Funzione continua e continuità

Parliamo della nozione di funzione continua, argomento che presentiamo in questa lezione e che costituisce una delle nozioni più importanti dell'Analisi Matematica. La continuità delle funzioni reali di variabile reale si ritrova infatti, con le dovute modifiche, in ogni ambito della Matematica.

 

Nel seguito capiremo qual'è il senso del concetto di continuità, e vedremo quali sono le implicazioni nelle successive proprietà delle funzioni.

 

Che cos'è una funzione continua

 

Qualcuno, alla domanda: che cos'è una funzione continua? potrebbe rispondere - è una funzione che puoi disegnare senza staccare la matita dal foglio. Ciò è corretto, ma è non è un buon approccio per questo genere di nozioni. L'importante è sempre cogliere l'idea che sta dietro alle nuove definizioni, perchè, una volta fatto questo, saremo in grado di adattarne le logiche agli altri campi della Matematica, e non solo.

 

Cosa intendo? Chiedete a chi vi dà la risposta della matita cosa sia una funzione continua da \mathbb{R}^{M} ad \mathbb{R}^{N}...e sappiate che oltre le tre dimensioni non è possibilie alcuna rappresentazione grafica.

 

Definizioni equivalenti di funzione continua

 

Diamo un'occhiata alla definizione che segue

 

Definizione (funzione continua in un punto)

 

sia f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\mbox{, }y=f(x) una funzione reale di variabile reale. Prendiamo un punto x_{0}\in\mbox{ }Dom(f). Diciamo che f è continua in x0 se

 

\lim_{x\to x_{0}}{f(x)}=f(x_{0}).

 

Equivalentemente, diciamo che f è continua in x0 se:

 

\forall\varepsilon>0\mbox{ }\exists\delta=\delta(\varepsilon)\mbox{ tale che se }\left|x-x_{0}\right|<\delta

 

\mbox{ allora risulta che }\left|f(x)-f(x_{0})\right|<\varepsilon.

 

Equivalentemente, diciamo che f è continua in x0 se valgono le due condizioni seguenti:

 

  1. esistono, e sono finiti, i due limiti sinistro e destro \lim_{x\to x_{0}^{-}}{f(x)} e \lim_{x\to x_{0}^{+}}{f(x)}
  2. i due limiti sinistro e destro coincidono tra loro, e in particolare coincidono con la valutazione della funzione f nel punto x0: \lim_{x\to x_{0}^{-}}{f(x)}=f(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}^{+}}{f(x)}

 

Commentiamo la precedente definizione. Noi diciamo che f è una funzione continua nel punto x0 se al tendere di x ad x0 la funzione f ha limite f(x0). In questo senso la parola "continuità" assume significato: man mano che la x si avvicina al punto x0 le valutazioni f(x) si avvicinano alla valutazione f(x0).

 

La funzione è continua in x0 nel senso che, avvicinandoci ad esso, non succedono "cose strane", e i valori che la funzione assume si avvicinano anch'essi al valore assunto da essa nel punto x0 considerato.

 

Questo è il significato del concetto di continuità di una funzione in un punto. Le altre due sono solamente delle scritture equivalenti della definizione iniziale. Perchè dovrei studiarmele e digerirmele? Per due motivi:

 

1) ti permettono di rafforzare la conoscenza della definizione;

 

2) la terza forma della definizione è quella che ti permetterà di risolvere gli esercizi (sì, siamo dei gretti materialisti...).

 

La seconda forma della definizione coincide con la definizione di limite finito per x tendente ad un valore finito per le funzioni reali di variabile reale. È la stessa identica cosa rispetto alla prima definizione (che è proprio un limite finito per x tendente ad un valore finito).

 

Repetita iuvant: essa ci dice che la funzione f è continua nel punto x0 se comunque scegliamo una distanza di controllo sulle ordinate \varepsilon esiste una corrispondente distanza di controllo sulle ascisse \delta, dipendente da \varepsilon, tale che se prendiamo un'ascissa x distante da x0 meno di \delta avremo una corrispondente immagine f(x) distante da f(x0) meno di \varepsilon. Niente di nuovo, insomma.

 

Sulla definizione di continuità da usare nella risoluzione degli esercizi

 

La terza forma della definizione è infine molto utile dal punto di vista pratico ma è anche un po' barbagianni, perchè sembra chissà cosa ma è semplicemente una scomposizione chirurgica della definizione di limite finito per x tendente ad un valore finito. Le condizioni che essa richiede sono sostanzialmente gli ingredienti che servono per poter affermare che \lim_{x\to x_{0}}{f(x)}=f(x_{0}), nella fattispecie:

 

  • i due limiti sinistro e destro devono esistere finiti : cioè la funzione deve essere definita sia a sinistra e a destra del punto, e i limiti sinistro e destro devono valere ciascuno un valore finito (no \pm\infty);
  • i due limiti sinistro e destro devono coincidere tra di loro, ed il loro valore comune deve coincidere con la valutazione della funzione nel punto, cioè f(x0).

Acquisita la nozione di continuità in un punto, si passa ad una definizione più generale - e dunque più semplice! Risatona

 

Definizione (funzione continua, o continua sul suo dominio)

 

Diciamo che una funzione f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\mbox{, }y=f(x) è continua, o anche che è continua globalmente, o ancora che è continua sul suo dominio se è continua in ogni punto del suo dominio, quindi \forall x_{0}\in\mbox{ }Dom(f).

 

Esempi di funzione continue


1) La retta y=3x+2 è continua in...prendiamo un punto...va bene x0=5? Sì, è continua in 5!

 

Funzione continua in un punto


2) La funzione y=x\cdot sin(x) è continua nel punto x0=0.5 e anche nel punto x0=-4.

 

Continuità della funzione seno


3) La funzione y=\frac{x+2}{x-1} è continua nel punto x0=0.8 ma non è continua nel punto x0=1.


Funzione che non è continua in un punto


4) La funzione definita da y=x-2 \mbox{ se }x\leq2\mbox{ e }y=cos(x-2)\mbox{ se }x>2 è continua in x0=-1 ma non è continua in x0=2.

 

Un altro esempio di funzione che non è continua

 

Più in generale, delle precedenti quattro funzioni la 1) e la 2) sono continue globalmente, la 3) è continua su tutto il suo dominio tranne che nel punto x0=-1 e infine la 4) è continua su tutto il suo dominio tranne che nel punto x0=2.

 

Come si fà a dire se e dove una funzione è continua? Non è difficile: prova a dare uno sguardo a:

 

- le schede degli esercizi correlati - troverai un How To completo che ti sarà molto utile nello svolgimento degli esercizi!

- la lezione successiva. Wink



 

Nell'articolo sui punti di discontinuità parleremo di quali sono le condizioni che impediscono ad una funzione di essere continua in un punto. Cercheremo inoltre di inquadrare il discorso con esempi, e avremo particolare cura nel mostrare quali sono le operazioni e le funzioni che vanno poco d'accordo con la nozione di continuità.

 

Se qualcosa non fosse chiaro non esitare e cerca le risposte ai tuoi dubbi con la barra di ricerca. Abbiamo risolto e spiegato migliaia di esercizi...ma se ancora non bastasse, potrai sempre aprire una discussione nel Forum.

 

Güle güle, see you soon guys!

Agente Ω

 

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Tags: concetto di continuità e funzioni continue in un punto e su un intervallo, o su un insieme - definizione di continuità e limiti - epsilon e delta.

 

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