Infiniti e infinitesimi

Addentriamoci sempre di più nel contesto delle regole pratiche che permettono di calcolare i limiti e vediamo come comportarci con infiniti e infinitesimi, presentando le regole dell'Algebra degli infiniti e degli infinitesimi.

 

Nell'articolo sull'Algebra dei limiti abbiamo iniziato a porci l'angosciante (!) questione del calcolo dei limiti nella pratica. Alla fine dell'articolo abbiamo detto che in alcuni casi per calcolare i limiti, ad esempio

 

\lim_{x\to qualcosa}{f(x)}

 

possiamo direttamente sostituire al posto della x nell'espressione di f(x). In altri casi, no.

 

 

Il nostro obbiettivo dichiarato, per quanto riguarda i limiti, è: saperli calcolare. Per farlo il nostro metodo consiste nel creare una piccola enciclopedia dei limiti, divisi per tipologie, e per ogni tipologia presentare il metodo di calcolo. Fatto questo, quando incontreremo un limite qualsiasi, potremo:

 

- riconoscere il tipo di limite e, di conseguenza;

- sapere automaticamente come risolverlo.

 

Se x\rightarrow x_{0} e x_{0} è un numero finito, quindi non è \pm\infty, e provando a sostituire x_{0} nell'espressione di f(x) otteniamo un numero, siamo a posto. Abbiamo il valore del limite.

 

Se invece abbiamo \pm\infty al posto di x_{0}, oppure se abbiamo x_{0} finito ma sostituendolo al posto della x nell'espressione di f(x) abbiamo dei calcoli "strani", come dividere per zero o per infinito, dobbiamo comportarci come descritto nelle righe che seguono.

 

Prima di tutto, dicendo "calcoli strani" si intende che dobbiamo sostituire \pm\infty al posto della x, oppure una qualsiasi operazione che non sappiamo risolvere con i calcoli standard. Ecco la prima buona notizia: anche se hai x\to\pm\infty e devi calcolare ad esempio il

 

\lim_{x\to +\infty}{f(x)}

 

possiamo usare un analogo del metodo di sostituzione diretta al posto della x.

 

Regole dell'Algebra di infiniti e infinitesimi

 

Il metodo da usare per sapere come si effettuano i calcoli con un infinito e non un numero va sotto il nome di Algebra degli infiniti e degli infinitesimi, e consiste sostanzialmente in un elenco di regole algebriche, molto intuitive e molto facili da imparare:

 

(nota bene: c indica un numero reale, n un intero)

 

(c>0)\cdot(+\infty)=(+\infty) (c>0)\cdot(-\infty)=(-\infty)

(c<0)\cdot(+\infty)=(-\infty)

(c<0)\cdot(-\infty)=(+\infty)

(+\infty)\cdot(+\infty)=(+\infty) (+\infty)\cdot(-\infty)=(-\infty)

(-\infty)\cdot(+\infty)=(-\infty)

(-\infty)\cdot(-\infty)=(+\infty)

\frac{c>0}{+\infty}=0^{+} \frac{c>0}{-\infty}=0^{-}

\frac{c<0}{+\infty}=0^{-}

\frac{c<0}{-\infty}=0^{+}

\frac{+\infty}{c>0}=+\infty \frac{-\infty}{c>0}=-\infty

\frac{+\infty}{c<0}=-\infty

\frac{-\infty}{c<0}=+\infty

\frac{0^{+}}{+\infty}=0^{+} \frac{0^{-}}{+\infty}=0^{-}

\frac{0^{+}}{-\infty}=0^{-}

\frac{0^{-}}{-\infty}=0^{+}

\frac{+\infty}{0^{+}}=+\infty \frac{-\infty}{0^{+}}=-\infty

\frac{+\infty}{0^{-}}=-\infty

\frac{-\infty}{0^{-}}=+\infty

(+\infty)^{(+\infty)}=+\infty (+\infty)^{(-\infty)}=0^{+}

(+\infty)^{n}=+\infty

\forall n>0

(+\infty)^{n}=0

\forall n<0

\sqrt[n]{(+\infty)}=+\infty

\forall n>0\mbox{ intero}

\sqrt[n]{(-\infty)}=-\infty

\forall n\mbox{ intero dispari}

 

 

Non andare in sbattimento! L'Algebra di infiniti e infinitesimi è intuitiva perchè sotto sotto valgono le solite regole di calcolo cui siamo abituati sin da piccini, in particolare bisogna prestare molta ma molta attenzione a:

 

- segni, che si comportano come al solito (+ per - fa - /// elevare a - vuol dire prendere il reciproco /// etc...)

 

- quantità. Invece di pensare a infinito, pensa a "tanto"; invece di pensare a zero, pensa a "pochissimo". Vedrai che ci sei quasi. Quanto fa 50 diviso "tanto"? Se divido 50 torte tra tutti gli italiani, quanto saranno grandi le fette che ognuno di loro avrà? Saranno molto piccole, ma molto molto molto piccole. Praticamente zero, anzi zero! E quanto fa poco diviso tanto? Molto poco...

 

 


 

 

Questo modo di ragionare a spanne non è rigoroso ma è semplicemente la traduzione concettuale di ciò che ci dice l'Algebra dei limiti. E funziona, che poi è la cosa che più ti importa. O no? Prima di concludere, osserviamo che in tabella sono escluse alcune operazioni che potrebbero capitarci. Ad esempio: quanto vale  0\cdot(+\infty)?...

 

Tutte le operazioni che sono state escluse sono quelle che non hanno una risposta immediata, o meglio, che una risposta non ce l'hanno proprio. Esse prendono il nome, non a caso, di forme di indecisione, e costituiscono probabilmente il cuore centrale della teoria dei limiti. Grazie ai limiti, infatti, saremo in grado di risolverle e di mostrare come ognuna di esse richieda una particolare strategia di calcolo.

 


 

 

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