Arcocosecante arccsc(x)

L'arcocosecante è una funzione goniometrica inversa definita come inversa della funzione cosecante. Si indica con il simbolo arccsc(x), o talvolta con acsc(x), ed assume come valori gli angoli espressi in radianti compresi tra -∏/2 e +∏/2, escluso lo zero.

 

Quali sono le proprietà della funzione arcocosecante, e qual è il suo grafico? Vediamo tutto subito, partendo dalla definizione e dal metodo per valutare la funzione arcocosecante in un qualsiasi punto.

 

f(x)=\mbox{arccsc}(x)

 

 

Definizione di arcocosecante: fissato x\in (-\infty, -1]\cup [1, +\infty) si definisce arcocosecante di x quell'angolo \alpha\in \left[-\frac{\pi}{2}, 0\right)\cup\left(0, \frac{\pi}{2}\right] la cui cosecante è x.

 

In simboli:

 

 

\\ \alpha=\mbox{arccsc}(x)\ \iff \\ \\ \iff\ x=\mbox{csc}(\alpha)\mbox{ con }\alpha\in \left[-\frac{\pi}{2}, 0\right)\cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right],\ x\in (-\infty, -1]\cup [1, +\infty)

 

 

Da quanto appena scritto si evince che l'arcocosecante è la funzione inversa della funzione cosecante sull'insieme \left[-\frac{\pi}{2}, 0\right)\cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right].

 

Per calcolare l'arcocosecante di x non potremo appellarci ad alcuna formula, se non alla definizione: in particolare basterà individuare l'angolo \alpha\in\left[-\frac{\pi}{2}, 0\right)\cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right] la cui cosecante vale x.

 

Ad esempio

 

\mbox{arccsc}(2)=?\ \to\ \csc\left(\frac{\pi}{6}\right)=2

 

e di conseguenza

 

\mbox{arccsc}(2)=\frac{\pi}{6}

 

In caso di necessità potete leggere la tabella dei valori delle funzioni goniometriche. ;)

 

Grafico della funzione arcocosecante

 

Arcocosecante

 

 

Identità dell'arcocosecante

 

Qui di seguito elenchiamo le principali identità che riguardano l'arcocosecante (di norma non vanno ricordate a memoria). 

 

 

\\ \mbox{arccsc}(\csc(x))=x\ \ \ \mbox{per }\frac{\pi}{2}\leq x<0\ \vee\ 0<x\leq\frac{\pi}{2}\\ \\ \\ \csc(\mbox{arccsc}(x))=x\ \ \ \mbox{per }x\leq -1\ \vee\ x\geq +1\\ \\ \\ \sin(\mbox{arccsc}(x))=\frac{1}{x}\ \ \ \mbox{ per }x\leq -1\ \vee\ x\geq +1\\ \\ \\ \cos(\mbox{arcsec}(x))=\frac{\sqrt{x^2-1}}{|x|}\ \ \ \mbox{per }x\leq -1\ \vee\ x\geq +1\\ \\ \\  \tan(\mbox{arccsc}(x))=\frac{1}{x\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}}}\ \ \ \mbox{per }x< -1\ \vee\ x> +1\\ \\ \\ \cot(\mbox{arccsc}(x))=x\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}}\ \ \ \mbox{per }x\leq -1\ \vee\ x\geq +1\\ \\ \\ \sec(\mbox{arccsc}(x))=\frac{|x|}{\sqrt{x^2-1}}\ \ \ \mbox{per }x< -1\ \vee\ x> +1\\ \\ \\ \mbox{arccsc}(x)=\arcsin\left(\frac{1}{x}\right)\ \ \ \mbox{per }x\leq -1\ \vee\ x\geq +1\\ \\ \\  \mbox{arcsec}(x)+\mbox{arccsc}(x)=\frac{\pi}{2}\ \ \ \mbox{per }x\leq -1\ \vee\ x\geq +1

 

 

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Proprietà della funzione arcocosecante di x

 

 

1) Dominio: Dom(f)=(-\infty,-1]\cup [+1,+\infty).

 

 

2) È una funzione dispari.

 

 

3) Funzione limitata con immagine Im(f)=\left[-\frac{\pi}{2},0\right)\cup \left(0,\frac{\pi}{2}\right].

 

 

4) Funzione monotona strettamente decrescente su tutto il dominio.

 

 

5) Concava sull'intervallo \left(-\infty,-1\right), convessa su (+1,+\infty).

 

 

6) Continua su tutto il suo dominio, derivabile su tutto il suo dominio tranne che in x=\pm 1.

 

 

7) Limiti agli estremi del dominio:

 

\\ \lim_{x\to -\infty}\mbox{arccsc}(x)=0\\ \\ \lim_{x\to (-1)^-}\mbox{arccsc}(x)=f(-1)=-\frac{\pi}{2}\\ \\  \lim_{x\to 1^+}\mbox{arccsc}(x)=f(1)=\frac{\pi}{2}\\ \\ \lim_{x\to +\infty}\mbox{arccsc}(x)=0

 

 

8) Derivata:

 

\frac{d}{dx}\mbox{arccsc}(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}x^2}

 

 

9) Integrale:

 

\int\mbox{arccsc}(x)dx=\frac{x\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}\log{(\sqrt{x^2-1}+x)}}{\sqrt{x^2-1}}+x\cdot \mbox{arccsc}{(x)}+c

 

 


 

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Tags: lezione di riepilogo con la definizione, il grafico e tutte le proprietà della funzione arcocosecante di x arccsc(x), tra cui: il dominio, la monotonia, la convessità, i limiti agli estremi, il limite notevole associato, la derivata e l'integrale dell'arcocosecante.