Regole per il calcolo dei limiti

Le regole di calcolo dei limiti sono un insieme di formule che costituiscono la cosiddetta Algebra dei limiti, e che legano l'operazione di passaggio al limite alle operazioni algebriche tra numeri reali. A partire dall'Algebra dei limiti si delineano tutte le possibili tecniche per il calcolo dei limiti.

 

Una volta capite le definizioni dei quattro tipi di limite, possiamo entrare nel vivo dei metodi per calcolare i limiti. Niente paura: il calcolo dei limiti mediante la definizione è un puro esercizio di tecnica e serve principalmente a prendere confidenza con le definizioni. L'utilizzo delle definizioni non è il modo con cui si calcola il limite di una funzione reale di variabile reale, altrimenti saremmo fritti. ;)

 

Come sempre in Matematica, la parte più ostica riguarda l'approccio ad un nuovo argomento. L'esperienza rende tutto una passeggiata, e i limiti non fanno eccezione.

 

Algebra dei limiti e regole per il calcolo dei limiti

 

Il primo passo per imparare il calcolo dei limiti consiste nell'apprendere le regolette che permettono di semplificarne, appunto, il calcolo. Anche i neofiti intuiranno subito che calcolare

 

\lim_{x\to 2}{(x+3)}

 

deve essere nettamente più semplice rispetto al calcolo del limite

 

\lim_{x\to 2}\frac{(x^2-x^3+1)\ln(x-2)}{x\sin(x)}

 

Non vi pare? :)

 

L'algebra dei limiti consiste in un insieme di semplici regole che mettono in relazione il passaggio al limite con le operazioni tra funzioni. Tali formule permettono di ridurre il calcolo di limiti di funzioni in cui compaiono somme, differenze, moltiplicazioni e rapporti al calcolo di limiti più semplici ed il più delle volte immediati.

 

Nelle regole che seguono, a meno che non sia diversamente specificato, considereremo due funzioni f(x),g(x) e supporremo che x_0 sia un punto di accumulazione per i domini di entrambe le funzioni, ossia per Dom(f) e per Dom(g). Supporremo inoltre che x_0 appartenga al dominio di entrambe le funzioni, e che f,g siano funzioni continue in x_0.

 

 

1) Il limite della somma è uguale alla somma dei limiti, lo stesso vale per la differenza.

 

In sintesi: il limite di una somma algebrica di funzioni è uguale alla somma algebrica dei limiti delle due funzioni.

 

\lim_{x\to x_0}(f(x)\pm g(x))=\lim_{x\to x_0}f(x)\pm\lim_{x\to x_0}g(x)

 

Nota: la differenza f(x)-g(x) è la somma di f(x) con l'opposto -g(x).

 

 

2) Il limite del prodotto di una funzione per una costante è uguale alla costante per il limite della funzione.

 

In gergo si può anche dire che l'operazione di passaggio al limite gode della proprietà di omogeneità. Detta c\in\mathbb{R} una costante moltiplicativa, vale la formula

 

\lim_{x\to x_0}(c\cdot f(x))=c\cdot \lim_{x\to x_0}f(x)

 

Nota: grazie a questa regola possiamo ricavare la formula per il limite della differenza direttamente dalla formula per il limite della somma, infatti basta considerare come costante c=-1

 

\lim_{x\to x_0}(f(x)-g(x))=\lim_{x\to x_0}f(x)+\lim_{x\to x_0}(-g(x))=\lim_{x\to x_0}f(x)-\lim_{x\to x_0}g(x)

 

 

3) Il limite del prodotto è uguale al prodotto dei limiti

 

Possiamo scrivere la regola del limite del prodotto nella forma

 

\lim_{x\to x_0}(f(x)\cdot g(x))=\left(\lim_{x\to x_0}f(x)\right)\cdot \left(\lim_{x\to x_0}g(x)\right)

 

 

4) Il limite del rapporto è uguale al rapporto dei limiti

 

In questo caso dobbiamo considerare un'ipotesi aggiuntiva, e supporre che x_0 sia un punto in cui la funzione g(x) non si annulla: g(x_0)\neq 0. Sotto tale ipotesi possiamo scrivere la formula

 

\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to x_0}f(x)}{\lim_{x\to x_0}g(x)}

 

Nota: il rapporto \frac{f(x)}{g(x)} può essere inteso come il prodotto di f(x) con il reciproco \frac{1}{g(x)}, quindi la regola per il limite del rapporto discende dalla regola per il limite del prodotto. 

 

 

5) Passaggio al limite per funzioni composte

 

Qui dobbiamo modificare le ipotesi di base. Supponiamo che f:Dom(f)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R} sia una funzione continua in un punto di accumulazione x_0\in Dom(f), che sia y_0=f(x_0) e supponiamo che g:Dom(g)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R} sia una funzione continua in y_0\in Dom(g). Sotto tali ipotesi vale la formula

 

\lim_{x\to x_0}g(f(x))=g\left(\lim_{x\to x_0}f(x)\right)

 

In altri termini possiamo passare al limite direttamente nell'argomento della seconda funzione in ordine di composizione.

