Limite infinito per x tendente ad un valore infinito

Passiamo all'ultimo tipo di limite che possiamo incontrare nell'analisi delle funzioni reali di variabile reale. Se avete letto i precedenti articoli sui limiti, e in particolare quell sul concetto di limite, avrete di certo intuito che la distinzione viene fatta sul valore cui tende la x, finito o infinito, e sul valore del limite, che può essere finito o infinito. L'ultimo caso che ci resta da trattare è

 

\lim_{x\to \infty}{f(x)}=\infty

 

in cui la x tende ad un valore infinito ed il limite assume un valore infinito. Dovremo naturalmente specificare i segni di tali infiniti, e a seconda che siano positivi o negativi avremo diverse definizioni. Tuttavia l'importante sarà intuire la logica che sta dietro al suddetto limite, le specifiche definizioni (sono quattro) potranno poi essere dedotte facilmente.

 

 

Esempio 1

 

Prendiamo la funzione f(x)=x^{2} (una banalissima parabola). Alla fine di questo articolo saremo in grado di dire che

 

\lim_{x\to +\infty}{x^{2}}=+\infty\mbox{  e  }\lim_{x\to -\infty}{x^{2}}=+\infty.

 

Esempio 2

 

Se consideriamo la funzione f(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{\ln{(x^{2}+x)}} allora risulta che

 

\lim_{x\to \infty}{\frac{\sqrt{x+2}}{\ln{(x^{2}+x)}}=+\infty.

 

(Qual'è il dominio di questa funzione?...) Sebbene sembri molto complicato, saremo in grado di calcolare questo limite più avanti, non tanto ricorrendo alla definizione di limite infinito per x tendente ad un valore infinito, bensì utilizzando semplici e rapide tecniche di calcolo che introdurremo nel seguito.

 

Finiamola con le chiacchere da bar. Linguaccia Vediamo la definizione e poi la commentiamo?

 

Definizione (limite +\infty per x tendente a +\infty)

 

Sia f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\mbox{ }y=f(x) una funzione. Diciamo che f tende a +\infty quando x tende a +\infty, e scriviamo

 

\lim_{x\to +\infty}{f(x)}=+\infty

 

se per ogni valore di controllo N>0 sulle ordinate esiste un corrispondente valore di controllo M=M(N)>0 (dipendente cioè da N) tale che se prendiamo x>M risulta che f(x)>N.

 

In simboli:

 

\forall\mbox{ }N>0\mbox{ }\exists\mbox{ }M(N)>0\mbox{ tale che se }x>M\mbox{ allora risulta }f(x)>N.

 

La definizione è molto più semplice di quanto sembri, basta concentrarsi sul concetto e non sui simboli! Essa ci dice che f ha limite più infinito per x tendente a più infinito se comunque scegliamo un valore di controllo N per le ordinate (immagini di f) esiste un corrispondente valore di controllo M per le ascisse, con la proprietà che prendendo ascisse x più grandi di M avremo immagini f(x) più grandi di N.

 

Con una figura

 

 

Significato grafico della definizione di limite infinito per x tendente a un valore infinito

 

 

Come al solito, è importante fare attenzione ad ogni parola della definizione onde evitare figuracce all'interrogazione/esame: la proprietà richiesta nella definizione inizia con un bel per ogni che NON vuol dire ne basta uno, quindi idealmente la verifica della proprietà andrebbe fatta per ogni possibile valore di controllo N sulle ordinate.

 

L'esempio della precedente figura soddisfa chiaramente la proprietà, e abbiamo indicato una sola coppia N, M per dare un'idea, ma è chiaro che anche per altri valori di N c'è un corrispondente M tale per cui valga la definizione.

 

Le altre possibili combinazioni di segno sono evidentemente:

 

  • limite +\infty per x tendente a -\infty (secondo quadrante);
  • limite -\infty per x tendente a +\infty (quarto quadrante);
  • limite -\infty per x tendente a -\infty (terzo quadrante);

 

e dovrebbe essere chiaro come si modifica la definizione del limite +\infty per x tendente a +\infty per adattarla agli altri casi. Non stiamo qui ad esporle una ad una, ma a titolo di esempio...

 

 

Definizione (limite +\infty per x tendente a -\infty)

 

Diciamo che f tende a +\infty quando x tende a -\infty, e scriviamo

 

\lim_{x\to -\infty}{f(x)}=+\infty

 

se per ogni valore di controllo N>0 sulle ordinate esiste un corrispondente valore di controllo M=M(N)>0 (dipendente cioè da N) tale che se prendiamo x<-M risulta che f(x)>N.

 

In simboli:

 

\forall\mbox{ }N>0\mbox{ }\exists\mbox{ }M(N)>0\mbox{ tale che se }x<-M\mbox{ risulta che }f(x)>N.

 

Significato grafico della definizione di limite infinito per x tendente meno infinito

 

Abbiamo finito. Un buon esercizio potrebbe consistere nello scrivere le rimanenti definizioni e nel pensare a funzioni - basta disegnarne i grafici a capocchia senza conoscere le espressioni analitiche. Giusto per curiosità, eccovi i grafici delle funzioni degli esempi 1) e 2)

 

Grafico dell'esempio 1

Grafico dell'esempio 2

 

Con questo abbiamo concluso la parte introduttiva riguardante i limiti e siamo pronti ad imparare come si calcolano. Nella pratica infatti i limiti non vengono calcolati con le definizioni, si potrebbe fare ma sarebbe un suicidio!

 

Nella scheda di esercizi correlati potrai cimentarti con gli esercizi sulla verifica mediante la definizione. Se qualcosa non fosse chiaro, puoi cercare le risposte ai tuoi dubbi con la barra di ricerca interna, o eventualmente puoi chiedere un mano nel Forum.

 

বিদায়, see you soon guys!

Agente Ω

 

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Tags: definizione di limite infinito per x tendente a un valore infinito, il quarto dei quattro tipi di limite. Lezione molto utile nel contesto di verifica dei limiti con la definizione e per impararne il significato geometrico - per ogni N esiste un M.

 

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