Funzione continua e continuità

Una funzione continua in un punto è una funzione reale di variabile reale in cui i due limiti sinistro e destro calcolati nel punto coincidono con la valutazione della funzione nel punto. Una funzione continua su un insieme è una funzione continua in ogni punto dell'insieme.

 

Parliamo della nozione di funzione continua, argomento che presentiamo in questa lezione e che costituisce una delle nozioni più importanti dell'Analisi Matematica. Partendo dalla definizione, ne spiegheremo il significato proponendola in diverse forme equivalenti tra loro, e la analizzeremo nel dettaglio in modo da comprenderla a fondo.

 

Fatto ciò proporremo una serie di esempi grafici e passeremo ad elencare i teoremi sulla continuità, per poi concludere con le definizioni di funzione continua da sinistra e da destra. Vi raccomandiamo di non sottovalutare il concetto di continuità di una funzione perché è un vero e proprio caposaldo dell'Analisi e tornerà innumerevolmente nel prosieguo degli studi.

 

Funzione continua in un punto

 

Qualcuno, alla domanda: che cos'è una funzione continua? potrebbe rispondere: È una funzione che puoi disegnare senza staccare la matita dal foglio. Un'affermazione del genere non è del tutto corretta e in ogni caso non è un buon approccio per questo genere di nozioni. L'unico modo sensato di procedere prevede di partire dalle definizioni per poi estrapolarne il significato concreto. ;)

 

1) Definizione di funzione continua in un punto

 

Sia f:Dom(f)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ y=f(x) una funzione reale di variabile reale, e sia x_0\in Dom(f) un punto di accumulazione per il suo dominio. Diciamo che f è una funzione continua nel punto x_0 se

 

\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\ \ \ (\bullet)

 

Nel caso di un punto x_0\in Dom(f) che sia un punto isolato per il dominio diciamo che la funzione f è continua in x_0 a prescindere.

 

A parole, una funzione è continua in un punto di accumulazione del suo dominio se il limite per x tendente ad x_0 di f(x) coincide con la valutazione della funzione nel punto, ossia con f(x_0).

 

Nel caso dei punti isolati del dominio, per i quali evidentemente non è possibile considerare alcun limite, stabiliamo che la funzione è continua senza bisogno di alcuna ulteriore condizione

 

 

2) Definizione equivalente di funzione continua in un punto

 

Tenendo a mente le definizioni di limite sinistro e destro, possiamo esprimere la condizione (\bullet) in una forma del tutto equivalente:

 

\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)

 

A parole, una funzione è continua in un punto di accumulazione se:

 

- i due limiti sinistro e destro esistono finiti ed hanno lo stesso valore;

 

- il comune valore dei due limiti sinistro e destro coincide con la valutazione della funzione nel punto.

 

Vi anticipiamo sin da subito che questa è la definizione più operativa e che sarà quella che useremo più avanti negli esercizi. Come avrete già intuito prima di passare alla pratica dovremo imparare a calcolare esplicitamente i limiti, ma per il momento il problema non si pone: dobbiamo innanzitutto gettare le basi teoriche su cui costruire la teoria dei limiti. ;)

 

 

3) Definizione equivalente di funzione continua in un punto con delta ed epsilon

 

A prescindere che x_0\in Dom(f) sia un punto di accumulazione o un punto isolato, diciamo che f è una funzione continua nel punto x_0 se

 

\\ \forall\varepsilon>0\ \exists\delta=\delta(\varepsilon)>0\mbox{ per cui se }x\in Dom(f)\ \grave{\mbox{e}}\mbox{ tale che }\left|x-x_0\right|<\delta\\ \\ \mbox{allora risulta che }\left|f(x)-f(x_{0})\right|<\varepsilon

 

Vi facciamo notare che, nel caso di un punto isolato, la condizione viene soddisfatta solamente considerando il punto x=x_0. Anticipiamo inoltre che questa definizione è la meno pratica e più teorica, ed è quella su cui dobbiamo basare momentaneamente il nostro studio.

