Forme indeterminate

Pronti per risolvere l'annoso mistero delle forme indeterminate generate dai limiti? Nell'articolo algebra degli infiniti e degli infinitesimi abbiamo ampliato le nostre conoscenze nel calcolo dei limiti.

 

Sostanzialmente, abbiamo detto che il metodo di sostituzione diretta del valore x0 cui tende la x, in simboli x\rightarrow x_{0}, nell'espressione della funzione di cui si vuole calcolare il limite non funziona sempre. Se al posto di x0 abbiamo ±∞, l'Algebra degli infiniti e degli infinitesimi ci spiega come comportarci e come sostituire tali "valori" al posto della x.

 

Abbiamo imparato, ad esempio, che se c è un numero negativo allora \frac{c}{+\infty}=0^{-}.

 

Cosa sono le forme indeterminate

 

Il problema che si pone ora, però, è che l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi non esaurisce tutte le possibilità di calcolo che possiamo incontrare. Ci sono delle operazioni tra infiniti e infinitesimi alle quali non sappiamo dare risposta a priori. Un esempio: quanto vale 0\cdot +\infty? Vale 0, vale +∞, o qualcos'altro?!?! La risposta è: non c'è una risposta generale. Dipende da caso a caso!

 

Le operazioni problematiche che si incontrano nel calcolo dei limiti e che i limiti stessi permettono di risolvere sono essenzialmente sette, e prendono il nome di forme indeterminate o anche di forme di indecisione. Esse sono:

 

\left[\frac{0}{0}\right]    \left[\frac{\infty}{\infty}\right]    \left[0\cdot\infty\right]    \left[1^\infty\right]    \left[\infty-\infty\right]    \left[0^{0}\right]    \left[\infty^{0}\right]

 

Quindi, quando si tenta di risolvere un limite con la sostituzione diretta, se il risultato consiste in una delle precedenti forme è buona norma indicare la forma indeterminata tra parentesi quadrate, come risultato iniziale del limite.


È poi bene sapere che ogni forma indeterminata ha le sue strategie di risoluzione, e da quelle non si scappa. Per questo motivo è fondamentale, nel risolvere un limite:

  • riconoscere l'eventuale forma indeterminata;
  • indicarla per benino;
  • pensare al metodo di risoluzione più adeguato per la forma di indecisione individuata.

 

Negli articoli successivi tratteremo le forme indeterminate una per una presentandovi tutti i possibili metodi di calcolo. La stragrande maggioranza degli esercizi possono essere risolti ricorrendo a:

  1. Limiti notevoli
  2. Teoremi sui limiti (teorema del confronto)
  3. Barbatrucchi algebrici (smanettando con i calcoli: scomposizioni & semplificazioni, razionalizzazioni, riscritture equivalenti...)
  4. Teorema di De l'Hôpital
  5. Limiti calcolati con gli sviluppi di Taylor (questo metodo viene studiato solamente all'università e non al liceo, e richiede la conoscenza delle derivate. Se non ne hai mai sentito parlare, non preoccuparti, fai finta che non ci sia.)

Ad ogni modo, l'importante sarà solo ricondurre una forma indeterminata ai possibili modi di risolverla. Una volta fatto l'occhio, i limiti potrebbero addirittura sembrarvi divertenti...

 

Esempi sulle forme indeterminate

 

1) \lim_{x\to 0}{\frac{x^2+3x}{x^{3}-6x}}=\left[\frac{0}{0}\right]


2) \lim_{x\to -\infty}{\frac{x^5+x-2}{x^{4}-2x}}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]

 


3)
\lim_{x\to 1^{\pm}}{x^{\frac{1}{x-1}}}=\left[1^{\infty}\right]

 

Ora vediamo di uscire dalla jungla in cui siamo appena entrati. Nell'articolo forme di indecisione: metodi di risoluzione troverai una tabella in cui ad ogni forma di indecisione sono associati tutti i metodi di risoluzione.

 

 


 

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Zbohom, see you soon guys!

Agente Ω

 

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