Arcosecante arcsec(x)

L'arcosecante è una funzione goniometrica inversa. Viene indicata col simbolo arcsec(x) (a volte con asec(x)) ed è per definizione l'inversa della funzione secante, in modo da assumere come valori gli angoli compresi tra 0 e ∏, escluso ∏/2, in radianti.

 

In questa lezione proponiamo il grafico e tutte le proprietà della funzione arcosecante, dal dominio all'integrale, ma non prima di averne proposto la definizione e aver spiegato come calcolarne esplicitamente i valori.

 

f(x)=\mbox{arcsec}(x) 

 

 

Definizione di arcosecante: fissato x\in \left(-\infty, -1]\cup\left[1, +\infty), si definisce arcosecante di x quell'angolo \alpha\in \left[0, \frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right] la cui secante è x.

 

In simboli:

 

\\ \alpha=\mbox{arcsec}(x)\ \iff \\ \\ \iff\ x=\mbox{sec}(\alpha)\ \mbox{ con }x\in (-\infty, -1]\cup [1, +\infty),\ \alpha\in \left[0, \frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right]

 

In altri termini l'arcosecante è la funzione inversa della funzione secante sull'insieme \left[0, \frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right].

 

Per calcolare l'arcosecante in un assegnato punto x non possiamo fare altro che ragionare inversamente e domandarci: qual è l'angolo \alpha\in\left[0, \frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right] la cui secante vale x.

 

Ad esempio

 

\mbox{arcsec}(\sqrt{2})=?\ \to\ \sec\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}

 

e quindi

 

\mbox{arcsec}(\sqrt{2})=\frac{\pi}{4}

 

A tal proposito potete fare riferimento alla tabella dei valori delle funzioni goniometriche.

 

Grafico della funzione arcosecante

 

Arcosecante

 

Identità dell'arcosecante

 

Riguardo alle principali identità che coinvolgono l'arcosecante. Tranquilli, nessuno pretenderà che le ricordiate a memoria! ;)

 

 

\\ \mbox{arcsec}(\sec(x))=x\ \ \ \mbox{per }0\leq x< \frac{\pi}{2}\ \vee\ \frac{\pi}{2}<x\leq \pi\\ \\ \\ \sec(\mbox{arcsec}(x))=x\ \ \ \mbox{per }x\leq -1\ \vee\ x\geq +1\\ \\ \\ \sin(\mbox{arcsec}(x))=\frac{\sqrt{x^2-1}}{|x|}\ \ \ \mbox{ per }x\leq -1\ \vee\ x\geq +1\\ \\ \\ \cos(\mbox{arcsec}(x))=\frac{1}{x}\ \ \ \mbox{per }x\leq -1\ \vee\ x\geq +1\\ \\ \\ \tan(\mbox{arcsec}(x))=x\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}}\ \ \ \mbox{per }x\leq -1\ \vee\ x\geq +1\\ \\ \\ \cot(\mbox{arcsec}(x))=\frac{1}{x\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}}}\ \ \ \mbox{per }x< -1\ \vee\ x> +1\\ \\ \\ \csc(\mbox{arcsec}(x))=\frac{|x|}{\sqrt{x^2-1}}\ \ \ \mbox{per }x< -1\ \vee\ x> +1\\ \\ \\ \mbox{arcsec}(x)=\arccos\left(\frac{1}{x}\right)\ \ \ \mbox{per }x\leq -1\ \vee\ x\geq +1\\ \\ \\  \mbox{arcsec}(x)+\mbox{arccsc}(x)=\frac{\pi}{2}\ \ \ \mbox{per }x\leq -1\ \vee\ x\geq +1

 

 

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Proprietà della funzione arcosecante di x

 

1) Dominio: Dom(f)=(-\infty,-1]\cup [+1,+\infty)

 

 

2) Funzione né pari né dispari.

 

 

3) Funzione limitata con immagine Im(f)=\left[0,\frac{\pi}{2}\right)\cup \left(\frac{\pi}{2},\pi\right].

 

 

4) Funzione monotona strettamente crescente su tutto il dominio.

 

 

5) Concava sull'intervallo \left(+1,+\infty\right), convessa su (-\infty,-1) .

 

 

6) Continua su tutto il suo dominio, derivabile su tutto il suo dominio tranne che in x=\pm 1.

 

 

7) Limiti agli estremi del dominio:

 

\\ \lim_{x\to -\infty}\mbox{arcsec}(x)=\frac{\pi}{2}\\ \\ \lim_{x\to (-1)^-}\mbox{arcsec}(x)=f(-1)=\pi\\ \\ \lim_{x\to 1^+}\mbox{arcsec}(x)=f(1)=0\\ \\ \lim_{x\to +\infty}\mbox{arcsec}(x)=\frac{\pi}{2}

 

 

8) Derivata:

 

\frac{d}{dx}\mbox{arcsec}(x)=\frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}

 

 

9) Integrale:

 

\int\mbox{arcsec}(x)dx=x\cdot \mbox{arcsec}(x)-\frac{x\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}\log(\sqrt{x^2-1}+x)}{\sqrt{x^2-1}}+c

 

 


 

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Tags: lezione di riepilogo con la definizione, il grafico e tutte le proprietà della funzione arcosecante di x arcsec(x), tra cui: il dominio, la monotonia, la convessità, i limiti agli estremi, il limite notevole associato, la derivata e l'integrale dell'arcosecante.