 

Differenza tra le definizioni di funzione continua in un punto e di limite 

 

Prima di gettarci nell'analisi grafico-geometrica della definizione di funzione continua in un punto, rileggiamo per un istante la definizione nella forma 3). Notate nulla di strano?

 

In effetti la definizione 3) di continuità in un punto assomiglia moltissimo alla definizione di limite finito per x tendente a un valore finito, e la cosa non dovrebbe sorprenderci più di tanto: riguardando la definizione 1) notiamo subito che viene coinvolto un limite finito con x tendente a un valore finito.

 

Se da un lato, nella definizione di limite, avevamo scritto |f(x)-c|<\varepsilon perché stavamo definendo la nozione di limite finito con valore c per x\to x_0, qui sopra abbiamo scritto |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon perché vogliamo che il valore del limite per x\to x_0 sia proprio f(x_0).

 

Ebbene, le due definizioni sono simili nella forma ma presentano una differenza che rischia di passare inosservata e che ha enormi conseguenze. Nella definizione di limite avevamo scritto

 

0<|x-x_0|<\delta

 

mentre qui abbiamo scritto

 

|x-x_0|<\delta

 

In pratica nella definizione di limite abbiamo escluso x=x_0 e abbiamo lavorato con un intorno bucato di x_0, mentre nella definizione di funzione continua in un punto includiamo anche il punto x_0 e lavoriamo con un intorno completo di x_0.

 

La differenza tra la definizione di funzione continua e di limite è tutta qui. Nel definire un limite l'unica cosa che conta è descrivere il comportamento della funzione a sinistra e a destra del punto x_0; la funzione in x_0 può comportarsi in qualunque modo e può anche non essere ivi definita, perché ciò che conta è solamente l'andamento della funzione man mano che i valori di x si avvicinano a x_0.

 

Nella continuità, invece, il comportamento della funzione nell'intorno del punto non basta. Man mano che i valori di x si avvicinano a x_0, le valutazioni della funzione devono avvicinarsi proprio al valore f(x_0) e devono finire col raccordarsi ad esso in x_0.

 

Come potete notare questa piccola differenza simbolica pone una netta distinzione tra la continuità in un punto e la definizione di limite calcolato nel punto e attribuisce un enorme significato al concetto di funzione continua in un punto.

 

 

Limite finito per x tendente a un valore finito

Funzione continua in un punto

\lim_{x\to x_0}f(x)=c \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)

significa che

significa che

\\ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=c\\ \\ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=c

 

f in x_0 è irrilevante (può non essere ivi definita)

\\ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0)\\ \\ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)

 

I due limiti sinistro e destro devono valere f(x_0)

 

Significato di funzione continua in un punto

 

L'analisi che abbiamo appena scritto lascia trapelare piuttosto esplicitamente che cosa vuol dire che una funzione sia continua in un punto. A scanso di equivoci lo scriviamo ancor più esplicitamente: f è una funzione continua nel punto x_0 se al tendere di x\to x_0 la funzione f ha limite f(x_0). In questo senso la parola continuità assume un significato ben preciso: man mano che la x si avvicina al punto x_0 le valutazioni f(x) si avvicinano alla valutazione f(x_0), fino a raccordarsi con essa.

 

Come potete facilmente intuire la continuità in un punto è una proprietà che ci permetterà di formalizzare e dimostrare tonnellate di teoremi nel prosieguo dell'Analisi Matematica perché, in termini maccheronici, individua un comportamento ben preciso che impedisce alle funzioni ci comportarsi in modo strano. ;)

 

Funzione continua su un intervallo o su un insieme

 

Dopo aver chiarito cosa significa che una funzione è continua in un punto possiamo passare a fare le cose in grande, ed estendere la nozione di continuità da un punto ad un intervallo, e da lì ad un qualsiasi sottoinsieme di \mathbb{R}.

 

Definizione di funzione continua su un intervallo

 

Diciamo che f:Dom(f)\subseteq\mathbb{R}\to \mathbb{R} è una funzione continua su un intervallo I\subset Dom(f) se è continua in ogni punto dell'intervallo I, ossia se è continua in ogni x_0\in I.

