Radicali e proprietà dei radicali

I radicali in Matematica sono numeri definiti mediante radici con indice intero. I radicali possono essere espressi sotto forma di potenze con esponente fratto mediante una semplice regola, e godono di alcune proprietà che ne semplificano il calcolo.

 

In questa lezione, dedicata più che altro agli studenti delle scuole superiori, spieghiamo cosa sono i radicali e presentiamo tutte le proprietà dei radicali. Non ci limiteremo a questo: tratteremo anche la condizione di realtà, ossia la condizione sul segno dei numeri di cui possiamo calcolare la radice, e mostreremo il legame tra radicali e potenze.

 

Per concludere ci occuperemo del metodo per effettuare il trasporto dentro il segno di radice e, ove possibile, fuori dal segno di radice.

 

Definizione di radicale

 

Consideriamo un numero a e un numero naturale n positivo. Per dare una definizione corretta di radicale con indice n, o radice n-esima di a

 

\sqrt[n]{a}

 

dobbiamo distinguere due casi:

 

- se n è un numero dispari, si dice radice n-esima di a quel numero b che, elevato ad n, ci restituisce a

 

\mbox{se n è dispari}:\ \ \sqrt[n]{a}=b \iff b^n = a,\ \ \mbox{con}\ \ a,b \in \mathbb{R}

 

- se n è un numero pari, consideriamo un numero positivo a. Chiamiamo radice n-esima di a quel numero positivo b che, elevato ad n, ci restituisce a

 

\mbox{se n è pari}:\ \ \sqrt[n]{a}=b \iff b^n = a, \ \ \mbox{con} \ a \geq 0, \ b \geq 0

 

In entrambi i casi a si chiama radicando, n si dice indice di radice è detto simbolo di radice.

 

Esempio

 

La radice terza di 8 è 2. Infatti in accordo con la definizione risulta

 

\sqrt[3]{8}= 2\ \ \mbox{in quanto}\ \ 2^{3}=8

 

 

I più curiosi si staranno certamente chiedendo perché, nel caso in cui n è pari, abbiamo richiesto che b sia positivo. Il motivo non è difficile da capire e consigliamo a tutti di leggere le prossime righe, perché è un punto delicato che mette in difficoltà parecchi studenti.

 

Supponiamo ad esempio di voler determinare la radice quadrata del numero 4. Per com'è definita la potenza di un numero, risulta:

 

\\ (+2)^2 = (+2) \cdot (+2) = 4\\ \\ (-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4

 

Esistono perciò due numeri (2 e -2) il cui quadrato è 4. L'operazione di estrazione di radice con indice pari (in questo caso con indice 2) sarebbe quindi definita in modo equivoco se non si precisasse quale numero scegliere come radice di 4.

 

Per questo motivo si conviene che \sqrt{4}=2 e non, come ritengono in molti, \sqrt{4}=\pm 2.

 

Per gli studenti dalla quinta superiore in poi, una risposta ancora più dettagliata di questo fatto risiede nella definizione di funzione radice con indice pari, che in accordo con la definizione è a valori in [0, +\infty).

 

Condizione di realtà dei radicali

 

Un'altra condizione posta nella definizione dei radicali con indice pari, detta condizione di realtà, prevede che anche il radicando sia maggiore o uguale zero.

 

In generale, se l'indice della radice è pari allora il radicando deve essere maggiore o uguale a zero; se invece l'indice della radice è dispari allora il radicando può avere segno qualsiasi.

 

Ad esempio la radice quadrata di un numero negativo non è definita, mentre la radice cubica esiste sempre. Per fissare le idee:

 

\sqrt{-64}\ \mbox{ non esiste mentre }\ \sqrt[3]{-64}=- 4

 

Perché si impone la condizione di realtà nella definizione dei radicali ad indice pari? La si richiede per far sì che la definizione abbia senso. Se riscriviamo la definizione

 

\mbox{se n è pari}:\ \ \sqrt[n]{a}=b \iff b^n = a, \ \ \mbox{con} \ a \geq 0, \ b \geq 0

 

poiché una qualsiasi potenza con esponente pari non può essere negativa, prendendo n pari in b^n=a dobbiamo richiedere necessariamente che sia a>0. Tutto qui.

