Radicali doppi

I radicali doppi sono un particolare tipo di radicale, definiti più precisamente come radicali concatenati l'uno dentro l'altro mediante una somma o una differenza, e che in alcuni possono essere semplificati con una semplice formula.

 

Quando si risolvono gli esercizi sui radicali, o più in generale si fanno calcoli che coinvolgono i radicali, capita di trovarsi di fronte ai radicali doppi e di doverli riscrivere in una forma più semplice, per poter poi proseguire nei conti senza dover ricorrere all'uso della calcolatrice.

 

Lo scopo di questa lezione consiste nel presentare due formule che ci permetteranno di eliminare i radicali doppi e di trasformare i radicali doppi in radicali semplici, cioè in una somma o in una differenza di due radicali.

 

Che cos'è un radicale doppio?

 

Chiamiamo radicale doppio la radice di una somma o di una differenza in cui uno dei due termini è a sua volta una radicale. In simboli, se indichiamo con a,b\in\mathbb{R} due numeri reali, un radicale doppio è un numero scritto nella forma

 

\\ (1)\ \sqrt{a+\sqrt{b}}\\ \\ (2)\ \sqrt{a-\sqrt{b}}

 

Come semplificare un radicale doppio

 

Ci sono due utilissime formule che ci permettono di semplificare i radicali doppi (1) e (2) e portarli in una forma più gestibile dal punto dei vista dei calcoli. Questa semplificazione è utile nei conti a mano, perché le formule che stiamo per introdurre ci permettono di riscrivere (1) e (2) come una somma o una differenza di radicali del tutto equivalente. Dal punto di vista quantitativo non cambia nulla.

 

Le due formule che ci interessano sono:

 

\\ (1)\ \sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\\ \\ \\ (2)\ \sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}

 

Possiamo riscriverle entrambe in una forma più compatta, facendo ricorso al simbolo \pm:

 

\sqrt{a\pm \sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}} 


Tale simbolo va interpretato come "se c'è + allora considero \pm come +, se invece c'è - considero \pm come -". È solo un modo sintetico per raggruppare casi distinti. ;)

 

La dimostrazione della formula per i radicali doppi non è nulla di complicato; è solo molto noiosa. Per dimostrare la validità di (1) e (2) basta elevare al quadrato entrambi i membri nelle rispettive formule.

 

Ad esempio, nel caso della formula (1)

 

\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}

 

tenendo conto della regola per il quadrato di un binomio sul membro di destra

 

a+\sqrt{b}=\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}+2\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\cdot\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}+\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}

 

I termini \sqrt{a^2-b} si cancellano tra il primo ed il terzo addendo, mentre nel prodotto usiamo prima la regola per la moltiplicazione tra radicali con lo stesso indice

 

a+\sqrt{b}=\frac{2a}{2}+2\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}\cdot \frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}

 

e poi la regola per la differenza di due quadrati

 

a+\sqrt{b}=a+2\sqrt{\frac{a^2-(a^2-b)}{4}}

 

da cui, semplificando il semplificabile

 

a+\sqrt{b}=a+\sqrt{b}

 

Avendo ricavato un'identità, la validità della formula è dimostrata. Nel caso della (2) si procede in modo del tutto analogo.

 

Esempi di radicali doppi

 

Proviamo per esercizio a semplificare i seguenti radicali doppi:

 

\sqrt{4+\sqrt{7}}\ \ \ ;\ \ \ \sqrt{9-4\sqrt{2}}

 

Nel primo caso dovremmo fare ricorso alla formula (1)

 

\\ \sqrt{4+\sqrt{7}}=\sqrt{\frac{4+\sqrt{16-7}}{2}}+\sqrt{\frac{4-\sqrt{16-7}}{2}}=\\ \\ \\ \ =\sqrt{\frac{4+3}{2}}+\sqrt{\frac{4-3}{2}}=\sqrt{\frac{7}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}

 

Nel secondo, prima di procedere applicando la formula (2), dobbiamo sfruttare una nota proprietà dei radicali e riscrivere il termine 4\sqrt{2} come un unico radicale:

 

4\sqrt{2}=\sqrt{4^2\cdot 2}=\sqrt{32}

 

(non abbiamo fatto altro se non portare dentro al segno di radice il fattore 4). A questo punto possiamo procedere

 

\\ \sqrt{9-\sqrt{32}}=\sqrt{\frac{9+\sqrt{81-32}}{2}}-\sqrt{\frac{9-\sqrt{81-32}}{2}}=\\ \\ \\ \ =\sqrt{\frac{9+7}{2}}-\sqrt{\frac{9-7}{2}}=\sqrt{8}-1

 

 

Due piccole osservazioni

 

 

A) Le formule (1) e (2) di riduzione per i radicali doppi (o più in generale la formula compatta) hanno significato a patto che

 

a^2-b\geq 0

 

Infatti questa sarà la quantità che andrà a finire sotto radice quadrata e come tale, affinché il tutto abbia senso, il radicando deve essere positivo.

 

 

B) È utile applicare le formule di riduzione per i radicali doppi solo se 

 

a^2 - b è un quadrato perfetto.

 

Se così non fosse, infatti, la formula di riduzione non farebbe altro se non complicare ancora di più il tutto. Quindi, prima di procedere, è sempre bene verificare che valgano le condizioni A) e B).

 

 


 

Niente di complicato, dunque. Si tratta solo di tenere a mente le formule (1) e (2) e utilizzarle, all'occorrenza e se possibile, nella risoluzione degli esercizi. A questo proposito potete consultare gli esercizi svolti della scheda correlata, e se non bastassero potete servirvi della barra di ricerca interna: YM è pieno zeppo di esercizi risolti e commentati. Infine, se volete verificare i risultati dei vostri calcoli, c'è anche un tool per i radicali doppi online. ;)

 

 

ವಿದಾಯ, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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