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Regole per il calcolo dei limiti

Una volta capite le definizioni dei quattro tipi di limite, incominciamo a vedere come ci si comporta nella pratica per calcolare i limiti. Niente paura: il calcolo dei limiti mediante la definizione è un puro esercizio di tecnica, serve principalmente a prendere confidenza con le definizioni. Non è il modo con cui si calcola il limite di una funzione f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, altrimenti saremmo...fritti!

 

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Come sempre in Matematica, la parte più ostica riguarda l'approccio ad un nuovo argomento. L'esperienza rende tutto una passeggiata, e i limiti non fanno eccezione.

 

Come si calcolano i limiti?

 

Il primo passo per il calcolo dei limiti consiste nell'apprendere le regolette che permettono di semplificarne, appunto, il calcolo. Anche i neofiti si accorgeranno subito, pur non sapendone un accidenti, che calcolare

 

\lim_{x\to 2}{(x+3)}

 

non è proprio la stessa cosa rispetto a calcolare

 

\lim_{x\to 2}{\ln{(x-2)}\frac{x^2-x^3+1}{x\sin{x}}}.

 

L'algebra dei limiti consiste in un insieme di semplici regolette. Eccole.

 



Algebra dei limiti e regole per il calcolo dei limiti


R-1) Il limite della somma è uguale alla somma dei limiti, lo stesso vale per la differenza.


Se devi calcolare

 

\lim_{x\to qualcosa}{f(x)\pm g(x)}

 

puoi equivalentemente calcolare

 

\lim_{x\to qualcosa}{f(x)}\pm\lim_{x\to qualcosa}{g(x)}.

 

(Nota: la differenza f(x)-g(x) è infatti la somma di f(x) con l'opposto -g(x), quindi se vale per la somma, vale pure per la differenza)

 



R-2) Il limite del prodotto è uguale al prodotto dei limiti, lo stesso vale per il rapporto.

 

Se devi calcolare

 

\lim_{x\to qualcosa}{f(x)\cdot g(x)}   OPPURE   \lim_{x\to qualcosa}{\frac{f(x)}{g(x)}}

 

puoi equivalentemente calcolare

 

\lim_{x\to qualcosa}{f(x)}\cdot\lim_{x\to qualcosa}{g(x)} OPPURE \frac{\lim_{x\to qualcosa}{f(x)}}{\lim_{x\to qualcosa}{g(x)}}.

 

(Nota: il rapporto \frac{f(x)}{g(x)} è infatti il prodotto di f(x) con il reciproco \frac{1}{g(x)}, quindi se vale per il prodotto, vale pure per il rapporto)

 



R-3) Il limite del prodotto di una funzione con una costante è uguale alla costante per il limite della funzione.


Se devi calcolare

 

\lim_{x\to qualcosa}{cost\cdot f(x)}

 

puoi equivalentemente calcolare

 

cost\cdot\lim_{x\to qualcosa}{f(x)}.

 



R-4) Il limite di un elevamento a potenza o radice è uguale alla potenza o radice del limite.

 

Se devi calcolare

 

\lim_{x\to qualcosa}{\left[f(x)\right]^{g(x)}}

 

puoi equivalentemente calcolare

 

\left[\lim_{x\to qualcosa}{f(x)}\right]^{\lim_{x\to qualcosa}{g(x)}}.

 

 



R-5) (Sostituzione diretta) Più in generale, puoi semplicemente sostituire alla x il valore cui essa tende e valutare la funzione in tale valore.


Attenzione!!! Questo metodo a volte funziona e a volte no. Ciò non significa che se abbiamo fortuna funziona e se abbiamo sfiga non funziona. Questo metodo funziona nel caso in cui le funzioni di cui calcoliamo il limite per x\rightarrow x_{0} sono continue in x_{0}. Se le funzioni non sono continue in x\rightarrow x_{0}, oppure se abbiamo \pm\infty invece di x_{0}, non possiamo affidarci alla sostituzione diretta...perché incapperemmo in un calcolo che non si può fare. Quelle che in gergo prendono il nome di forme di indecisione, e che i limiti ci permettono di risolvere brillantemente, a patto di sapere come si fa.

 

Continua con la lettura dei nostri articoli, e ricordati la regola aurea: non farti domande al momento sbagliato, non avere fretta, i bilanci sui perché e sui "percome" si fanno alla fine. E soprattutto: se sei un nostro accanito lettore (Risatona) nessun problema. Se invece stai leggendo questo articolo per caso, e credi che io sia un idiota...hai perfettamente ragione. Ma ti consiglio di leggere l'articolo successivo!

 

Si intuisce comunque che le precedenti sono regole che permettono di passare da operazioni complicate a operazioni sempre più semplici, quindi sono preziose come l'oro. E perchè valgono? Come si dimostrano? Il modo rigoroso di farlo prevede semplicemente di passare dalle quattro definizioni base che abbiamo già presentato, ma tendenzialmente a nessuno importa... Wink ...Oppure no?

 

Se qualcosa non fosse chiaro, prova a cercare qui su YM mediante l'apposita barra di ricerca, e sappi che se hai bisogno dell'aiuto dello Staff puoi sempre aprire una discussione nel Forum.

 

Namasté, see you soon guys!

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Tags: algebra dei limiti e come effettuare le operazioni tra limiti - metodi per il calcolo dei limiti.

 

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