzialmente, abbiamo mostrato che il calcolo dei limiti per sostituzione diretta non funziona sempre, abbiamo introdotto una serie di regole che ci permettono di svolgere parecchie operazioni che coinvolgono gli infiniti e gli infinitesimi e che consentono di trattarli come se fossero numeri reali.

 

Abbiamo imparato, ad esempio, che se c è un numero negativo allora nel contesto dei limiti vale la regola \frac{c}{+\infty}=0^{-}.

 

Il problema che si pone ora, però, è che l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi non esaurisce tutte le possibilità. Ci sono delle operazioni tra infiniti e infinitesimi per le quali non è possibile determinare un risultato a priori, e che non a caso vengono chiamate forme indeterminate.

 

Esempio di forma indeterminata

 

Se abbiamo a che fare con un limite che conduce a 0\cdot (-\infty), come ad esempio

 

\lim_{x\to 0^+}x\ln(x)

 

quale sarà il valore del limite? Varrà 0, varrà +infinito, o qualcos'altro?

 

La risposta è: in generale non possiamo saperlo con gli strumenti forniti dall'algebra di infiniti e infinitesimi. Non esiste una risposta a priori. Con questo non intendiamo che non è possibile determinare il risultato del limite, bensì che le tecniche di calcolo studiate fino a qui non ci consentono di rispondere.

 

Quali sono le forme indeterminate

 

Le operazioni problematiche nel calcolo dei limiti con infiniti e infinitesimi, e per le quali non esiste una risposta pre-determinata, sono essenzialmente sette. Esse prendono il nome di forme indeterminate o anche di forme di indecisione:

 

\left[\frac{0}{0}\right]\ \ \ \left[\frac{\infty}{\infty}\right]\ \ \ \left[0\cdot\infty\right]\ \ \ \left[1^\infty\right]\ \ \ \left[\infty-\infty\right]\ \ \ \left[0^{0}\right]\ \ \ \left[\infty^{0}\right]

 

In sintesi, quando si tenta di risolvere un limite con le regole dell'algebra di infiniti e infinitesimi, se il risultato consiste in una delle precedenti forme dobbiamo procedere usando altri metodi di calcolo. In ogni caso nel momento in cui ci imbattiamo in una forma indeterminata è buona norma indicarne il tipo tra parentesi quadre.

 

Immaginiamo che a questo punto siate curiosi e che vogliate farvi un'idea di quali limiti, concretamente, generino delle forme di indecisione. Ecco alcuni esempi di forme indeterminate, consideratelo pure come un antipasto. ;)

 

\\ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=\left[\frac{0}{0}\right]\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to +\infty}\frac{x+1}{x^2}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\\ \\ \\ \lim_{x\to \left(\frac{\pi}{2}\right)^-}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\tan(x)=\left[0\cdot \infty\right]\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to -\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^2}=[1^\infty]\\ \\ \\ \lim_{x\to +\infty}(\sqrt{x}-x)=[\infty-\infty]\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to 0}x^x=[0^0]\\ \\ \\ \lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{x-1}\right)^{x-1}=\left[\infty^0\right]

 

Come potete notare nell'indicare una forma indeterminata non si pone particolare attenzione al segno degli infiniti e degli infinitesimi coinvolti. Si scrive semplicemente 0 oppure \infty e in entrambi i casi si possono intendere infinitesimi di segno positivo o negativo e infiniti di segno positivo o negativo.

 

Risoluzione delle forme indeterminate

 

Per risolvere una forma indeterminata si procede per passi:

 

1) riconoscere il tipo di forma indeterminata;

 

2) pensare al metodo di risoluzione più adeguato per la forma di indecisione individuata, ed eventualmente procedere per tentativi.

 

Purtroppo non esiste una corrispondenza tra il tipo di forma di indecisione ed un metodo che la risolva sempre e comunque. Fortunatamente però per ogni forma indeterminata esiste una serie di possibili strategie risolutive, ed è tra queste che dovremo scegliere per procedere al calcolo del limite.

 

Ovviamente il continuo esercizio vi permetterà di sviluppare il cosiddetto occhio clinico e grazie all'esperienza imparerete a capire in anticipo quale strada seguire per risolvere un qualsiasi limite che genera una forma indeterminata... fatta eccezione per certi limiti veramente patologici, che magari vi richiederanno più tentativi. ;)

 

Nelle lezioni successive presenteremo tutti i possibili metodi di calcolo grazie ai quali potrete risolvere ogni possibile forma di indeterminazione. La stragrande maggioranza degli esercizi possono essere risolti ricorrendo a:

 

Limiti notevoli

 

- Teoremi sui limiti (teorema del confronto)

 

- Trucchi algebrici (scomposizioni & semplificazioni, razionalizzazioni, riscritture algebriche equivalenti ...)

 

Teorema di De l'Hôpital

 

Limiti calcolati con gli sviluppi di Taylor (questo metodo viene studiato solamente all'università e richiede una piena conoscenza delle derivate. Se siete studenti delle scuole superiori non preoccupatevene)

 

La prima cosa che dovrete imparare sarà la capacità di ricondurre una forma indeterminata ai possibili modi di risolverla. Una volta allenato l'occhio, i limiti potrebbero sembrarvi addirittura divertenti... :)

 

 


 

Come anticipato, nella lezione successiva (forme di indecisione: metodi di risoluzione) vi forniremo una panoramica delle possibili tecniche di risoluzione per ciascuna forma indeterminata; nel seguito presenteremo tali tecniche spiegandole una ad una.

 

Chi è in fase di ripasso e non di studio ex novo sappia inoltre che a partire dalla scheda correlata potrà consultare tantissimi esercizi svolti sulle forme indeterminate, suddivisi tra una scheda mista e diverse schede dedicate a ciascuna forma di indecisione. In caso di necessità ricordate che qui su YM c'è anche un comodo tool per calcolare i limiti online e che abbiamo risolto e spiegato migliaia di esercizi. Potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Zbohom, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Lezione precedente...........Esercizi correlati..........Lezione successiva


Tags: cosa sono le forme di indecisione, elenco delle forme di indecisione e calcolo di limiti con forme indeterminate.

 

pba1