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Punti di discontinuità

Siamo finalmente in grado di definire la nozione di discontinuità e di classificare i punti di discontinuità di una funzione, dopo aver introdotto la definizione di funzione continua e di continuità - globale o puntuale che sia.

 

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Diciamo sin da subito che la discontinuità è un concetto solamente puntuale: imparando a riconoscere se una funzione è discontinua in un qualche punto dell'asse reale saremo anche in grado di dire se la funzione è continua globalmente (nel caso in cui non vi sia alcuna discontinuità). Questo perché, da che mondo è mondo, è più facile controllare un numero finito di punti (vale a dire le eventuali discontinuità di una funzione) piuttosto che controllare ad uno ad uno i punti in cui una funzione e continua.

 

Quindi, quando sapremo riconoscere le discontinuità, prenderemo una funzione qualsiasi, la guarderemo, e ragioneremo più o meno così:

 

- la funzione non ha discontinuità, quindi è continua globalmente;
- la funzione ha tot discontinuità, che sono di certi tipi per determinati motivi, e quindi non è continua globalmente.

Passiamo a vedere che tipi di punti di discontinuità possono presentarsi.

 

Punti di discontinuità

 

Partiamo dalla definizione di funzione discontinua in un punto: diciamo che una funzione è discontinua in un punto x0 se non è continua nel punto x0.

 

Passiamo in rassegna i tre tipi di discontinuità e lasciamo al seguito i commenti e gli esempi. Come al solito prendiamo una funzione reale di variabile reale f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}.

 

Punto di discontinuità di prima specie


Diciamo che f ha in x0 una discontinuità di prima specie se esistono finiti i due limiti sinistro e destro \lim_{x\to x_{0}}{f(x)} ma non coincidono. Viene dunque a mancare, in questo caso, la seconda condizione di continuità.


La discontinuità di prima specie è anche detta discontinuità a salto.


Esempio di discontinuità di prima specie


Prendiamo la funzione y=sgn(x)=\frac{x}{|x|}, detta "funzione segno", che associa ad x il suo segno: 0 se x=0, +1 se x>0, -1 se x<0. Tale funzione ha in x0=0 una discontinuità di prima specie, infatti risulta che

 

\lim_{x\to 0^{-}}{\frac{x}{|x|}}=\lim_{x\to 0^{-}}{\frac{x}{-x}}=-1 e

 

\lim_{x\to 0^{+}}{\frac{x}{|x|}}=\lim_{x\to 0^{+}}{\frac{x}{+x}}=+1

 

Guardando il grafico della funzione segno capiremo subito il significato del nome "discontinuità a salto"

 

Esempio di punto di discontinuità di prima specie


 Niente di più logico: il salto si genera nel punto perchè a sinistra la funzione si avvicina al punto assumendo un valore diverso da quello che assume avvicinandosi da destra.

 

Punto di discontinuità di seconda specie


Diciamo che f ha in x0 una discontinuità di seconda specie se anche solo uno dei due limiti, sinistro o destro, o non esiste o è infinito. Non sembra complicato, e infatti non lo è: appena trovi un punto in cui almeno uno dei due limiti sinistro o destro è infinito o non esiste, allora la funzione ha in quel punto una discontinuità di seconda specie.

 

Questo tipo di discontinuità è iper-caratteristico quando ci troviamo in presenza di un denominatore (non solo, naturalmente) ed ha uno stretto legame con i limiti infiniti per x tendente a un valore finito...

 

Esempio di discontinuità di seconda specie


Consideriamo la funzione y=\frac{x^2+3}{x^{2}-1}. Questa funzione ha dominio \left(-\infty,-1\right)\cup\left(-1,+1\right)\cup\left(+1,+\infty\right) ed i punti da escludere si individuano ponendo il denominatore diverso da zero (hai letto l'articolo sul dominio di una funzione?). Affermiamo che la funzione considerata è continua su tutto l'asse reale tranne che nei punti x=-1,+1, e diciamo che in tali punti presenta discontinuità di seconda specie. Infatti...