 

Radicali come potenze con esponente fratto

 

È utile sapere che esiste un ulteriore modo per indicare una qualsiasi radice n-esima. Vale infatti la seguente relazione tra radicali e potenze:

 

\sqrt[n]{a}= a^{\frac{1}{n}}\quad\mbox{per ogni }n\in\mathbb{N}\mbox{ con }n\ge 1

 

Tramite la quale possiamo esprimere la radice ennesima tramite potenze con esponente razionale. Possiamo generalizzare la precedente formula come:

 

\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}\ \ \ \mbox{ con }n,m\in \mathbb{N}

 

Se volessimo esprimere a parole questa relazione, potremmo dire che l'indice del radicale diventa il denominatore dell'esponente della potenza, mentre l'esponente del radicando diventa il numeratore della potenza.

 

Per approfondire dai un'occhiata a: potenze con esponente frazionario.

 

 

Attenzione agli esponenti negativi

 

Per definizione si pone:

 

a^{-\frac{m}{n}}:= \frac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}

 

Ad esempio

 

\\ 25^{\frac{1}{2}}=\sqrt{25}= 5\\ \\ 125^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{125}=5\\ \\ 16^{-\frac{3}{4}}=\frac{1}{16^{\frac{3}{4}}}=\frac{1}{\sqrt[4]{16^{3}}}=\frac{1}{8}

 

Per saperne di più: potenze con esponente negativo.

 

Come di certo vi sarete già accorti, esprimendo i radicali come potenze esse ereditano tutte le proprietà delle potenze a noi già note.

 

Proprietà dei radicali

 

Somma e differenza di radicali

 

Le operazioni di addizione e sottrazione tra radicali possono avvenire solo se essi sono simili, cioè se hanno stesso indice e stesso radicando e, in tal caso, la somma/differenza sarà un nuovo radicale che avrà come radice la stessa radice e come coefficiente la somma dei coefficienti.

 

Vediamo un esempio:

 

3\sqrt{2}+2\sqrt{3}-5\sqrt{2}+4\sqrt{3}+\sqrt{2}

 

Riordiniamo l'espressione avvicinando i termini simili

 

3\sqrt{2}-5\sqrt{2}+\sqrt{2}+2\sqrt{3}+4\sqrt{3}

 

Sommiamone i coefficienti:

 

(3-5+1)\sqrt{2}+(2+4)\sqrt{3}

 

ossia

 

-\sqrt{2}+6\sqrt{3}

 

e, in definitiva

 

3\sqrt{2}+2\sqrt{3}-5\sqrt{2}+4\sqrt{3}+\sqrt{2}=-\sqrt{2}+6\sqrt{3}

 

 

Prodotto di radicali con lo stesso indice

 

Il prodotto di due radici che hanno lo stesso indice è una radice che ha per indice lo stesso indice e per radicando il prodotto dei radicandi:

 

\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}= \sqrt[n]{a b}

 

Ricordatevi sempre che le formule possono essere lette anche al contrario. In tal caso la precedente formula può essere espressa in questo modo: la radice n-esima di un prodotto coincide con il prodotto delle radici n-esime di ciascun fattore

 

Esempio

 

\sqrt[3]{8\times 27}= \sqrt[3]{8}\times \sqrt[3]{27}= 2\times 3= 6

 

 

Quoziente di due radicali con lo stesso indice: il quoziente di due radici aventi lo stesso indice è una radice che ha per radicando il quoziente dei radicandi e per indice lo stesso indice.

 

\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}= \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\quad b\ne 0

 

Leggendo la formula al contrario: la radice del quoziente è il quoziente delle radici.

