Infiniti e infinitesimi

L'algebra di infiniti e infinitesimi è una pseudo-algebra che estende le comuni operazioni algebriche dall'insieme dei numeri reali al contesto dei limiti, e che permette di trattare ±infinito come se fosse un valore reale.

 

Addentriamoci sempre di più nel contesto delle regole pratiche che permettono di calcolare i limiti e vediamo come comportarci con infiniti e infinitesimi, presentando le cosiddette regole dell'Algebra degli infiniti e degli infinitesimi.

 

Per ampliare le tecniche di calcolo dei limiti esporremo innanzitutto le difficoltà che inducono ad estendere l'insieme di regole di cui già disponiamo. Fatto ciò, ci concentreremo sulle operazioni della pseudo-algebra di infiniti e infinitesimi e proporremo diversi esempi di applicazione.

 

Premesse per l'algebra di infiniti e infinitesimi

 

Il nostro obiettivo dichiarato è semplice: vogliamo imparare a calcolare i limiti. Rispetto al bagaglio di pure nozioni teoriche e di definizioni che abbiamo studiato nelle prime lezioni, le regole di calcolo dei limiti introdotte nella lezione precedente ci hanno permesso di compiere un grande passo in avanti.

 

Ormai sappiamo come calcolare i limiti di una funzione continua quando x tende a un valore x_0 finito che appartiene al dominio della funzione.

 

Come sappiamo la continuità estende il concetto di limite finito per x tendente a un valore finito e, fintanto che abbiamo a che fare con limiti di funzioni continue e punti x_0 nel dominio, sappiamo come comportarci.

 

L'algebra dei limiti non ci dice però nulla riguardo ai tre restanti possibili casi, che possiamo riassumere in due modi con dei rispettivi esempi:

 

1) come possiamo calcolare il limite di una funzione per x tendente a un valore finito che non appartiene al dominio della funzione?

 

\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}

 

2) Che dire dei limiti per x tendente all'infinito?

 

\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^2}

 

In tali eventualità il metodo della sostituzione diretta non può funzionare. Per 1) il punto x_0 per ipotesi non appartiene al dominio della funzione, dunque non è possibile valutare la funzione in x_0. Per 2) è sufficiente osservare che \pm\infty non sono valori reali e dunque non si prestano né per le normali operazioni algebriche, né per valutarvi le funzioni.

 

Regole dell'Algebra di infiniti e infinitesimi

 

Ora viene il bello. Le regole dell'algebra di infiniti e infinitesimi (o meglio, la pseudo-algebra di infiniti e infinitesimi) è un insieme di regole algebriche che estendono l'algebra dei limiti e che permette di trattare \pm\infty come se fossero numeri reali.

 

Tali regole vengono dimostrate una volta per tutte mediante le definizioni a noi note sui limiti, ed hanno il grosso pregio di introdurre notazioni che:

 

- seguono una logica quantitativa del tutto analoga a quella delle comuni operazioni tra numeri reali;

 

- consentono di procedere come se stessimo operando una sostituzione diretta, pur non trattandosi di una sostituzione diretta.

 

Prerequisito per le regole di infiniti e infinitesimi

 

La magia dell'algebra di infiniti e infinitesimi è che richiede poco e ci dà moltissimo. L'unico prerequisito consiste nel ricordare i grafici delle funzioni elementari in modo da dedurre da essi i risultati dei limiti delle funzioni elementari per x tendente a +infinito, a -infinito e ai valori x_0 che sono di accumulazione e di frontiera per il dominio.

 

Cosa intendiamo con ciò? A titolo di esempio consideriamo la funzione logaritmica

 

f(x)=\log(x)

 

Essa è una funzione continua per ogni x_0\in Dom(f)=(0,+\infty), dunque dalle precedenti lezioni sappiamo che

 

\lim_{x\to x_0}\log(x)=\log(x_0)

 

Che dire del limite destro per x\to 0^+ e del limite per x\to +\infty? Se ci ricordiamo com'è fatto il grafico basterà un secondo per rispondere

 

\\ \lim_{x\to 0^+}\log(x)=-\infty\\ \\ \lim_{x\to+\infty}\log(x)=+\infty

 

Come ulteriore esempio possiamo considerare l'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti individuata come grafico della funzione

 

f(x)=\frac{1}{x}

 

Tale funzione è continua per ogni x_0\in Dom(f)=(-\infty,0)\cup(0,+\infty), e dalle precedenti lezioni sappiamo che

 

\lim_{x\to x_0}\frac{1}{x}=\frac{1}{x_0}

 

Guardandone il grafico possiamo concludere subito che

 

\\ \lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x}=0^-\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}=0^+\\ \\ \\ \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty

 

In questo frangente è fondamentale dedurre dai grafici delle funzioni elementari non solo i valori dei limiti nelle zone "critiche", ma anche se i risultati dei limiti finiti per x tendente all'infinito vengono realizzati per eccesso o per difetto.

