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Proprietà delle potenze

In questo articolo ci occupiamo delle proprietà delle potenze, ossia semplici proprietà che legano le potenze alle principali operazioni algebriche e che sono di fondamentale importanza, in qualsiasi ambito della Matematica. Le proprietà delle potenze, infatti, servono spesso e volentieri per calcolare il valore delle espressioni numeriche e letterali, per risolvere equazioni, disequazioni...Insomma: sono veramente molto importanti, e vanno assolutamente sapute! Laughing

 

Se ti sei perso la spiegazione introduttiva sulle potenze, click e dai un'occhiata alla precedente lezione.

 

Proprietà delle potenze e operazioni algebriche

 

1. Il prodotto di due potenze aventi la stessa base è una potenza avente come base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti.

 

In simboli:

a^m \cdot a^n=a^{m+n}

 

Cosa succede se abbiamo un prodotto di più di due potenze aventi la stessa base? Semplicemente applichiamo questa regola a tutte le potenze coinvolte nella moltiplicazione:

 

a^m \cdot a^n \cdot a^p \cdot a^q \cdot a^r \cdot a^s=a^{m+n+p+q+r+s}

 

Con i numeri:

 

\bullet \ 2^{2} \cdot 2^3=2^{2+3}=2^5

 

\bullet \ 3^{5} \cdot 3^3=3^{5+3}=3^8

 

\bullet \ \pi^{2}\cdot \pi^9=\pi^{2+9}=\pi^{11}

 

\bullet \ 2^{2} \cdot 2^3 \cdot 2^6=2^{2+3+6}=\2^{11}

 

Se vuoi vedere altri esempi sul prodotto di due potenze - click!

 

2. Il quoziente di due potenze aventi la stessa base è una potenza avente come base la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti.

In simboli:

\frac{a^m }{a^n}=a^{m-n}

 

Con i numeri:

 

\bullet \ \frac{2^{2}}{2^3}=2^{2-3}=2^{-1}=\frac{1}{2};

 

\bullet \ \frac{3^{5}}{3^3}=3^{5-3}=3^2;

 

\bullet \ \frac{\pi^{2}}{\pi^9}=\pi^{2-9}=\pi^{-7}.

 

Se vuoi vedere altri esempi sulla regola per il quoziente di due potenze - click!

 

Non è possibile dedurre questa proprietà da quella relativa al prodotto? Perché dovrei cercare di capire come si fa?

 

Prima di tutto è possibile. Capirlo vi permetterà di memorizzare solo una proprietà invece che due ed essere sempre in grado di dedurre la proprietà riguardante il quoziente di potenze con uguale base, a partire dalla proprietà riguardante il prodotto di potenze.

 

Ricaviamo la proprietà 2. da 1. :

 

\frac{a^m }{a^n}=a^{m} \cdot \frac{1}{a^n}=a^m \cdot a^{-n}=a^{m+(-n)} = a^{m-n}

 

dove nel terzo passaggio abbiamo utilizzato

 

a^{-n}=\frac{1}{a^n}

 

e nel passaggio successivo la proprietà 1.

 


 

La potenza di potenza è l'elevamento a potenza di una potenza. Sembra uno scioglilingua, in simboli è molto più chiaro:

 

\left(a^m\right)^n.

 

3Il risultato della potenza di una potenza è ancora una volta una potenza avente come base la stessa base e come esponente il prodotto degli esponenti:

 

\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}

 

Qualche esempio:

 

\bullet \ \left(2^2\right)^3=2^{2\cdot 3}=2^6;

 

\bullet \ \left(3^3\right)^3=3^{3\cdot 3}=3^9;

 

\bullet \ \left(5^9\right)^5=5^{9\cdot 5}=5^{45}.

 

Se ti interessano altri esempi sulla proprietà per le potenze di potenze, click!

 

Perché vale questa proprietà? Se riuscite a vederlo una volta non dovrete impararla a memoria, quindi ne può valere la pena! Consideriamo un caso semplice: \left(2^2\right)^3. Per la definizione di potenza che abbiamo dato, fare una potenza significa moltiplicare la base per se stessa un numero di volte pari all'esponente, applicando la definizione in questo caso avremmo:

 

\left(2^2\right)^3=2^2\cdot 2^2\cdot 2^2= 2^{2+2+2}=2^6=2^{2\cdot 3}

 


 

4. Il prodotto di potenze aventi basi diverse ma esponenti uguali è una potenza che come base ha il prodotto delle basi e come esponente lo stesso esponente.

 

a^n \cdot b^n=(a\cdot b)^n.

 

Questa proprietà si estende senza problemi al caso di prodotto di più di due potenze con basi diverse, ma esponenti uguali:

 

a^n \cdot b^n \cdot c^n \cdot d^n \cdot e^n=(a\cdot b\cdot c\cdot d\cdot e)^n

 

Con i numeri:

 

\bullet \ 2^3 \cdot 3^3=(2\cdot 3)^3=6^3;

 

\bullet \ 5^7 \cdot 12^7=60^7;

 

\bullet \ 3^{-1} \cdot 2^{-1} \cdot 5^{-1}=(3\cdot 2\cdot 5)^{-1}=30^{-1}=\frac{1}{30}.

 


 

Nella proprietà precedente ho usato anche potenze a esponente negativo, dunque capite bene come quella proprietà si estenda al quoziente:

 

5Il quoziente di potenze aventi basi diverse e uguali esponenti è una potenza che come base ha il quoziente delle basi e come esponente lo stesso esponente.

 

\frac{a^n}{ b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n.

 

Con i numeri:

 

\bullet \ \frac{2^3}{ 3^3}=\left(\frac{2}{3}\right)^3

 

\bullet \ \frac{5^5}{ 7^5}=\left(\frac{5}{7}\right)^5

 

\bullet \ \frac{63^3}{ 61^3}=\left(\frac{63}{61}\right)^3

 

Per altri esempi sulla proprietà appena vista, vedi potenza di una frazione.

 


 

?. Possiamo dire qualcosa riguardo alla somma di potenze? No, in generale non possiamo dire nulla, e non c'è nessuna proprietà a riguardo. Vedi qui: somma di due potenze.

 


 

Se qualcosa non fosse chiaro ti suggeriamo di effettuare una ricerca qui su YM, e nel caso ti servisse aiuto, potrai richiederlo all'intera Community aprendo una discussione nel ForumWink

 

\alpha.

 

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