 

 

Come facciamo a calcolare il prodotto o il quoziente di due o più radicali che hanno indici diversi? Prima di rispondere a questo quesito abbiamo la necessità di enunciare la seguente proprietà.

 

Proprietà invariantiva dei radicali

 

Moltiplicando per uno stesso valore l'indice della radice e l'esponente del radicando non negativo, il risultato della radice non cambia.

 

In formule matematiche avremo:

 

\sqrt[n\cdot s]{a^{m\cdot s}}= \sqrt[n]{a^m}\quad\forall a\ge 0

 

La formula può anche essere letta al contrario, da destra a sinistra, se risulta necessario. Lo studente più diligente si chiederà come mai è richiesto che il radicando sia non negativo; per capirne il motivo basta osservare che con radicandi negativi incapperemmo in possibili contraddizioni

 

\sqrt[3]{2}= \sqrt[6]{2^2}= \sqrt[6]{(-2)^{2}}\ne\sqrt[3]{-2}

 

Grazie alla proprietà invariantiva dei radicali potremo moltiplicare/dividere tra loro radici con indici diversi, il trucco è fare in modo di ricondurci a radici che hanno lo stesso indice, ecco come fare!

 

 

Riduzione di due radicali allo stesso indice

 

Una tecnica utilissima che ci permette di moltiplicare e dividere tra loro due radicali con indici di radice diversi è la cosiddetta riduzione allo stesso indice. Prima vediamo il metodo a parole, poi lo applichiamo ad un esempio.

 

- Consideriamo due radici con due indici distinti \sqrt[n]{a},\ \sqrt[m]{b}.

 

- Calcoliamo il minimo comune multiplo tra n ed m. Esso diventerà l'indice comune a tutte le radici.

 

- Dividiamo il nuovo indice per i rispettivi indici delle radici, ed eleviamo i radicandi ai rispettivi quozienti.

 

In questo modo otterremo nuove radici equivalenti a quelle date.

 

Esempio

 

Proponiamoci di ridurre allo stesso indice i radicali

 

\sqrt[3]{8},\ \ \ \sqrt[4]{16}.

 

Il minimo comune multiplo tra 3 e 4 è 12 e diventerà il nuovo indice delle radici:

 

\sqrt[12]{...},\ \ \ \sqrt[12]{...}

 

Dividiamo 12 per 3 e otteniamo 4, che è l'esponente del primo radicando. Dividiamo 12 per 4 e ricaviamo 3, che è l'esponente del secondo radicando

 

\sqrt[12]{8^{4}},\ \ \ \sqrt[12]{16^{3}}

 

 

Moltiplicazione e divisione di radicali con indici diversi

 

Per effettuare il prodotto e il quoziente di radici con indici diversi le riduciamo allo stesso indice, dopodiché utilizzeremo le proprietà per la moltiplicazione e divisione di radicali con lo stesso indice.

 

Esempio

 

\sqrt[3]{2}\times \sqrt[2]{3}=

 

riduciamo i radicali allo stesso indice

 

=\sqrt[6]{2^2}\times\sqrt[6]{3^3}=  \sqrt[6]{4}  \times \sqrt[6]{27}=

 

utilizzando la proprietà dei radicali per la moltiplicazione che abbiamo visto in precedenza

 

=\sqrt[6]{4 \times 27} = \sqrt[6]{108}

 

 

Potenza di un radicale

 

Vale la relazione

 

\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}\ \ \ \forall a\geq 0,\mbox{ con }n,m\in\mathbb{N}

 

Possiamo quindi dire che la potenza m-esima di una radice che ha indice n e radicando a è una radice che ha per indice n e per radicando la potenza am.