 

Come calcolare i limiti con l'algebra dei limiti - sostituzione diretta

 

Le regole di calcolo dei limiti dell'omonima algebra hanno una triplice utilità. Nelle ipotesi di riferimento:

 

- ci permettono di calcolare i limiti in cui compaiono operazioni tra funzioni, riducendoli a limiti più semplici;

 

- riprendono i teoremi sulle funzioni continue e consentono di riconoscere immediatamente la continuità di tutte le funzioni che sono ottenute mediante operazioni algebriche tra funzioni continue, o per composizione di funzioni continue;

 

- congiuntamente alle informazioni sulla continuità delle funzioni elementari, ci permettono di calcolare i limiti di qualsiasi funzione continua per semplice sostituzione diretta del valore x_0 cui tende la x nel passaggio al limite.

 

L'insieme di regole dell'algebra dei limiti e la proprietà di continuità delle funzioni

 

\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)

 

individuano la cosiddetta tecnica di calcolo dei limiti per sostituzione diretta.

 

Esempi sul calcolo dei limiti per sostituzione diretta

 

Vediamo una carrellata di esempi in modo da convincervi dell'assoluta praticità dell'algebra dei limiti. ;)

 

 

A) \lim_{x\to \pi}(\sin(x)+\cos(x)) 

 

Poiché entrambi gli addendi sono funzioni continue su tutto \mathbb{R}, lo sono necessariamente in x_0=\pi. Vale quindi la regola per il limite della somma

 

\lim_{x\to \pi}(\sin(x)+\cos(x))=\lim_{x\to \pi}\sin(x)+\lim_{x\to\pi}\cos(x)=

 

La continuità dei singoli addendi ci permette di calcolare i due limiti per sostituzione diretta

 

=\sin(\pi)+\cos(\pi)=0+(-1)=-1

 

 

B) \lim_{x\to 5}(4e^x-x)

 

In questo caso la continuità delle funzioni coinvolte ci permette di applicare l'omogeneità dei limiti e la regola per il limite della differenza

 

\lim_{x\to 5}(4e^x-x)=\lim_{x\to 5}4e^x-\lim_{x\to 5}x=4\lim_{x\to 5}e^x-\lim_{x\to 5}x=

 

a questo punto possiamo procedere per sostituzione diretta

 

=4e^5-5

 

 

C) \lim_{x\to (-1)}(x^4+5x+6)

 

Come è facile immaginare i polinomi si prestano alla perfezione per l'applicazione dell'algebra dei limiti, perché sono definiti mediante somme e prodotti:

 

\\ \lim_{x\to (-1)}(x^4+5x+6)=\lim_{x\to (-1)}(x\cdot x\cdot x\cdot x)+\lim_{x\to (-1)}5x+\lim_{x\to (-1)}6=\\ \\ \\ =\lim_{x\to (-1)}x\cdot\lim_{x\to (-1)}x\cdot\lim_{x\to (-1)}x\cdot\lim_{x\to (-1)}x+5\lim_{x\to (-1)}x+\lim_{x\to (-1)}6=\\ \\ \\ =(-1)\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot (-1)+5\cdot(-1)+6=1-5+6=2

 

 

D) \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{\cos(x)}{\sin(x)}

 

Anche in questo caso l'ipotesi di continuità è soddisfatta, e poiché risulta che \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\neq 0 possiamo applicare la regola per il limite del rapporto

 

\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{\cos(x)}{\sin(x)}=\frac{\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\cos(x)}{\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\sin(x)}=\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}=\frac{0}{1}=0

 

 

E) \lim_{x\to 0}\sqrt[3]{e^{x}}

 

Poiché la funzione esponenziale f(x)=e^x è continua su tutto \mathbb{R}, è certamente continua in x=0. Inoltre poiché g(y)=\sqrt[3]{y} è continua in y_0=e^{x_0}=e^0=1, concludiamo che

 

\lim_{x\to 0}\sqrt[3]{e^{x}}=\sqrt[3]{\lim_{x\to 0}e^x}=\sqrt[3]{e^1}=\sqrt[3]{e}

 

 

F) Dopo aver capito come applicare correttamente le regole di calcolo dei limiti, possiamo procedere in un colpo solo.

 

\lim_{x\to 0}\frac{(x^2+5x+8)\ln(x+2)}{|x+1|\sqrt{x+6}}=\frac{(0^2+5\cdot 0+8)\ln(0+2)}{|0+1|\sqrt{0+6}}=\frac{8\ln(2)}{\sqrt{6}}

 

Calcolo dei limiti per sostituzione diretta da sinistra e da destra

 

Una chiosa finale: le regole dell'algebra dei limiti valgono anche per i limiti da sinistra e da destra, infatti l'ipotesi di continuità implica chiaramente la continuità da sinistra e da destra. Cionondimeno le regole continuano a valere anche nel caso dell'ipotesi della sola continuità da sinistra per i limiti da sinistra, e per la continuità da destra per i limiti da destra.

 

 


 

 

I più attenti avranno certamente notato che l'algebra dei limiti si riferisce al caso di funzioni continue e di limiti per x tendenti a un valore finito. Che dire dei limiti per x tendente all'infinito? Inizieremo ad occuparcene nella lezione successiva, dove tratteremo i limiti di funzioni monotone.

 

Prima di procedere potete mettervi alla prova con la scheda correlata di esercizi svolti e proposti, inoltre sappiate che qui su YM è disponibile un comodo tool per il calcolo dei limiti online. Per tutto il resto c'è la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Namasté, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Lezione precedente .........Esercizi correlati......... Lezione successiva


Tags: algebra dei limiti e come effettuare le operazioni tra limiti - metodi per il calcolo dei limiti.

 

pba1