Arcoseno arcsin(x) o arcsen(x)

L'arcoseno è una funzione goniometrica inversa indicata con arcsin(x), con arcsen(x) o eventualmente con asin(x). Definita come l'inversa della funzione seno, restituisce il valore di un angolo tra -∏/2 e +∏/2, espresso in radianti.

 

Pronti per leggere le proprietà dell'arcoseno e per vederne il grafico? Bene, cominciamo: in questa scheda vedremo tutto quello che c'è da sapere sulla funzione arcoseno, la prima inversa trigonometrica che prendiamo in considerazione.

 

f(x)=\arcsin(x)

 

 

Partiamo dalla definizione di arcoseno: dato un numero x\in [-1,1] si definisce \alpha=\arcsin(x) l'angolo in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] il cui seno vale x.

 

In matematichese questa frase si traduce in:

 

\alpha= \arcsin(x)\iff \sin(\alpha)= x\mbox{ con }x\in [-1,1],\,\alpha \in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]

 

In altri termini, l'arcoseno è la funzione inversa della funzione seno sull'intervallo \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].

 

Si noti che non c'è una vera e propria formula per calcolare il valore dell'arcoseno in un dato punto x. Per ricavare il valore è sufficiente ricorrere alla definizione e ragionare inversamente, domandandosi: quale angolo -\frac{\pi}{2}\leq \alpha\leq \frac{\pi}{2} consente, mediante il seno, di ricavare l'argomento dell'arcoseno?

 

Ad esempio

 

\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)=?\ \to\ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}

 

dunque

 

\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}

 

A questo proposito vi rimandiamo, in caso di necessità, alla lezione sui valori delle funzioni trigonometriche.

 

Grafico della funzione arcoseno

 

Arcoseno

 

Identità dell'arcoseno

 

Ci sono diverse identità relative all'arcoseno che, all'occorrenza, possono risultare utili nella risoluzione degli esercizi. Tranquilli: non è necessario ricordarle. ;)

 

 

\\ \arcsin(\sin(x))=x\ \ \ \mbox{per }-\frac{\pi}{2}\leq x\leq \frac{\pi}{2}\\ \\ \\ \sin(\arcsin(x))=x\ \ \ \mbox{per }-1\leq x\leq 1\\ \\ \\ \cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2}\ \ \ \mbox{ per }-1\leq x\leq 1\\ \\ \\ \tan(\arcsin(x))=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\ \ \ \mbox{per }-1< x< 1\\ \\ \\ \cot(\arcsin(x))=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\ \ \ \mbox{per }-1\leq x<0\ \vee\ 0<x\leq 1\\ \\ \\ \sec(\arcsin(x))=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ \ \ \mbox{per }-1<x<1\\ \\ \\ \csc(\arcsin(x))=\frac{1}{x}\ \ \ \mbox{per }-1\leq x<0\ \vee\ 0<x\leq 1\\ \\ \\ \arcsin(x)+\arccos(x)=\frac{\pi}{2}\ \ \ \mbox{per }-1\leq x\leq 1

 

 

Per tutti gli approfondimenti del caso potete leggere la scheda sulle formule trigonometriche.

 

Proprietà della funzione arcoseno di x

 

Ora passiamo ad elencare le proprietà dell'arcoseno.

 

 

1) Dominio: Dom(f)=[-1,+1].

 

 

2) È una funzione dispari.

 

 

3) Funzione limitata, con immagine \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].

 

 

4) Funzione monotona strettamente crescente su tutto il suo dominio.

 

 

5) Concava sull'intervallo \left[-1,0\right), convessa su (0,+1]

 

 

6) Continua su tutto [-1,1], derivabile su (-1,1)

 

 

7) Limiti agli estremi del dominio:

 

\\ \lim_{x\to (-1)^{+}}{\arcsin{(x)}}=f(-1)=-\frac{\pi}{2}\\ \\ \lim_{x\to (+1)^{-}}{\arcsin{(x)}}=f(+1)=+\frac{\pi}{2}

 

 

8) Limite notevole associato:

 

\lim_{x\to 0}\frac{\arcsin(x)}{x}=1

 

 

9) Derivata dell'arcoseno:

 

\frac{d}{dx}\arcsin(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

 

 

10) Integrale dell'arcoseno:

 

\int\arcsin(x)dx=\sqrt{1-x^2}+x\arcsin(x)+c

 

 

11) Sviluppo di Taylor con centro in x_0=0:

 

\arcsin(x)= x +\frac{x^3}{6}+\frac{3}{40}x^5+\frac{5}{122}x^7+\frac{35}{1152}x^9+o(x^9)\quad\mbox{ per }|x|\textless 1

 

 


 

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