Proprietà dei logaritmi

Le proprietà dei logaritmi sono una serie di regole che permettono di semplificare notevolmente il calcolo dei logaritmi, e che permettono di riscrivere le operazioni tra logaritmi in una forma più semplice.

 

Dopo aver introdotto la definizione di logaritmo, presenteremo ora le proprietà dei logaritmi proponendo via via opportuni esempi. Per chi ha fretta o vuole tutto e subito è sufficiente leggere l'elenco e i relativi esempi per essere in grado di svolgere gli esercizi; chi invece vuole avere una conoscenza teorica completa può trovare in fondo all'articolo le dimostrazioni delle proprietà.

 

Nel caso in cui non aveste letto la lezione introduttiva sui logaritmi, vi consigliamo vivamente di farlo prima di procedere nella lettura. ;)

 

Principali proprietà dei logaritmi

 

Le proprietà dei logaritmi valgono per qualunque scelta della base del logaritmo (la a nell'espressione \log_a(b)), ma vi ricordiamo che la base e l'argomento devono sempre essere presi maggiori strettamente di zero (inoltre la base deve essere diversa da 1). Questi requisiti devono valere sempre.

 

Per la vostra comodità vi proponiamo subito una tabella con le proprietà dei logaritmi, per poi passare a commentarle una per una.

 

 

Definizione di logaritmo

a^{\log_a(b)}=b

Logaritmo del prodotto

\log_a(b\cdot c)=\log_a(b)+\log_a(c)

Regola dell'esponente

\log_a\left(b^c\right)=c\log_a(b)

Logaritmo del rapporto

\log_a\left(\frac{b}{c}\right)=\log_a(b)-\log_a(c)

Formula del cambiamento di base per logaritmi

\log_a(b)=\frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}

Formula di inversione per i logaritmi

\log_a(b)=\frac{1}{\log_b(a)}

 

 

P-0) Riscrittura alternativa di un logaritmo

 

a^{\log_a(b)}=b\ \ \ \ \ \mbox{ se }a,b>0\mbox{ e }a\neq 1

 

Questa proprietà è in realtà una semplicissima riscrittura della definizione di logaritmo, anche se non sembra. Per definizione infatti il \log_a(b) è quel numero c tale che a^c=b.

 

Attenzione però! L'identità suscritta vale solamente se a>0,\ a\neq 1,\ b>0, in base a quanto chiesto dalla definizione di logaritmo.

 

La precedente uguaglianza si verifica quindi facilmente, infatti sostituendo \log_a(b) con c troviamo proprio a^c=b.

 

Quella appena introdotta più che una proprietà è un utile trucco algebrico che permette di uscire da situazioni che sembrano più complicate di quello che non siano. È una formuletta che non ha un utilizzo intuitivo ma proprio per questo gli esercizi che la richiedono sono pochi. Ad ogni modo con l'esperienza vi accorgerete quando sarà il momento di usarla.

 

 

P-1) Il logaritmo del prodotto è la somma dei logaritmi

 

\log_a(b\cdot c)=\log_a(b)+\log_a(c)\ \ \ \ \ \mbox{ se }a,b,c>0\mbox{ e }a\neq 1

 

Dunque, quale che sia la base, se vi trovate di fronte al logaritmo in base a di un prodotto bc potete riscriverlo equivalentemente come la somma dei logaritmi, entrambi in base a, di b il primo e di c il secondo. La proprietà si estende ricorsivamente al caso di tanti fattori, provare per credere! ;)


Esempio 1

 

Se consideriamo il logaritmo in base 3 di 18, grazie alla proprietà del logaritmo del prodotto possiamo riscriverlo come

 

\\ \log_3(18)=\log_3(2\cdot 9)=\\ \\ =\log_{3}(2)+\log_{3}(9)=\log_3(2)+2

 

dove l'ultimo passaggio si giustifica con la definizione di logaritmo: \log_3(9)=\log_3(3^2)=2.

 

Se invece prendiamo

 

\log_5\left[\left(2x^3+9\right)y\right]

 

possiamo riscriverlo nella forma

 

\log_5(2x^3+9)+\log_5(y)

 

In fondo a questa pagina trovi la dimostrazione, qui invece trovi una spiegazione dettagliata con altri esempi più semplici: logaritmo del prodotto.

 

 

P-2) Regola dell'esponente

 

\log_a\left(b^c\right)=c\log_a(b)\ \ \ \ \ \mbox{ se }a,b>0\mbox{ e }a\neq 1

 

La proprietà del logaritmo e dell'esponente ci dice sostanzialmente che, ogni volta che l'argomento di un logaritmo ha un esponente, possiamo portarlo davanti al logaritmo e farlo diventare un coefficiente.