 

 

Radice di radice

 

La radice m-esima di una radice n-esima con radicando a è una radice che ha per indice il prodotto degli indici e per radicando a:

 

\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}= \sqrt[m\times n]{a}\ \ \ \mbox{con }m,n\in \mathbb{N}

 

Esempi

 

\\ (\sqrt[3]{3})^{2}= \sqrt[3]{3^2}= \sqrt[3]{9}\\ \\ \sqrt[3]{\sqrt[4]{3}}= \sqrt[12]{3}

 

Trasporto di un fattore dentro il segno di radice

 

Talvolta è utile trasportare sotto il segno di radice un fattore che si trova al di fuori. Ciò è sempre possibile: se il fattore è positivo, si procede nel modo seguente

 

a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^n\cdot b}\ \ \ \mbox{con }a,b\geq 0,\ n\in\mathbb{N}

 

In altri termini quando un radicale è moltiplicato per un fattore positivo si può portare tale numero dentro la radice, dopo averlo elevato ad una potenza uguale all'indice della radice.

 

E se il fattore fuori la radice fosse negativo? Poco male: ci limiteremo a trasportare dentro al radicale il numero senza il segno, lasciando il meno fuori.

 

Esempi

 

\\ 2 \sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{2^3 \cdot 3}=\sqrt[3]{24}\\ \\ -5 \sqrt{7}=-\sqrt{5^2 \cdot 7}=-\sqrt{175}

 

Per consultare altri esempi: trasporto di un fattore dentro la radice.

 

Trasporto di un fattore fuori dal segno di radice

 

La tecnica del trasporto al di fuori del segno il radice è un metodo che consiste nell'applicare il trasporto dentro al segno di radice al contrario

 

\sqrt[n]{a^n\cdot b}=a\sqrt[n]{b}\ \ \ \mbox{con }a,b\geq 0,\ n\in\mathbb{N}

 

Tale ugualglianza permette di trasportare fuori dalla radice un fattore (positivo) del radicando, purché esso sia una potenza con esponente uguale all'indice della radice.

 

Esempi

 

\\ \sqrt{12}=\sqrt{2^2 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\\ \\ \sqrt[4]{80}=\sqrt[4]{2^4 \cdot 5}=2\sqrt[4]{5}

 

 

Più in generale, il trasporto fuori dal segno di radice vale se all'interno del radicando c'è un fattore che sia una potenza con esponente che è un multiplo del radicando, ovvero:

 

\sqrt[n]{a^{nq} \cdot b}=a^q \sqrt[n]{b}

 

Ancora più in generale, ogni fattore all'interno del radicando che abbia un esponente maggiore dell'indice della radice può essere trasportato fuori.

 

Vediamo come tramite i seguenti esempi:

 

\\ \sqrt[3]{192}=\sqrt[3]{2^6 \cdot 3} = \sqrt[3]{2^{3 \cdot 2} \cdot 3} = 2^2 \sqrt[3]{3}=4\sqrt[3]{3}\\ \\ \\ \sqrt[4]{160}=\sqrt[4]{2^5 \cdot 5}

 

L'esponente del 2 è 5 ed è maggiore dell'indice della radice. Per una nota proprietà delle potenze:

 

2^5 = 2^4 \cdot 2

 

quindi abbiamo:

 

\sqrt[4]{160}=\sqrt[4]{2^5 \cdot 5}=\sqrt[4]{2^4 \cdot 2 \cdot 5}=

 

(ci siamo ricondotti ad un esponente uguale all'indice di radice)

 

= 2 \sqrt[4]{2 \cdot 5}=2\sqrt[4]{10}

 

Sicuramente l'avrete già notato da soli, ma per sicurezza lo ribadiamo. Per lavorare con i radicali è necessario sapere più che bene come scomporre un numero nel prodotto di primi. Se volete fare un ripasso veloce basta un click sul link precedente. ;)

 

 


 

Ci fermiamo qui. Come al solito vi raccomandiamo di esercitarvi e a questo proposito potete servirvi della scheda correlata di esercizi sui radicali; se invece volete verificare i risultati degli esercizi che dovete svolgere per casa, potete sempre aiutarvi con la calcolatrice online. ;)

 

 

Alla prossima!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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