Arcocotangente arccot(x)

L'arcocotangente è una funzione goniometrica inversa definita come inversa della funzione cotangente. Denotata con arccot(x), con arcctg(x), con acot(x) o ancora con actg(x), assume come valori gli angoli tra 0 e ∏ espressi in radianti.

 

Veniamo alle proprietà e al grafico dell'arcocotangente intesa come funzione goniometrica: cominciamo dalla definizione e dalla rappresentazione grafica, per passare poi a tutte le principali identità e proprietà che la caratterizzano.

 

f(x)=\mbox{arccot}(x)

 

 

Definizione di arcocotangente: considerato un numero x\in\mathbb{R}, si definisce \alpha= \mbox{arccot}(x) l'angolo \alpha\in \left(0,\pi\right) la cui cotangente è x. In matematichese:

 

\alpha=\mbox{arccot}(x)\iff \mbox{cot}(\alpha)=x\mbox{ con }\alpha \in (0,\pi)

 

In particolare, l'arcocotangente è la funzione inversa della funzione cotangente sull'intervallo (0,\pi).

 

 

Per calcolare l'arcocotangente in un punto x non c'è una formula vera e propria. L'unico modo di procedere prevede di utilizzare la definizione e di individuare l'angolo \alpha\in (0,\pi) la cui cotangente vale x.

 

Per fare un esempio

 

\mbox{arccot}(1)=?\ \to\ \cot\left(\frac{\pi}{4}\right)=1

 

da cui

 

\mbox{arccot}(1)=\frac{\pi}{4}

 

Per un eventuale ripasso sui valori delle funzioni goniometriche - click. ;)

 

Grafico dell'arcocotangente

 

Arcocotangente

 

 

Attenzione: alcuni testi e calcolatori assumono come definizione di arcocotangente la seguente

 

\alpha=\mbox{arccot}(x)\iff \mbox{cot}(\alpha)=x\mbox{ con }\alpha \in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)

 

e tra questi anche il nostro tool per disegnare il grafico delle funzioni. La scelta è arbitraria, anche se dal canto nostro è preferibile la definizione di arcocotangente data inizialmente.

 

Identità dell'arcocotangente

 

Qui di seguito riportiamo le principali identita relative all'arcocotangente, che possono risultare utili nella risoluzione di alcuni esercizi.

 

 

\\ \mbox{arccot}(\cot(x))=x\ \ \ \mbox{per }0<x<\pi\\ \\ \\ \cot(\mbox{arccot}(x))=x\ \ \ \forall x\\ \\ \\ \arctan(x)+\mbox{arccot}(x)=\frac{\pi}{2}\ \ \ \forall x\\ \\ \\ \mbox{arccot}(x)+\mbox{arccot}\left(\frac{1}{x}\right)=\begin{cases}-\frac{\pi}{2}\mbox{ se }x<0\\ +\frac{\pi}{2}\mbox{ se }x>0\end{cases}

 

 

Omettiamo le identità relative alla composizione con le altre funzioni trigonometriche onde evitare fraintendimenti relativi alla scelta della definizione. ;)

 

Per tutte le altre formule trigonometriche potete leggere il formulario del link. ;)

Proprietà della funzione arcocotangente di x

 

1) Dominio: Dom(f)=(-\infty,+\infty).

 

 

2) Funzione né pari né dispari.

 

 

3) Funzione limitata con immagine Im(f)=(0,\pi).

 

 

4) Funzione monotona strettamente decrescente su \mathbb{R}.

 

 

5) Concava sull'intervallo \left(-\infty,0\right), convessa su (0,+\infty).

 

 

6) Continua su tutto \mathbb{R}, derivabile su tutto \mathbb{R}.

 

 

7) Limiti agli estremi del dominio:

 

\\ \lim_{x\to -\infty}{\mbox{arccot}(x)}=\pi\\ \\ \lim_{x\to +\infty}{\mbox{arccot}{(x)}}=0

 

 

8) Derivata:

 

\frac{d}{dx}\mbox{arccot}{(x)}=-\frac{1}{1+x^2}

 

 

9) Integrale:

 

\int\mbox{arccot}(x)dx=\frac{1}{2}\log(x^2+1)+x\cdot\mbox{arccot}(x)+c

 

 


 

Se siete in cerca di esercizi svolti e non, o in caso di dubbi, non esitate e usate la barra di ricerca interna: lo staff di YM ha risposto a migliaia di domande e risolto altrettanti esercizi. ;)

 

 

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Tags: lezione di riepilogo con la definizione, il grafico e tutte le proprietà della funzione arcocotangente di x arccot(x), tra cui: il dominio, la monotonia, la convessità, i limiti agli estremi, il limite notevole associato, la derivata e l'integrale dell'arcocotangente.