Arcotangente arctan(x)

L'arcotangente è una funzione goniometrica inversa, indicata con arctan(x), con arctg(x) o talvolta con atan(x), che viene definita come inversa della funzione tangente e che ha come valori gli angoli tra -∏/2 e +∏/2 espressi in radianti.

 

Cerchi un rapido formulario in cui leggere le proprietà della funzione arcotangente y=arctan(x) e vederne il grafico? Sei finito nel posto giusto! Qui trovi tutto quello che serve sapere sull'arcotangente, ma andiamo con ordine...

 

f(x)=\arctan(x)

 

 

Definizione di arcotangente: fissato x\in\mathbb{R}, si definisce \alpha= \arctan(x) l'angolo in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) la cui tangente è x.

 

\alpha=\arctan(x)\iff x=\tan(\alpha)\mbox{ con }\alpha\in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)

 

Da qui si capisce immediatamente che l'arcotangente è la funzione inversa della funzione tangente sull'intervallo \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right).

 

Per calcolare l'arcotangente di un valore x dobbiamo necessariamente appellarci alla definizione. Nello specifico, si deve individuare l'angolo \alpha\in\left(-\frac{\pi}{2},+\frac{\pi}{2}\right) la cui tangente vale x.

 

A titolo di esempio

 

\arctan(1)=?\ \to\ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)=1

 

e di conseguenza

 

\arctan(1)=\frac{\pi}{4}

 

Eventualmente potete aiutarvi con la tabella dei valori delle funzioni goniometriche.

 

Grafico della funzione arcotangente

 

Grafico arcotangente

 

Identità dell'arcotangente

 

Prima di cominciare, vale la pena di segnalare alcune identità dell'arcotangente, utili (seppur di rado) nella risoluzione degli esercizi. Ad ogni modo non preoccupatevi, non vanno ricordate a memoria. ;)

 

 

\arctan(\tan(x))=x\ \ \ \mbox{per }-\frac{\pi}{2}< x< \frac{\pi}{2}

 

\tan(\arctan(x))=x\ \ \ \forall x

 

\sin(\arctan(x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\ \ \ \forall x (Dimostrazione sin(arctan(x)))

 

\cos(\arctan(x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\ \ \ \forall x

 

\cot(\arctan(x))=\frac{1}{x}\ \ \ \forall x\neq 0

 

\sec(\arctan(x))=\sqrt{x^2+1}\ \ \ \forall x

 

\csc(\arctan(x))=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}\ \ \ \forall x\neq 0

 

\arctan(x)+\mbox{arccot}(x)=\frac{\pi}{2}\ \ \ \forall x

 

\arctan(x)+\arctan\left(\frac{1}{x}\right)=\begin{cases}-\frac{\pi}{2}\mbox{ se }x<0\\ +\frac{\pi}{2}\mbox{ se }x>0\end{cases}

 

 

Per approfondire potete consultare la lezione con tutte le principali formule trigonometriche.

 

Proprietà della funzione arcotangente di x

 

 

1) Dominio: Dom(f)=(-\infty,+\infty).

 

 

2) È una funzione dispari.

 

 

3) Funzione limitata con immagine Im(f)=\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) .

 

 

4) Funzione monotona strettamente crescente su tutto il dominio.

 

 

5) Concava sull'intervallo \left(0,+\infty\right), convessa sul \left(-\infty,0\right).

 

 

6) Continua su tutto \mathbb{R}, derivabile su tutto \mathbb{R}.

 

 

7) Limiti agli estremi del dominio:

 

\\ \lim_{x\to -\infty}\arctan(x)=-\frac{\pi}{2}\\ \\ \lim_{x\to +\infty}\arctan(x)=+\frac{\pi}{2}

 

 

8) Limite notevole associato:

 

\lim_{x\to 0}\frac{\arctan(x)}{x}=1

 

 

9) Derivata dell'arcotangente:

 

\frac{d}{dx}\arctan(x)=\frac{1}{1+x^2}

 

 

10) Integrale dell'arcotangente:

 

\int\arctan(x)dx=x\arctan(x)-\frac{1}{2}\log(x^2+1)+c

 

 

11) Per studenti universitari: sviluppo di Taylor con centro in x_0=0:

 

\arctan(x)= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}+o(x^9)

 

 


 

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