Funzione continua in un punto

Dopo aver introdotto la nozione di continuità delle funzioni, scendiamo nel particolare e mostriamo come stabilire se una funzione è continua in un punto. Nella precedente lezione abbiamo introdotto la nozione di continuità di una funzione reale di variabile reale f in un punto x0, e abbiamo visto che, essenzialmente, la condizione di continuità è verificata se prendendo valori di ascissa x sempre più vicini al punto x0 otteniamo valutazioni f(x) che si avvicinano sempre di più al valore f(x0).

 

In una parola

 

\lim_{x\rightarrow x_{0}}{f(x)}=f(x_{0}).

 

 

D'altra parte abbiamo anche detto che, in modo del tutto equivalente, si può definire la continuità in un punto guardando i limiti sinistro e destro di f(x) per x\rightarrow x_{0}. Le condizioni da verificare sono:

 

  1. Esistono finiti i limiti sinistro e destro:

    \exists\mbox{ }\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}{f(x)}\neq\pm\infty

    e

    \exists\mbox{ }\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}{f(x)}\neq\pm\infty.

  2. I limiti sinistro e destro sono uguali e coincidono con la valutazione della funzione nel punto x0:

    \lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}{f(x)}=f(x_{0})=\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}{f(x)}.

 

Stabilire se una funzione è continua in un punto

 

Non esiste niente di più concreto e semplice della precedente definizione per verificare nella pratica se una funzione è continua in un punto. Questo perchè ti fornisce due condizioni da verificare e ti dice come verificarle!

 

Esempi


1) Verifichiamo che la funzione

 

y=x\cdot sin(x)

 

è continua nel punto x0=0.5. Calcolo quindi il limite sinistro e guardo quanto vale la funzione "poco poco poco prima di 0.5". Trovo che

 

\lim_{x\rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^-}{x\cdot sin(x)}=\frac{1}{2}\cdot sin(\frac{1}{2})

 

e osservo che non ci sono problemi nemmeno a destra, infatti

 

\lim_{x\rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^+}{x\cdot sin(x)}=\frac{1}{2}\cdot sin(\frac{1}{2}).


Dunque i due limiti sinistro e destro esistono finiti. Inoltre è facile vedere che coincidono con la valutazione della funzione nel punto x0=0.5, che è f(x_{0})=\frac{1}{2}\cdot sin(\frac{1}{2}) [valutazione della funzione in x0 significa sostituisci x0 al posto della x nell'espressione di f, e svogli i calcoli]. La funzione è continua nel punto considerato, e non è difficile vedere che è continua in ogni punto del suo dominio (che è poi tutto l'asse reale): basta ragionare alla stesso modo.

 

La funzione considerata è quindi globalmente continua.

 

 

2) Prendiamo ora la funzione

 

y=\frac{x+2}{x-1}

 

e vediamo se le condizioni richieste sono verificate nel punto x0=1.


Calcoliamo dunque il limite sinistro: \lim_{x\to 1^-}{\frac{x+2}{x-1}}. A numeratore avremo 3, a denominatore 1--1=0- e dunque il limite sinistro vale -\infty per quanto sappiamo dall'Algebra degli Infiniti e degli Infinitesimi.

 

Già questo ci basterebbe per dire che la funzione considerata non è continua nel punto x0=1, ma per dovere di cronaca osserviamo anche che il limite destro vale +\infty; infatti, è tutto come per il sinistro tranne che a denominatore troviamo 1+-1=0+. In particolare, osserviamo che non è nemmeno possibile valutare la funzione in x0=1, perchè non è possibile dividere per zero ed infatti tale punto è escluso dal dominio della funzione!

 

 


 

 

C'è un punto che potrebbe sembrare oscuro nei due esempi che abbiamo appena fatto. Perchè nel primo esempio abbiamo snobbato i - e i + mentre nel secondo esempio questi rivestivano una diversa importanza? Tutto sta nel capire quando quei "poco meno di" o "poco più di" hanno rilevanza oppure no nei calcoli, e per poterlo capire è fondamentale conoscere le funzioni che si rivelano problematiche nei confronti della continuità e quali no. Paradossalmente, infatti, per chi non ha molta dimestichezza con la nozione di continuità, è più facile capire quando e perchè una funzione non è continua piuttosto che quando è continua. In gergo, una funzione f che non è continua in un punto si dice discontinua nel punto. Nell'articolo sui punti di discontinuità parleremo dei modi in cui una funzione può essere discontinua (per l'appunto sono tre) e di quando e come le condizioni di continuità vengono a mancare.

 

 


 

 

Nota bene: un classico esercizio di liceo e soprattutto presente negli esami universitari di matematica consiste nello stabilire se una funzione è continua in un punto, proprio perchè la continuità è un aspetto cruciale dell'Analisi Matematica. Dai un'occhiatina alla scheda di esercizi correlati, troverai le linee guida per lo svolgimento. Quindi: se vuoi avere il quadro di insieme, ti basta leggere l'articolo sui tre tipi di discontinuità.

 

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