 

Regole dell'algebra di infiniti e infinitesimi

 

Il metodo da usare per sapere come si effettuano i calcoli con un infinito e non un numero va sotto il nome di algebra degli infiniti e degli infinitesimi, e consiste sostanzialmente in un elenco di regole algebriche, molto intuitive e molto facili da imparare, che riportiamo nella seguente tabella.

 

Nota bene: c indica un numero reale di cui di volta in volta specificheremo il segno, mentre n indica un qualsiasi numero naturale non nullo.

 

 

(c>0)\ \ \ c^{+}-c=0^+ (c>0)\ \ \ (-c)^{+}+c=0^+

(c>0)\ \ \ c^{-}-c=0^-

(c>0)\ \ \ (-c)^{-}+c=0^-

(c>0)\cdot 0^+=0^+

(c>0)\cdot 0^-=0^-

(c<0)\cdot 0^+=0^-

(c<0)\cdot 0^-=0^+

0^+\cdot 0^+=0^+

0^+\cdot 0^-=0^-

0^-\cdot 0^+=0^-

0^-\cdot 0^-=0^+

\frac{(c>0)}{0^+}=+\infty

\frac{(c>0)}{0^-}=-\infty

\frac{(c<0)}{0^+}=-\infty

\frac{(c<0)}{0^-}=+\infty

c+\infty=+\infty c-\infty=-\infty
(c>0)\cdot(+\infty)=(+\infty) (c>0)\cdot(-\infty)=(-\infty)

(c<0)\cdot(+\infty)=(-\infty)

(c<0)\cdot(-\infty)=(+\infty)

(+\infty)\cdot(+\infty)=(+\infty) (+\infty)\cdot(-\infty)=(-\infty)

(-\infty)\cdot(+\infty)=(-\infty)

(-\infty)\cdot(-\infty)=(+\infty)

\frac{c>0}{+\infty}=0^{+} \frac{c>0}{-\infty}=0^{-}

\frac{c<0}{+\infty}=0^{-}

\frac{c<0}{-\infty}=0^{+}

\frac{+\infty}{c>0}=+\infty \frac{-\infty}{c>0}=-\infty

\frac{+\infty}{c<0}=-\infty

\frac{-\infty}{c<0}=+\infty

\frac{0^{+}}{+\infty}=0^{+} \frac{0^{-}}{+\infty}=0^{-}

\frac{0^{+}}{-\infty}=0^{-}

\frac{0^{-}}{-\infty}=0^{+}

\frac{+\infty}{0^{+}}=+\infty \frac{-\infty}{0^{+}}=-\infty

\frac{+\infty}{0^{-}}=-\infty

\frac{-\infty}{0^{-}}=+\infty

(+\infty)^{(+\infty)}=+\infty (+\infty)^{(-\infty)}=0^{+}

(+\infty)^{n}=+\infty\ \ \ \forall n>0

(+\infty)^{n}=0\ \ \ \forall n<0

\sqrt[n]{(+\infty)}=+\infty\ \ \ \forall n>0\mbox{ intero}

\sqrt[n]{(-\infty)}=-\infty\ \ \ \forall n\mbox{ intero dispari}

 

 

Vale la pena di spendere qualche parola sulla logica quantitativa dell'algebra degli infiniti e degli infinitesimi. Non sopravvalutate la difficoltà delle regole che abbiamo appena elencato. L'algebra di infiniti e infinitesimi è intuitiva perchè, sotto sotto, valgono le solite regole di calcolo cui siamo abituati da sempre. In particolare bisogna prestare molta attenzione a due aspetti:

 

segni, che si comportano come al solito (+ per - fa -, elevare a un numero negativo vuol dire considerare il reciproco della base, ...)

 

quantità. Invece di pensare a infinito, per i primi tempi potete pensare a "tantissimo"; invece di pensare a zero, potete pensare a "pochissimo". In quest'ottica vedrete che il discorso si semplifica parecchio.

 

Ad esempio, quanto fa 50 diviso "tantissimo"? Se divido 50 torte tra tutti gli italiani, quanto saranno grandi le fette che ognuno di loro avrà? Saranno molto piccole, anzi: "piccolissime". Praticamente infinitesime:

 

\frac{(c>0)}{+\infty}=0^+

 

Quanto fa pochissimo diviso tantissimo? Molto poco...

