Razionalizzazione

La tecnica di razionalizzazione è un metodo che permette di semplificare le frazioni in cui compaiono dei radicali al denominatore, e grazie alla quale si può riscrivere un rapporto di frazioni eliminando i radicali al denominatore, in modo da trasferirli al numeratore.

 

In parole povere la razionalizzazione una procedura che consente di riscrivere un rapporto di radicali come frazione equivalente con denominatore privo di radicali.

 

Ci sono diversi casi e diverse tecniche per razionalizzare una frazione: qui di seguito proponiamo le più ricorrenti proponendo di volta in volta opportuni esempi.

 

Come razionalizzare una frazione

 

Ci sono essenzialmente tre tipi di razionalizzazione, che si basano su semplici formule e che dipendono dal tipo di radicali presenti a denominatore.

 

In ciascuno dei metodi di razionalizzazione l'idea di base è che, moltiplicando e dividendo un numero per una stessa quantità diversa da zero, si passa ad una rappresentazione equivalente del numero. Vediamo come razionalizzare le possibili frazioni che si possono incontrare:

 

1) con radicale semplice a denominatore, cioè del tipo

 

\frac{\mbox{qualcosa}}{\sqrt{a}}\ \ \ ;\ \ \ \frac{\mbox{qualcosa}}{\sqrt[n]{a^m}}\ \ \ \mbox{ con }m<n

 

2) con somma o differenza di radicali quadratici a denominatore, ossia

 

\frac{\mbox{qualcosa}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\ \ \ ;\ \ \ \frac{\mbox{qualcosa}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}

 

3) con somma o differenza di radicali cubici a denominatore, cioè del tipo

 

\frac{\mbox{qualcosa}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}\ \ \ ;\ \ \ \frac{\mbox{qualcosa}}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}

 

Da notare che nei numeratori abbiamo scritto "qualcosa" perché ciò che compare a numeratore non conta. A noi interessa solamente eliminare le radici presenti a denominatore. ;)

 

Razionalizzazione semplice

 

Il nome non trae in inganno: si tratta in effetti del tipo di razionalizzazione più semplice da mettere in pratica. Nel caso di un denominatore quadratico, cioè del tipo \sqrt{a}, è sufficiente considerare la frazione e moltiplicare e dividere per il denominatore stesso

 

\frac{Q}{\sqrt{a}}=\frac{Q}{\sqrt{a}}\cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=\frac{Q\sqrt{a}}{a}

 

Nel caso generale, in cui abbiamo un radicale del tipo \sqrt[n]{a^m} con m<n, basterà moltiplicare e dividere la frazione per \sqrt[n]{a^{n-m}}

 

\frac{Q}{\sqrt[n]{a^m}}=\frac{Q}{\sqrt[n]{a^m}}\cdot \frac{\sqrt[n]{a^{n-m}}}{\sqrt[n]{a^{n-m}}}=\frac{Q\sqrt[n]{a^{n-m}}}{\sqrt[n]{a^{m+n-m}}}=\frac{Q\sqrt[n]{a^{n-m}}}{a}

 

A ben vedere questa tecnica si basa sulla definizione stessa di radicale: si moltiplica e si divide per quel radicale che permette, al radicando a denominatore, "di raggiungere l'indice di radice".

 

Esempio

 

Se volessimo razionalizzare la frazione \frac{51}{\sqrt[5]{7^3}} ci basterà moltiplicarla e dividerla per \sqrt[5]{7^{5-3}}, cioè per \sqrt[5]{7^2}

 

\frac{51}{\sqrt[5]{7^3}}=\frac{51}{\sqrt[5]{7^3}}\cdot \frac{\sqrt[5]{7^2}}{\sqrt[5]{7^2}}=\frac{51\sqrt[5]{7^2}}{7}

 

Razionalizzazione con somma o differenza di radicali quadratici

 

