Potenze

Le potenze sono moltiplicazioni ripetute, individuate da due numeri detti base ed esponente. Scrivere an, ossia elevare il numero a (la base) a potenza con esponente n, significa moltiplicare la base per se stessa n volte.

 

Cerchiamo di spiegare in modo semplice un concetto fondamentale in Matematica, con cui si ha a che fare sin dalle scuole medie: che cosa sono le potenze di un numero, e come si calcolano? In questa lezione spieghiamo in cosa consistono proponendo tutte le definizioni sulle potenze, commentando tutti i possibili casi nel dettaglio e mostrando di volta in volta diversi esempi. Alla fine della spiegazione riepilogheremo il tutto in una tabella e, infine, vi rimanderemo all'articolo successivo in cui proseguiremo il discorso affrontando le cosiddette proprietà delle potenze. ;)

 

Nota bene: la lezione è pensata per gli studenti delle scuole medie e delle superiori. Su YM è anche disponibile una guida didattica rivolta a genitori e maestri della scuola elementare. La trovate qui: elevamento a potenza.

 

Cosa sono le potenze?

 

Immaginate di dover fare dei conti e che dobbiate per forza moltiplicare un numero per sé stesso tante volte. Le potenze non sono nulla di straordinario, né di difficile: sono solo moltiplicazioni ripetute, e niente più.

 

Per esempio se doveste scrivere 2 moltiplicato per se stesso 5 volte, sarebbe scomodissimo scrivere ogni volta

 

2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2

 

L'elevamento a potenza serve per abbreviare questo tipo di scrittura: scriviamo normalmente il numero che vogliamo moltiplicare per sé stesso, e in alto a destra riportiamo il numero di volte per cui vogliamo moltiplicarlo con se stesso. In riferimento all'esempio, scriveremo quindi

 

2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^5

 

Ora che abbiamo capito perché a qualcuno è venuto in mente questo modo buffo di scrivere le moltiplicazioni, diamone una definizione più generale.

 

 

Definizione di potenza di un numero

 

Chiamiamo potenza n-esima di un numero a la moltiplicazione di a per sé stesso n volte. Tale operazione si indica con a^n, dove a si dice base e n si dice esponente.

 

Qui di seguito spiegheremo in sintesi tutti i possibili casi per l'elevamento a potenza a seconda che a ed n appartengano ai vari insiemi numerici. In ciascun punto potete trovare i link per le spiegazioni dettagliate.

 

Quali valori può assumere l'esponente di una potenza?

 

Per i numeri naturali è semplice:

 

\\ 2^1=2\\ \\ 2^2=2\cdot 2\\ \\ 2^3=2\cdot 2\cdot 2\\ \\ 2^4=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2

 

Le potenze che abbiamo appena scritto si leggono rispettivamente come: due alla prima o due alla uno, due alla seconda o due alla due, due alla terza o due alla 3, due alla quarta o due alla quattro.

 

Cosa succede se l'esponente di una potenza è zero?

 

\mbox{Se }a\mbox{ diverso da zero, allora }a^0=1

 

L'elevamento di qualunque base diversa da zero alla potenza zero (potenza zeresima) dà come risultato 1.

 

Lo spieghiamo nel dettaglio qui: potenza alla zero, zero alla zero.

 

E se l'esponente è un numero naturale e la base della potenza è negativa?

 

Nel caso delle potenze con base negativa ci si comporta secondo la definizione, e si moltiplica la base per sé stessa tante volte quante lo chiede l'esponente

 

\\ (-2)^2=(-2)\cdot (-2)=+4\\ \\ (-2)^3=(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=-8\\ \\ (-2)^4=(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=+16

 

Si noti che possiamo dire subito qualcosa in più riguardo al segno del risultato, che deriva direttamente dalla regola dei segni per la moltiplicazione:

 

- se la base è negativa e l'esponente è dispari, allora la potenza avrà segno negativo;

 

- se la base è negativa e l'esponente è pari, allora la potenza avra segno positivo.

 

È spiegato tutto nel dettaglio qui: potenze con base negativa.

 

E se l'esponente della potenza è negativo?

 

a^{-n}=\frac{1}{a^n}

 

Elevare a potenza con esponente negativo significa prendere il reciproco della base con l'esponente cambiato di segno.

 

\\ 2^{-1}=\frac{1}{2}\\ \\ 2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}\\ \\ 2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}\\ \\ 2^{-4}=\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16}

 

Per approfondire e per altri esempi vedi potenze con esponente negativo.

 

Potenze e radici - esponenti fratti (razionali)

 

Ora passiamo ad una definizione che interesserà solamente gli studenti delle scuole superiori. Se l'esponente n è una frazione, cioè un numero razionale del tipo \frac{p}{q}, allora

 

a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}

 

In sostanza, se si ha una potenza ad esponente razionale (cioè l'esponente è una frazione), avremo che il denominatore di quella frazione è l'indice della radice, mentre il numeratore è l'esponente dell'argomento. In particolare

 

a^{\frac{1}{q}}=\sqrt[q]{a}

 

Qualche esempio con i numeri:

 

\\ 3^\frac{1}{2}=\sqrt{3}\\ \\ 5^\frac{3}{2}=\sqrt{5^3}\\ \\ 2^\frac{5}{7}=\sqrt[7]{2^5}

 

Per approfondire, potete leggere potenze con esponente fratto, mentre dei radicali ne parliamo in dettaglio in un'altra lezione.

 

Potenze con esponente irrazionale

 

Eccoci infine all'ultimo caso: quello delle potenze con esponente un numero irrazionale, che tipicamente viene affrontato non prima del triennio delle scuole superiori. Per definizione, se lavoriamo nel campo dei numeri reali è possibile calcolare le potenze a^s\mbox{ con }s\in\mathbb{I} solamente per basi positive a>0.

 

La definizione è impegnativa dal punto di vista algebrico e preferiamo non trattarla in questa sede; ad ogni modo si può fare riferimento ad una formula che si basa sui logaritmi nonché sulle proprietà dei logaritmi

 

a^s=e^{\log(a^s)}=e^{s\log(a)}

 

Tabella di riepilogo sui vari tipi di potenze

 

Come promesso, ecco una tabella di riepilogo sui vari tipi di potenze

 

Potenze

\\ a^n=a\cdot a\cdot ...\cdot a\ (n \mbox{ volte})\\ \\ a^0=1\mbox{ se }a\neq 0

Potenze con base negativa

\\ (-a)^n=a^n\mbox{ se }n\mbox{ pari}\\ \\ (-a)^n=-a^n\mbox{ se }n\mbox{ dispari}

Potenze con esponente negativo

a^{-n}=\frac{1}{a^n}

Potenze con esponente razionale (p,q interi)

a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}

Potenze con esponente irrazionale (definite solo per a>0)

a^s=e^{\log(a^s)}=e^{s\log(a)}

 

 


 

Ora abbiamo visto tutte le definizioni che bisogna sapere. Per capire come svolgere le varie operazioni con le potenze, potete leggere l'articolo successivo, in cui parliamo delle proprietà delle potenze.

 

Per il momento è tutto! Se volete fare un po' di pratica, potete dare un'occhiata alla scheda correlata di esercizi sulle potenze; inoltre, nel caso voleste consultare altri esercizi risolti, potete usare la barra di ricerca interna. YouMath è pieno di esercizi, problemi risolti e spiegazioni dello Staff. Ah! C'è anche una calcolatrice online con cui potete calcolare comodamente tutte le potenze che volete. ;)

 

 

Namasté, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Esercizi correlati..........Lezione successiva


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