 

\frac{0^+}{+\infty}=0^+

 

E ancora, quanto fa -5 più un numero grandissimo? Naturalmente un numero grandissimo

 

c+\infty=+\infty

 

Come usare le regole su infiniti e infinitesimi

 

Come abbiamo premesso, gli infiniti e infinitesimi consentono di estendere l'algebra dei limiti e ne recuperano le regole che legano il passaggio al limite e le operazioni tra funzioni. Cerchiamo di capire in che modo con alcuni esempi, ma prima un piccolo avvertimento.

 

Nella risoluzione stilisticamente ideale di un esercizio le regole su infiniti e infinitesimi andrebbero pensate e non scritte, perché si tratta pur sempre di operazioni che non hanno senso nell'insieme dei numeri reali. A meno che non sia espressamente specificato, scrivere -5+\infty non ha alcun senso se non nel contesto del calcolo dei limiti.

 

Per salvare capra e cavoli vi consigliamo di scrivere i ragionamenti che vi permettono di applicare l'algebra degli infiniti e infinitesimi a parte, possibilmente in un foglio di brutta-copia, fino a che non avrete acquisito una buona dimestichezza e sarete in grado di applicarla a mente. In generale ricordatevi sempre che gli infiniti e gli infinitesimi costituiscono una pseudo-algebra che, una volta decontestualizzata, perde di ogni significato.

 

 

A) \lim_{x\to +\infty}(x^5+3)

 

L'algebra dei limiti non ci consente di applicare la regola per il limite di una somma, ma l'algebra di infiniti e infinitesimi sì. Immaginiamo di spezzare il limite della somma nella somma dei due limiti: il primo contributo genera (+\infty)^5=+\infty, il secondo la costante +3.

 

La somma di un infinito positivo e di una costante è +infinito (+\infty+c=+\infty), per cui

 

\lim_{x\to +\infty}(x^5+3)=+\infty

 

 

B) \lim_{x\to -\infty}(x^5+3)

 

Come prima, solo che qui abbiamo (-\infty)^5=-\infty, cosicché la somma di un infinito negativo e di una costante è - infinito (-\infty+c=-\infty)

 

\lim_{x\to -\infty}(x^5+3)=-\infty

 

 

C) \lim_{x\to 0^+}(-5\log(x))

 

L'algebra di infiniti e infinitesimi ci dà licenza per applicare la regola del limite di una funzione per una costante. La funzione logaritmica tende a -\infty per x\to 0^+, quindi ci troviamo con il prodotto tra una costante negativa e un infinito negativo: (c<0)\cdot (-\infty)=+\infty

 

\lim_{x\to 0^+}(-5\log(x))=+\infty

 

 

D) \lim_{x\to -\infty}\frac{e^x}{x^3}

 

Una funzione esponenziale con base maggiore di 1 tende a 0^+ quando x\to -\infty; di contro, (-\infty)^3=-\infty. Abbiamo quindi a che fare con il rapporto tra un infinitesimo positivo e un infinito negativo, sicché il risultato sarà un infinitesimo negativo \left(\frac{0^+}{-\infty}=0^-\right)

 

\lim_{x\to -\infty}\frac{e^x}{x^3}=0^-

 

 

E) \lim_{x\to +\infty}\sin\left(\frac{1}{x}\right)

 

Procediamo per composizione: la funzione \frac{1}{x} tende a 0^+ quando x\to +\infty, e quando l'argomento della funzione seno tende a 0^+ il seno tende a zero

 

\lim_{x\to +\infty}\sin\left(\frac{1}{x}\right)=0

 

 

Per il momento ci fermiamo qui. Nella prossima lezione approfondiremo il discorso relativo al calcolo dei limiti da sinistra e da destra nel contesto di infiniti e infinitesimi.

 

Poco più avanti scopriremo che, purtroppo, l'algebra di infiniti e infinitesimi non consente di calcolare qualsiasi limite. Ci sono delle particolari circostanze in cui ci troviamo di fronte ad operazioni tra infiniti e infinitesimi che non hanno un risultato prestabilito, e che non a caso prendono il nome di forme indeterminate. Ad esempio, chi può dire a priori quanto vale 0\cdot (+\infty)?... ;)

 

 


 

 

Nel frattempo se volete consultare altri esempi, o se volete mettervi alla prova, sappiate che avete a disposizione diverse schede correlate di esercizi svolti e proposti. In caso di necessità potete anche servirvi del tool per calcolare i limiti online, utilissimo per verificare i risultati degli esercizi che avete risolto per conto vostro. ;)

 

 

שלום, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Lezione precedente .........Esercizi correlati......... Lezione successiva

 

[Ci sono altre schede di esercizi correlate che richiedono l'utilizzo combinato dell'Algebra dei limiti e dell'Algebra degli infiniti e degli infinitesimi, suddivisi in due schede: qui trovate la prima e qui la seconda]


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