Proprietà delle potenze

In questo articolo ci occupiamo delle proprietà delle potenze, ossia semplici proprietà che legano le potenze alle principali operazioni algebriche e che sono di fondamentale importanza, in qualsiasi ambito della Matematica.

 

Le proprietà delle potenze, infatti, servono spesso e volentieri per calcolare il valore delle espressioni numeriche e letterali, per risolvere equazioni, disequazioni... Insomma: sono veramente molto importanti, e vanno assolutamente sapute!

 

Se ti sei perso la spiegazione introduttiva sulle potenze, click e dai un'occhiata alla precedente lezione. ;)

 

Proprietà delle potenze e operazioni algebriche

 

Facciamo così: riportiamo subito la tabella con tutte le proprietà delle potenze, così da agevolare chi ci sta leggendo per ripassare. Poco più sotto commentiamo nel dettaglio le varie proprietà e proponiamo un po' di esempi.

 

 

Prodotto di potenze con la stessa base

a^m \cdot a^n=a^{m+n}

Quoziente di potenze con la stessa base

\frac{a^m }{a^n}=a^{m-n}

Potenza di potenza

\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}

Prodotto di potenze con lo stesso esponente

a^n \cdot b^n=(a\cdot b)^n

Quoziente di potenze con lo stesso esponente

\frac{a^n}{ b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n

Somma o differenza di potenza Niente, in generale

 

 

1) Il prodotto di due potenze aventi la stessa base è una potenza avente come base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti.

 

In simboli:

 

a^m \cdot a^n=a^{m+n}

 

Cosa succede se abbiamo un prodotto di più di due potenze aventi la stessa base? Nulla di particolare, applichiamo questa regola a tutte le potenze coinvolte nella moltiplicazione:

 

a^m \cdot a^n \cdot a^p \cdot a^q \cdot a^r \cdot a^s=a^{m+n+p+q+r+s}

 

Vediamo qualche esempio con i numeri:

 

\\ 2^{2} \cdot 2^3=2^{2+3}=2^5\\ \\ 3^{5} \cdot 3^3=3^{5+3}=3^8\\ \\ \pi^{2}\cdot \pi^9=\pi^{2+9}=\pi^{11}\\ \\ 2^{2} \cdot 2^3 \cdot 2^6=2^{2+3+6}=\2^{11}

 

Se vuoi vedere altri esempi sul prodotto di due potenze - click!

 

 

2) Il quoziente di due potenze aventi la stessa base è una potenza avente come base la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti.

 

In simboli:

 

\frac{a^m }{a^n}=a^{m-n}

 

Alcuni esempi con i numeri:

 

\\ \frac{2^{2}}{2^3}=2^{2-3}=2^{-1}=\frac{1}{2}\\ \\ \frac{3^{5}}{3^3}=3^{5-3}=3^2\\ \\ \frac{\pi^{2}}{\pi^9}=\pi^{2-9}=\pi^{-7}

 

Se vuoi vedere altri esempi sulla regola per il quoziente di due potenze - click!

 

Non è possibile dedurre questa proprietà da quella relativa al prodotto? Sì, è possibile, e capire come fare vi permetterà di memorizzare solo una proprietà invece di due e di essere sempre in grado di dedurre la proprietà riguardante il quoziente di potenze con uguale base, a partire dalla proprietà riguardante il prodotto di potenze.

 

Ricaviamo la proprietà delle potenze numero 2) a partire dalla 1)

 

\frac{a^m }{a^n}=a^{m} \cdot \frac{1}{a^n}=a^m \cdot a^{-n}=a^{m+(-n)} = a^{m-n}

 

dove nel terzo passaggio abbiamo utilizzato la definizione di potenza con esponente negativo

 

a^{-n}=\frac{1}{a^n}

 

e nel passaggio successivo la proprietà per il prodotto di due potenze, cioè la 1).

 

 

3) La potenza di una potenza è ancora una volta una potenza avente come base la stessa base e come esponente il prodotto degli esponenti

 

\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}


Avete notato? Anche se sembra uno scioglilingua ;) la potenza di potenza non è niente di complicato: è l'elevamento a potenza di una potenza. In simboli è molto più chiaro: \left(a^m\right)^n.


Qualche esempio:

 

\\ \left(2^2\right)^3=2^{2\cdot 3}=2^6\\ \\ \left(3^3\right)^3=3^{3\cdot 3}=3^9\\ \\ \left(5^9\right)^5=5^{9\cdot 5}=5^{45}

 

Se ti interessano altri esempi sulla proprietà per le potenze di potenze, click!

 

Perché vale questa proprietà? Se riuscite a capirlo non dovrete impararla a memoria, quindi occhio perché ne vale la pena. ;) Consideriamo un caso semplice:

 

\left(2^2\right)^3

 

Per la definizione di potenza che abbiamo dato, calcolare una potenza significa moltiplicare la base per se stessa un numero di volte pari all'esponente. Applicando la definizione in questo caso avremmo:

 

\left(2^2\right)^3=2^2\cdot 2^2\cdot 2^2= 2^{2+2+2}=2^6=2^{2\cdot 3}

 

Anche in questo caso la proprietà viene ricavata facilmente a partire dalla 1).

 

 

4) Il prodotto di potenze aventi basi diverse ma esponenti uguali è una potenza che come base ha il prodotto delle basi e come esponente lo stesso esponente.

 

a^n \cdot b^n=(a\cdot b)^n

 

Questa proprietà si estende senza problemi al caso di prodotto di più di due potenze con basi diverse, ma esponenti uguali:

 

a^n \cdot b^n \cdot c^n \cdot d^n \cdot e^n=(a\cdot b\cdot c\cdot d\cdot e)^n

 

Anche qui vediamo una manciata di esempi numerici

 

\\ 2^3 \cdot 3^3=(2\cdot 3)^3=6^3\\ \\ 5^7 \cdot 12^7=60^7\\ \\ 3^{-1} \cdot 2^{-1} \cdot 5^{-1}=(3\cdot 2\cdot 5)^{-1}=30^{-1}=\frac{1}{30}

 

Nella proprietà appena esposta abbiamo anche usato le potenze a esponente negativo, dunque capite bene come quella proprietà si estenda al quoziente. Infatti...

 

 

5) Il quoziente di potenze aventi basi diverse e uguali esponenti è una potenza che come base ha il quoziente delle basi e come esponente lo stesso esponente.

 

\frac{a^n}{ b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n

 

Con i numeri:

 

\\ \frac{2^3}{ 3^3}=\left(\frac{2}{3}\right)^3\\ \\ \frac{5^5}{ 7^5}=\left(\frac{5}{7}\right)^5\\ \\ \frac{63^3}{ 61^3}=\left(\frac{63}{61}\right)^3

 

Per altri esempi sulla proprietà appena vista, vedi potenza di una frazione.

 

 

Somma di potenze

 

C'è qualche proprietà relativa alla somma di potenze? No, in generale non possiamo dire nulla, e non c'è nessuna proprietà a riguardo. Vedi qui: somma di due potenze.

 

 


 

Fine! Tenete presente che l'argomento appena trattato è fondamentale nella risoluzione degli esercizi: le proprietà delle potenze vengono ampiamente utilizzate a partire dalla risoluzione delle espressioni con potenze. Prima però vi raccomandiamo di allenarvi con gli esercizi sulle proprietà delle potenze delle schede correlate, sono divisi per livelli di difficoltà. ;)

 

 

Namasté, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Esercizi correlati

Esercizi sulle proprietà delle potenze - Beginner

 

Esercizi sulle proprietà delle potenze - Advanced

 

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