 

Definizione di funzione continua

 

Diciamo che f:Dom(f)\subseteq\mathbb{R}\to \mathbb{R} è una funzione continua se è continua in ogni punto del suo dominio, ossia se è continua in ogni x_0\in Dom(f).

 

Per chi si stesse domandando come fare a capire se una funzione è continua su un insieme o sul proprio dominio senza dover usare la definizione punto per punto, tra un istante introdurremo una serie di teoremi perfetti per lo scopo. Prima però vogliamo proporvi qualche esempio.

 

Esempi di funzione continue

 

Vediamo qualche esempio in cui mettiamo in evidenza il significato della continuità in un punto. Naturalmente non è previsto che sappiate disegnare i grafici né vi è richiesto di dimostrare le relative affermazioni. Per il momento limitatevi a prenderle per buone e ad osservare i grafici. ;)

 

 

A) La retta f(x)=3x+2 è continua in un qualsiasi punto del suo dominio Dom(f)=\mathbb{R}.

 

Ad esempio è continua in x_0=5.

 

Funzione continua in un punto

 

 

B) La funzione g(x)=x\sin(x) è continua in un qualsiasi punto del suo dominio (Dom(g)=\mathbb{R}).

 

Ad esempio è continua nei punti x_1=-4\mbox{ e }x_2=\frac{1}{2}.

 

Continuità di una funzione in due punti

 

 

C) La funzione segno h(x)=\mbox{sgn}(x), definita come

 

h(x)=\mbox{sgn}(x)=\begin{cases}+1\mbox{ se }x>0\\ 0\mbox{ se }x=0\\ -1\mbox{ se }x<0\end{cases}

 

è continua in qualsiasi punto del proprio dominio tranne che nel punto x_0=0.


Funzione che non è continua in un punto

 

 

D) La funzione p(x) definita nel modo seguente

 

p(x)=\begin{cases}x-2\mbox{ se }x\leq 2\\ \cos(x-2)\mbox{ se }x>2\end{cases}

 

non è continua in x_0=2, ma è continua in tutti gli altri punti del suo dominio.

 

Un altro esempio di funzione che non è continua

 

Teoremi sulle funzioni continue

 

Come vi abbiamo anticipato, quando avremo mostrato tutte le tecniche di calcolo dei limiti potremo passare al metodo pratico per stabilire se una funzione è continua in un punto.

 

Per ora, al livello puramente teorico in cui ci troviamo, possiamo comunque enunciare alcuni teoremi che risulteranno molto utili per studiare la continuità delle funzioni sia puntualmente che globalmente (su intervalli, insiemi, sui relativi domini...). Vi consigliamo di non sottovalutarli perché verranno usati spessissimo, sia nella pratica che nella teoria, in modo più o meno implicito. ;)

 

I teoremi sulla continuità mettono in relazione la nozione di funzione continua con le principali operazioni tra funzioni. Ci limitiamo a riportarne gli enunciati per non appesantire troppo la spiegazione, in ogni caso sappiate che ciascuno di essi può essere dimostrato senza troppi sforzi applicando la pura e semplice definizione di funzione continua.

 

 

1) La somma (differenza) di due funzioni continue è una funzione continua.

 

Date f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, sia x_0\in Dom(f)\cap Dom(g) un punto in cui entrambe le funzioni sono continue. Allora la funzione somma f+g (differenza f-g ) è continua in x_0.

 

 

2) Il prodotto di due funzioni continue è una funzione continua.

 

Date f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, sia x_0\in Dom(f)\cap Dom(g) un punto in cui entrambe le funzioni sono continue. Allora la funzione prodotto f\cdot g è continua in x_0.

 

 

3) Il quoziente di due funzioni continue è una funzione continua.

 

Date f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, sia x_0\in Dom(f)\cap Dom(g) un punto in cui entrambe le funzioni sono continue e tale che risulti g(x_0)\neq 0. Allora la funzione rapporto \frac{f}{g} è continua in x_0.

 

 

4) La composizione di funzioni continue è una funzione continua.

 

Date f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, sia x_0\in Dom(f) un punto in cui f è continua e supponiamo che g sia continua in y_0=f(x_0). Allora la funzione composta g\circ f è continua in x_0.

