Arcocoseno arccos(x)

L'arcocoseno è una funzione trigonometrica inversa che viene definita come l'inversa della funzione coseno. Indicata con arccos(x) (o anche con acos(x)), restituisce i valori degli angoli compresi tra 0 e ∏ ed espressi in radianti.

 

Qui di seguito elenchiamo tutte le proprietà e il grafico della funzione arcocoseno. Partendo dalla definizione, mostreremo rapidamente come calcolare il valore dell'arcocoseno in un dato punto, dopodiché passeremo al grafico e alle principali identità e alle proprietà che caratterizzano la funzione arcocoseno.

 

f(x)=\arccos(x)

 

 

Definizione di arcocoseno: dato x\in [-1,1] si definisce \alpha= \arccos(x) l'angolo in [0, \pi] il cui coseno è x.

 

In simboli

 

\alpha= \arccos(x)\iff \cos(\alpha)=x\mbox{ con }x\in [-1,1],\ \alpha\in \left[0, \pi\right]

 

Dalla definizione si evince quindi che l'arcocoseno è la funzione inversa della funzione coseno sull'intervallo [0,\pi].

 

Per calcolare l'arcocoseno in un assegnato punto non dobbiamo fare altro che basarsi sulla definizione. Per capire quanto vale l'arcocoseno di x basta individuare l'angolo \alpha\in [0,\pi] il cui coseno vale esattamente x.

 

Giusto per fare un esempio

 

\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=?\ \to\ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}

 

per cui

 

\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{6}

 

Nel caso voleste rinfrescarvi la memoria potete dare uno sguardo alla tabella dei valori delle funzioni goniometriche. ;)

 

Grafico della funzione arcocoseno

 

Arcocoseno

 

Identità dell'arcocoseno

 

Le principali identità relative all'arcocoseno sono le seguenti, e chiaramente non è necessario ricordarle a memoria. ;)

 

 

\\ \arccos(\cos(x))=x\ \ \ \mbox{per }0\leq x\leq \pi\\ \\ \\ \cos(\arccos(x))=x\ \ \ \mbox{per }-1\leq x\leq 1\\ \\ \\ \sin(\arccos(x))=\sqrt{1-x^2}\ \ \ \mbox{ per }-1\leq x\leq 1\\ \\ \\ \tan(\arccos(x))=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\ \ \ \mbox{per }-1\leq x<0\ \vee\ 0<x\leq 1\\ \\ \\ \cot(\arccos(x))=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\ \ \ \mbox{per }-1<x< 1\\ \\ \\ \sec(\arccos(x))=\frac{1}{x}\ \ \ \mbox{per }-1\leq x<0\ \vee\ 0<x\leq 1\\ \\ \\ \csc(\arccos(x))=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ \ \ \mbox{per }-1<x< 1\\ \\ \\ \arcsin(x)+\arccos(x)=\frac{\pi}{2}\ \ \ \mbox{per }-1\leq x\leq 1

 

 

A proposito: c'è anche una scheda con tutte le formule trigonometriche.

 

Proprietà della funzione arcocoseno di x

 

1) Dominio: Dom(f)=[-1,+1].

 

 

2) È una funzione né pari né dispari.

 

 

3) Funzione limitata, con immagine \mbox{Im}(f)=[0,\pi].

 

 

4) Funzione monotona strettamente decrescente su tutto il suo dominio

 

 

5) Concava sull'intervallo \left[0,1\right), convessa su [-1,0).

 

 

6) Continua su tutto [-1,+1], derivabile su (-1,+1).

 

 

7) Limiti agli estremi del dominio:

 

\\ \lim_{x\to (-1)^{+}}\arccos(x)=f(-1)=\pi\\ \\ \lim_{x\to (+1)^{-}}\arccos(x)=f(+1)=0

 

 

8) Derivata:

 

\frac{d}{dx}\arccos(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

 

 

9) Integrale:

 

\int\arccos(x)dx=x \arccos(x)-\sqrt{1-x^2}+c

 

 

10) Per studenti universitari: sviluppo di Taylor con centro in x_0=0:

 

\arccos(x)=\frac{\pi}{2}-x -\frac{x^3}{6}-\frac{3}{40}x^5-\frac{5}{122}x^7-\frac{35}{1152}x^9+o(x^9)\quad\mbox{ per }|x|\textless 1

 

 


 

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