 

Per la dimostrazione, vedi in fondo alla pagina, mentre per la spiegazione dettagliata con esempi vedi qui: logaritmo di una potenza. Attenzione! Questa regola viene anche applicata per riscrivere il logaritmo di una radice.

 

 

P-3) Il logaritmo del rapporto è la differenza dei logaritmi

 

\log_a\left(\frac{b}{c}\right)=\log_a(b)-\log_a(c)\ \ \ \ \ \mbox{ se }a,b,c>0\mbox{ e }a\neq 1

 

In parole povere la proprietà del logaritmo del rapporto stabilisce che, indipendentemente dalla base, quando abbiamo un logaritmo contenente una frazione, possiamo riscrivere tale logaritmo come la differenza tra il logaritmo del numeratore meno il logaritmo del denominatore.


Esempio 3

 

Un esempio semplice: se avessimo il logaritmo in base 7 di 1/49, potremmo riscriverlo come

 

\log_7\left(\frac{1}{49}\right)=\log_7(1)-\log_7(49)=0-\log_7(7^2)=-2

 

Se invece considerassimo

 

\log_{\frac{2}{3}}{\left(\frac{x^2+3x-1}{x+2}\right)}

 

tale logaritmo equivarrebbe a

 

\log_{\frac{2}{3}}{\left(x^2+3x-1\right)}-\log_{\frac{2}{3}}{\left(x+2\right)}

 

Al solito, per la dimostrazione vai in fondo alla pagina, mentre se ti interessa la spiegazione farcita di esempi: logaritmo del rapporto.

 

 

P-4) Formula del cambiamento di base

 

\log_a(b)=\frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}\ \ \ \ \ \mbox{ se }a,b,c>0\mbox{ e }a,c\neq 1

 

Cosa significa la formula precedente? Vediamola così: abbiamo un logaritmo con una base che proprio non ci piace, ad esempio perchè è scomoda per i calcoli. La formula del cambiamento di base ci dice che possiamo scrivere il logaritmo \log_a(b) con una nuova base c, a nostra scelta, a patto che sia positiva e diversa da 1.

 

Per farlo, riscriviamo il logaritmo come un rapporto di logaritmi in cui il logaritmo a numeratore ha come base la base desiderata e argomento l'argomento di partenza, e il logaritmo a denominatore ha come base la base desiderata e come argomento la base di partenza.

 

Il trucco per ricordare questa formula: riscrivo il logaritmo come un rapporto di logaritmi. Questi logaritmi hanno la nuova base c che vogliamo. Il logaritmo che sta sopra (a numeratore) ha come argomento ciò che inizialmente stava sopra (l'argomento iniziale), il logaritmo che sta sotto (a denominatore) ha come argomento ciò che inizialmente stava sotto (la base iniziale).

 

Esempio 4

 

Vogliamo scrivere (non chiedetevi perchè: saranno gli eventuali esercizi a darcene motivo) il logaritmo \log_{4}{9} usando come base c=3. Usando la formula del cambiamento di base troviamo:

 

\log_4(9)=\frac{\log_3(9)}{\log_3(4)}=\frac{\log_3(3^2)}{\log_3(4)}=\frac{2}{\log_3(4)}

 

dove abbiamo usato la formula al primo passaggio.

 

Questa proprietà è importantissima e non a caso le abbiamo dedicato una lezione a parte: formula del cambiamento di base per logaritmi.

 

 

P-5) Formula di inversione base-argomento

 

\log_a(b)=\frac{1}{\log_b(a)}\ \ \ \ \ \mbox{ se }a,b>0\mbox{ e }a,b\neq 1

 

Questa formula si commenta da sola, ed è in verità una particolare riscrittura della formula del cambiamento di base (per chi è interessato, il perchè verrà mostrato nella relativa dimostrazione).


Esempio 5

 

Dato \log_{\frac{1}{2}}(5), decidiamo che non vogliamo avere a che fare con una base compresa tra 0 ed 1. Ci andrebbe bene la base 5 al suo posto. Dunque con la suddetta formula possiamo equivalentemente considerare:

 

\log_{\frac{1}{2}}(5)=\frac{1}{\log_5{\frac{1}{2}}}

 

 

Una personalissima conclusione. Diffidate sempre di chi vi spara 489 proprietà e ve le spaccia per assolutamente necessarie e distinte tra loro. Primo perchè non è mai così. Secondo, perchè chi lo fa vuole trattarvi come un gibbone ben ammaestrato. Terzo, perchè è più comodo per chi lo fa, e il prezzo della sua comodità è la vostra fatica. E soprattutto non vi farà migliorare: vi atrofizzerà il cervello e basta. Il nostro obiettivo è imparare a capire, non faticare senza motivo. ;)

 

Potremmo ad esempio dire: ci sono altre due proprietà che caratterizzano i logaritmi:

 

\mbox{P}-6)\ \ \log_{\frac{1}{a}}(b)=-\log_a(b)

 

Ma questa è una derivazione della regola P-4).