Anche in questo caso l'idea è quella di moltiplicare e dividere il rapporto per una stessa quantità, che dipende dall'operazione che si presenta a denominatore. L'idea aggiuntiva consiste nello sfruttare un determinato prodotto notevole, la cosiddetta somma per differenza, per la quale

 

(x+y)(x-y)=x^2-y^2

 

Grazie a tale proprietà possiamo semplificare i rapporti

 

\bullet \ \frac{Q}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} moltiplicando numeratore e denominatore per la differenza tra i due radicali;

 

\bullet \ \frac{Q}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} moltiplicando numeratore e denominatore per \sqrt{a}+\sqrt{b} cioè per la somma tra i due radicali. Ovvero:

 

\\ \frac{Q}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{Q}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\cdot \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{Q(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}\\ \\ \\ \frac{Q}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{Q}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\cdot \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{Q(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b} 

 

In entrambi i casi risulta infatti

 

(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b

 

Esempi

 

Se volessimo razionalizzare \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{7}} \ \mbox{e} \ \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}, ci basterebbe applicare le precedenti formule. La scelta, come abbiamo visto, è dettata dal segno presente a denominatore

 

\\ \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{7}}\cdot \frac{\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{7})}{5-7}=-\frac{3\sqrt{2}}{2}(\sqrt{5}+\sqrt{7})\\ \\ \\ \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{13}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{3-2}=\sqrt{13}(\sqrt{3}-\sqrt{2})

 

Razionalizzazione con somma o differenza di radicali cubici

 

In modo del tutto analogo al caso appena visto, possiamo anche razionalizzare rapporti in cui compaiono somme o differenze di radicali con indice di radice 3. Anche in questa eventualità facciamo ricorso a due specifici prodotti notevoli: la somma di cubi e la differenza di cubi, grazie ai quali:

 

\\ (x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3\\ \\ (x-y)(x^2+xy+y^2)=x^3-y^3

 

Proseguendo nell'analogia dovrebbe già essere chiaro come riscrivere i rapporti del tipo

 

\frac{Q}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}} \ \mbox{e} \ \frac{Q}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}

 

ossia

 

\\ \frac{Q}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}=\frac{Q}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}\cdot \frac{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2}}=\frac{Q(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2})}{a+b}\\ \\ \\ \frac{Q}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}=\frac{Q}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}\cdot \frac{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2}}=\frac{Q(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2})}{a-b}

 

Da notare che le formule di razionalizzazione appena scritte ci permettono anche di razionalizzare frazioni con denominatori del tipo

 

(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2}) \ \mbox{e} \ (\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2});

 

è sufficiente, infatti, moltiplicare e dividere per le somme/differenze viste nei precedenti casi (quelle che - in quei casi - compaiono come denominatori di partenza).

 

Esempi

 

Vediamo due semplicissimi esempi:

 

\\ \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}}\cdot \frac{\sqrt[3]{2^2}-\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{3^2}}{\sqrt[3]{2^2}-\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{3^2}}=\frac{4\sqrt{2}(\sqrt[3]{2^2}-\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{3^2})}{2+3}\\ \\ \\ \frac{6}{\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{2}}=\frac{6}{\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{\sqrt[3]{5^2}+\sqrt[3]{5}\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{5^2}+\sqrt[3]{5}\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{2^2}}=\frac{6(\sqrt[3]{5^2}+\sqrt[3]{5}\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{2^2})}{5-2}

 

 


 

Abbiamo finito! La razionalizzazione non è nient'altro che un'applicazione delle formule date dai prodotti notevoli, dunque niente di complicato. È pura e semplice meccanica... ;) Se volete vedere degli esercizi svolti potete dare uno sguardo alla scheda di esercizi correlati, ed eventualmente usare la barra di ricerca interna. Qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti, oltre ad un comodissimo tool che permette di effettuare la razionalizzazione online e in un click. ;)

 

 

குட்பை, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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