Logaritmo

Il logaritmo è un operatore matematico indicato generalmente con loga(b); detta a la base e b l'argomento, il logaritmo in base a di b è definito come l'esponente a cui elevare la base per ottenere l'argomento. 

 

In questa lezione parliamo dei logaritmi. Daremo innanzitutto la definizione di logaritmo di un numero, vedremo quali sono le relative proprietà e daremo dei suggerimenti su come e dove tali proprietà vannoo utilizzate, sopratutto per quel che concerne il calcolo dei logaritmi. A tal proposito potete consultare le proprietà descritte nell'articolo successivo, quello sulle proprietà dei logaritmi.

 

Nel corso dell'articolo non staremo a parlarvi delle relative dimostrazioni, ma chi è interessato può trovarle in fondo. Se riuscite a capire cos'è un logaritmo, come funziona e come lavorarci... Sarete a cavallo! :-)

 

Cos'è il logaritmo in base a di b

 

Siano a e b due numeri reali, entrambi positivi e con a\neq 1. Definiamo il logaritmo in base a di b, e scriviamo

 

\log_a(b)

 

per indicare quel numero reale c che realizza l'uguaglianza

 

a^c=b

 

In altri termini, il logaritmo in base a di b è quel numero c tale per cui a elevato a c è uguale a b. In simboli

 

\log_a(b)\ \grave{\mbox{e}}\mbox{ il numero }c\mbox{ tale che }a^{c}=b

 

Prima cosa: quella che abbiamo appena dato è una definizione. Non dovete capire perché, dovete solo capire come. Cosa stiamo dicendo nella definizione di logaritmo in base a di b? Che il logaritmo in base a di b è un numero, che possiamo anche chiamare c.

 

Qual è la regola che definisce questo numero? È semplicemente il numero c tale per cui, elevando ac otteniamo proprio b.

 

In parole povere, il logaritmo in base a di b è l'operazione inversa rispetto all'elevamento a potenza. Diamo dei nomi ai personaggi a, b, c:


- chiamiamo a la base del logaritmo;

 

- chiamiamo b l'argomento del logaritmo;

 

- chiamiamo c il valore del logaritmo.

 

Nella definizione si richiede che la base a e l'argomento b siano maggiori di zero. Come mai? Non abbiamo fatto nient'altro che dare la definizione di logaritmo, quindi la risposta deve essere contenuta nella definizione stessa...

 

Se rileggiamo un attimino, vediamo che il logaritmo in base a di b è il numero c tale che a elevato alla c è uguale a b:

 

a^c=b

 

Essendo il logaritmo definito in modo che valga questa uguaglianza, osserviamo quanto segue: prendiamo a positivo. Se eleviamo un numero positivo (a) ad un qualsiasi numero (c) otteniamo un numero che è solo e soltanto positivo (nè zero nè negativo).

 

Tutto qui: prendiamo la base a\neq 1 e positiva (positivo vuol dire maggiore strettamente di zero) e quindi dobbiamo necessariamente considerare un argomento b positivo.

 

Esempi sui logaritmi

 

Vediamo un paio di esempi elementari sul calcolo del logaritmo di un numero. Come abbiamo anticipato, nella lezione successiva riprenderemo l'argomento nel dettaglio.

 

 

1) Il primo e più semplice esempio che possiamo calcolare è il logaritmo di 1 con base a

 

\log_a(1)

 

Qualsiasi numero diverso da zero (come è previsto dalle nostre ipotesi) ed elevato alla zero dà 1, quindi

 

\log_a(1)=0

 

 

2) Consideriamo il logaritmo in base a di a2

 

\log_a(a^2)

 

Se applichiamo la definizione, qual è quel numero c tale che, elevando la base a alla c, si ottiene a2 ?

 

La risposta è facile: 2, quindi

 

\log_a(a^2)=2



3) Consideriamo il logaritmo in base pluto di pluto alla -4/3

 

\log_{\mbox{pluto}}\left(\mbox{pluto}^{-\frac{4}{3}}\right)

 

Per calcolare il valore di questo logaritmo ci poniamo la domanda magica: qual è quel numero pippo tale per cui, elevando la base a pippo,

 

\mbox{pluto}^{\mbox{pippo}}

 

otteniamo esattamente

 

\mbox{pluto}^{-\frac{4}{3}}\ ?