 

\mbox{P}-7)\ \ \log_{\frac{1}{a}}\left(\sqrt[n]{b}\right)=-\frac{1}{n}\log_a(b)

 

Anche questa è una derivazione della regola P-2) e della definizione di radicale.

 

Fateci caso: anche la regola P-5 è una derivazione della regola P-4.

 

 

E con questo abbiamo finito, a meno che non vi interessino le dimostrazioni! :) Se volete esercitarvi potete dare un'occhiata agli esercizi delle schede correlate, ed eventualmente effettuare una ricerca qui su YM: abbiamo risolto e spiegato tonnellate di esercizi. ;)

 

 

Orevwa, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Schede di esercizi correlati

Scheda 1 di esercizi sulle proprietà dei logaritmi

 

Scheda 2 di esercizi sulle proprietà dei logaritmi

 

Lezione precedente ..........Lezione successiva

Dimostrazioni delle proprietà dei logaritmi

 

P-0) Già dimostrato.

 

 

P-1) Dimostriamo la proprietà del logaritmo del prodotto. Grazie alla proprietà P-0), scrivendo

 

b=a^{\log_a(b)}\ \ \ ;\ \ \ c=a^{\log_a(c)}

 

moltiplichiamo tra loro i membri a sinistra dell'uguale da una parte e quelli a destra dell'uguale dall'altra. Troviamo

 

bc=a^{\log_a(b)}a^{\log_a(c)}

 

ossia per le proprietà delle potenze (prodotto di potenze aventi stessa base=potenza con somma degli esponenti)

 

bc=a^{\log_a(b)+\log_a(c)}

 

Ora applichiamo ad entrambi i membri il logaritmo in base a, ottenendo

 

\log_a(bc)=\log_a\left(a^{\log_a(b)+\log_a(c)}\right)

 

Usiamo la definizione di logaritmo a destra dell'uguale, e...

 

\log_a(bc)=\log_a(b)+\log_a(c)

 

 

P-2) Passiamo alla proprietà del logaritmo del rapporto. Consideriamo, grazie alla proprietà P-0), l'uguaglianza

 

a^{\log_a(b)}=b

 

ed eleviamo entrambi i membri alla c. Troviamo

 

\left(a^{\log_a(b)}\right)^c=b^c

 

da cui, grazie alle proprietà delle potenze (potenza di potenza=prodotto degli esponenti) segue

 

a^{c\log_a(b)}=b^c

 

Dalla definizione stessa di logaritmo, possiamo interpretare l'ultima uguaglianza dicendo che c\log_{a}{b} è l'esponente cui elevare a per ottenere b^{c}, ossia c\log_{a}{b} è il logaritmo in base a di bc. Quindi

 

\log_a\left(b^c\right)=c\log_a(b)

 

 

P-3) Basta scrivere il rapporto \frac{b}{c} come b\cdot\frac{1}{c}, e applicare la regola P-1). Dunque

 

\log_a\left(\frac{b}{c}\right)=\log_a\left(b \cdot \frac{1}{c}\right)=\log_a(b)+\log_a\left(\frac{1}{c}\right)

 

infine applicando la proprietà P-2) e la definizione di potenza con esponente negativo, abbiamo

 

\log_a\left(\frac{1}{c}\right)=\log_a\left(c^{-1}\right)=-\log_a(c)

 

Quindi

 

\log_a\left(\frac{b}{c}\right)=\log_a(b)-\log_a(c)

 

 

P-4) Chiamiamo v il valore del logaritmo

 

v=\log_a(b)

 

Vogliamo esprimere questo logaritmo in una nuova base c. Per definizione di logaritmo, abbiamo che la precedente uguaglianza equivale a

 

a^v=b

 

Applichiamo a quest'ultima uguaglianza il logaritmo in base c (quella nuova), ottenendo

 

\log_c\left(a^v\right)=\log_c(b)

 

da cui, per la proprietà P-2)

 

v\cdot\log_c(a)=\log_c(b)

 

e infine dividendo per \log_c(a) si conclude che

 

v=\frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}

 

ossia

 

\log_a(b)=\frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}

 

 

P-5) Basta applicare la formula del cambiamento di base P-5) prendendo come nuova base b. In questo modo il numeratore della formula diventa 1!

 

 

P-6) Banale, basta applicare la formula del cambiamento di base P-4) con nuova base a e poi osservare che \frac{1}{a}=a^{-1}. Infine si applica la proprietà P-2).

 

 

P-7) Ancor più banale. Basta applicare la regola dell'esponente P-2) dopo aver ricordato come sono definite le potenze con esponente frazionario, ovvero che \sqrt[n]{b}=b^{\frac{1}{n}}

 

 


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