 

\lim_{x\to (-1)^{-}}{\frac{x^2+3}{x^{2}-1}}=+\infty e \lim_{x\to (-1)^{+}}{\frac{x^2+3}{x^{2}-1}}=-\infty.

 

In modo del tutto analogo

 

\lim_{x\to (+1)^{-}}{\frac{x^2+3}{x^{2}-1}}=-\infty e \lim_{x\to (+1)^{+}}{\frac{x^2+3}{x^{2}-1}}=+\infty.

 

Se guardiamo il grafico della funzione, possiamo farci un'idea di quel che succede in corrispondenza di un punto di discontinuità di seconda specie

 

Due punti di discontinuità di seconda specie


Punto di discontinuità di terza specie


Diciamo che f ha in x0 una discontinuità di terza specie se esistono finiti i due limiti sinistro e destro \lim_{x\to x_{0}^{-}}{f(x)} e \lim_{x\to x_{0}^{+}}{f(x)} e coincidono tra di loro ma non coincidono con la valutazione f(x0) della funzione nel punto x0. Qui non è soddisfatta la prima condizione di continuità.

 

Delle tre discontinuità appena introdotte quest'ultima è la più tecnica e certamente la più artificiosa. Essa si manifesta quando abbiamo una funzione che è definita a tratti (questo genere di funzioni prendono il nome di funzioni estese), come ad esempio

 

f(x)=x+1\mbox{ se }x\neq 2\mbox{, }f(x)=1\mbox{ se }x=2

 

avente grafico:

 

Esempio di punto di discontinuità di terza specie

 

e che ha limiti

 

\lim_{x\to 2^{-}{x+1}=3 e \lim_{x\to 2^{+}{x+1}=3

 

ma risulta

 

f(2)=1 per definizione di f(x).

 

Lo so, lo so, ti stai chiedendo che razza di funzione sia quella che stiamo considerando. Laughing In effetti non capita tutti i giorni di incontrarne per strada. Le funzioni estese sono molto rare, soprattutto negli studi liceali. Però esistono e sono un ottimo esempio per capire in cosa consistono le discontinuità di terza specie. Queste sono anche dette discontinuità eliminabili, e tale nome è dovuto al fatto che ridefinendo la funzione nel punto di discontinuità possiamo eliminarla. Ecco come: per quanto riguarda la funzione considerata, facciamo un magheggio sostituendola con

 

f(x)=x+1\mbox{ se }x\neq 2\mbox{, }f(x)=3\mbox{ se }x=2.

 

Ora i limiti sinistro e destro coincidono con la valutazione f(2)=1 della funzione nel punto x0=2, quindi abbiamo continuità in tale punto.

 

Come eliminare una discontinuità di terza specie

 

Quando si elimina una discontinuità di terza specie si dice, in termini rigorosi, che si effettua un prolungamento per continuità nel punto. Se vuoi approfondire questo argomento puoi dare un'occhiata alla discussione del link. Wink

 


 

Con questo è tutto, abbiamo descritto tutti i casi in cui la condizione di continuità può venire meno. In particolare le discontinuità di seconda specie rivestono un ruolo importantissimo nello studio del grafico delle funzioni, in quanto corrisponde sempre ad un asintoto verticale, di cui parliamo in un altra lezione. In effetti, la Matematica diventa sempre più semplice quando si riesce a vedere la corrispondenza tra formule apparentemente sterili e concetti intuitivi...

 

Se qualcosa non fosse chiaro sappi che puoi trovare tutte le risposte ai tuoi dubbi mediante la barra di ricerca (abbiamo risposto a migliaia di domande e spiegato come risolvere tonnellate di esercizi!) oppure scrivici nel Forum.

 

Hüvasti, see you soon guys!

Agente Ω

 

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Tags: i tre tipi di discontinuità e punti di discontinuità: di prima specie, di seconda specie e di terza specie (eliminabile) - funzione discontinua in un punto.

 

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