 

Evidentemente il numero è \mbox{pippo}=-\frac{4}{3}, e quindi risulta

 

\log_{\mbox{pluto}}\left(\mbox{pluto}^{-\frac{4}{3}}\right)=-\frac{4}{3}

 

 

4) Quanto vale il logaritmo di 0 in base a?

 

\log_a(0)

 

Attenzione alle nostre ipotesi: il logaritmo di zero, quale che sia la base in accordo con la definizione, non è definito perché l'argomento deve essere positivo.

 

Logaritmo naturale e logaritmo decimale

 

Ci sono due particolari tipi di logaritmi che si incontrano spesso, e che sono caratterizzati da una particolare scelta della base: il logaritmo naturale ed il logaritmo decimale.

 

Il logaritmo naturale, in cui si prende come base il numero di Nepero

 

e=2,7182818284590452353602874...

 

(state sereni, basta dire che e vale circa 2,7). Il numero di Nepero e è numero reale ed è una costante di fondamentale importanza in Matematica. Si è soliti indicare il logaritmo naturale con

 

\ln(\mbox{argomento})

 

In altre parole se scriviamo ln(qualcosa) senza indicare la base intendiamo che vogliamo calcolare il logaritmo naturale, dunque in base e, di qualcosa.

 

Un modo alternativo per indicare il logaritmo naturale consiste nello scrivere

 

\log(\mbox{argomento})

 

cioè scrivendo log(qualcosa) senza specificare la base. In questo caso si intenderà che la base è proprio e.

 

 

Un altro logaritmo ricorrente è il logaritmo decimale, o logaritmo in base 10, in cui si prende come base

 

a=10

 

Si indica tale logaritmo con Log(qualcosa), ovvero con una L maiuscola e senza indicare la base

 

\mbox{Log}(\mbox{argomento})

 

oppure nella forma standard \log_{10}(\mbox{qualcosa}).

 

Logaritmi con base maggiore o minore di 1

 

Vale la pena di fare un'altra distinzione. Fate molta ma molta attenzione alla base del generico logaritmo che vi capita di incontrare per strada. Dato che i logaritmi sono definiti a partire dalle potenze, e dato che le potenze si comportano in modo diverso a seconda che le loro basi siano maggiori di 1 oppure comprese tra 0 ed 1, anche nel caso dei logaritmi succederà qualcosa di diverso.

 

Se la base del logaritmo è maggiore di 1, allora prendendo valori dell'argomento sempre più grandi otteniamo valori del logaritmo sempre più grandi. Questo perchè, ragionando secondo la definizione, è esattamente così che si comporta la potenza con base un numero maggiore di 1.

 

Ad esempio, leggiamo da sinistra a destra il grafico che segue, dove vengono mostrati i valori del logaritmo in base 3 (ordinate y) al variare dell'argomento (ascisse x, positive).

 

 

Logaritmo in base 3

 

 

Se invece la base del logaritmo è compresa tra 0 ed 1, allora prendendo valori dell'argomento sempre più grandi otteniamo valori del logaritmo sempre più piccoli. Ciò è dovuto al fatto che la potenza in base un numero compreso tra 0 ed 1 fornisce valori sempre più piccoli prendendo esponenti via via più grandi.

 

Nella figura vediamo ad esempio il comportamento del \log_{\frac{1}{2}}{x}, dove le ordinate y sono i valori del logaritmo e le ascisse x sono i valori dell'argomento.

 

 

Logaritmo in base 1/2

 

 

Per approndire potete dare un'occhiata a:

 

funzione logaritmo con base maggiore di uno

 

funzione logaritmo con base tra 0 e 1.

 

Nell'articolo successivo troverete tutte le proprietà dei logaritmi, che sono sostanzialmente ciò che vi permetterà di districarvi nello svolgimento degli esercizi.

 

Capire la definizione + conoscere le proprietà + esperienza = successo.

 

 


 

Ora che abbiamo visto la definizione, vi suggeriamo di allenarvi un po' con le schede di esercizi correlati, le quali vi permetteranno di consolidare i concetti appena trattati. E se non bastassero, potete usare la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono migliaia di esercizi svolti e commentati. Non solo: c'è anche una calcolatrice online con cui potete verificare i risultati dei vostri calcoli. ;)

 

 

작별 인사, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Esercizi correlati

Esercizi sui logaritmi - scheda 1

 

Seconda scheda di esercizi sui logaritmi

 

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