 

Funzione continua da sinistra, funzione continua da destra

 

Per concludere la lezione sulla continuità ci resta solo un ultimo, piccolo passo: dobbiamo introdurre altre due definizioni più deboli rispetto a quella di funzione continua in un punto.

 

Le nozioni di funzione continua da sinistra in un punto e di funzione continua da destra in un punto non ci permettono solamente di inquadrare la continuità in un'ottica diversa, ma ci consentono anche di classificare il comportamento delle funzioni in particolari punti che non sapremmo studiare diversamente. Un esempio? Che dire del comportamento di una funzione nei punti di frontiera di un dominio chiuso e limitato, come ad esempio [0,1]?

 

 

Definizione di funzione continua da sinistra in un punto

 

Diciamo che una funzione f:Dom(f)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R} è continua da sinistra in un punto di accumulazione x_0\in Dom(f) se il limite per x\to x_0^- (da sinistra) della funzione coincide con la valutazione della funzione nel punto

 

\lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0)

 

Tale condizione può essere espressa equivalentemente nel modo seguente: f è continua da sinistra in un punto di accumulazione x_0\in Dom(f) se 

 

\\ \forall\varepsilon>0\ \exists\delta=\delta(\varepsilon)>0\mbox{ per cui se }x\in Dom(f)\ \grave{\mbox{e}}\mbox{ tale che }0\leq x_0-x<\delta\\ \\ \mbox{ allora risulta che }\left|f(x)-f(x_{0})\right|<\varepsilon

 

Notate che nella definizione simbolica il valore assoluto della differenza delle ascisse scompare, in modo da sottolineare che i valori di x devono essere minori di x_0 ed in modo che la differenza di ascisse sia comunque non negativa.

 

 

Definizione di funzione continua da destra in un punto

 

Diciamo che una funzione f:Dom(f)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R} è continua da destra in un punto di accumulazione x_0\in Dom(f) se il limite per x\to x_0^+ (da destra) della funzione coincide con la valutazione della funzione nel punto

 

\lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)

 

Tale condizione può essere espressa equivalentemente nel modo seguente: f è continua da destra in un punto di accumulazione x_0\in Dom(f) se 

 

\\ \forall\varepsilon>0\ \exists\delta=\delta(\varepsilon)>0\mbox{ per cui se }x\in Dom(x)\ \grave{\mbox{e}}\mbox{ tale che }0\leq x-x_0<\delta\\ \\ \mbox{ allora risulta che }\left|f(x)-f(x_{0})\right|<\varepsilon

 

Mutatis mutandis, le due definizioni sono perfettamente speculari. ;)

 

 

4) Definizione di funzione continua in un punto

 

Le nozioni di funzione continua da sinistra e da destra consentono di scrivere la definizione di funzione continua in un punto in una quarta forma equivalente, affermando che una funzione è continua in un punto se e solo se è continua sia da sinistra che da destra.

 

Banale, non trovate? Basta rileggere la definizione 2) per convincersene:

 

\lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)

 

infatti se la funzione è continua sia da sinistra che da destra, i due limiti sinistro e destro devono avere necessariamente lo stesso valore.

 

 


 

Abbiamo finito (ed era anche l'ora, penserete voi... ;) ). Nella lezione successiva studieremo la classificazione dei punti di discontinuità di una funzione e vi assicuriamo che ne vedremo delle belle: parleremo di quali sono le condizioni che impediscono ad una funzione di essere continua in un punto e cercheremo inoltre di inquadrare il discorso con opportuni esempi, mostrando quali sono le operazioni e le funzioni che vanno poco d'accordo con la nozione di continuità.

 

Ribadiamo il nostro avvertimento: non affrontate le schede correlate di esercizi svolti a meno che non siate in fase di ripasso globale, o comunque fatelo solo se avete già un minimo di dimestichezza nel calcolare i limiti. Se state studiando da zero vi suggeriamo semplicemente di proseguire con la lettura delle nostre lezioni; al momento opportuno spiegheremo nel dettaglio il metodo per studiare la continuità di una funzione. ;)

 

 

Güle güle, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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