Funzione secante sec(x)

La funzione secante è una funzione goniometrica, periodica ed illimitata. Viene indicata con sec(x) e viene definita tramite la nozione di secante di un angolo, considerando gli angoli espressi in radianti.

 

Qui di seguito vediamo il grafico della funzione secante e le principali proprietà analitiche che la caratterizzano. Si tratta della quinta funzione goniometrica che affrontiamo.

 

f(x)=\sec(x)

 

In realtà essa non è una funzione elementare, infatti la definizione di secante viene formulata a partire dal coseno

 

\sec(x)=\frac{1}{\cos(x)}

 

Se vuoi leggere la lezione dettagliata in cui ne diamo la definizione trigonometrica, leggi qui: che cosa sono secante e cosecante di un angolo?

 

Grafico della secante

 

 

Funzione secante di x

 

Proprietà della secante

 

Per quanto riguarda le proprietà analitiche della secante, valgono le seguenti.

 

 

1) Dominio: Dom(f)=(-\infty,+\infty) esclusi i punti della forma x=(2k+1)\frac{\pi}{2} con k nell'insieme dei numeri relativi.

 

 

2) È una funzione pari.

 

 

3) Funzione illimitata con immagine Im(f)=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty).

 

 

4) Segno della funzione:

 

- positiva per 2k\pi<x<\frac{\pi}{2}+2k\pi\ \vee\ \frac{3\pi}{2}+2k\pi<x<(2k+2)\pi

 

- negativa per \frac{\pi}{2}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{2}+2k\pi

 

con k nell'insieme dei numeri relativi.

 

 

5) Intersezioni con gli assi:

 

\\ x=0\ \to\ y=1\\ \\ y=0\ \to\ \mbox{nessuna}

 

Funzione periodica con periodo 2\pi.

 

 

Le successive proprietà *** vengono espresse sull'intervallo di periodicità [0,2\pi].

 

 

6) *** Monotona strettamente crescente sui rispettivi intervalli \left(0,\frac{\pi}{2}\right) e su \left(\frac{\pi}{2},\pi\right), strettamente decrescente sui rispettivi intervalli \left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right) e su \left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right)

 

 

7) *** Convessa sui rispettivi intervalli 0<x<\frac{\pi}{2} e su \frac{3\pi}{2}<x<2\pi, concava sulla restante parte dell'intervallo di periodicità

 

 

8) *** Continua tranne che nei punti x=\frac{\pi}{2},\ x=\frac{3\pi}{2} (punti di discontinuità di seconda specie).

 

 

9) *** Derivabile tranne che nei punti x=\frac{\pi}{2},\ x=\frac{3\pi}{2}.

 

 

10) *** Limiti agli estremi del dominio:

 

\\ \lim_{x\to \left(\frac{\pi}{2}\right)^-}{\sec(x)}=+\infty\\ \\ \lim_{x\to \left(\frac{\pi}{2}\right)^+}{\sec(x)}=-\infty\\ \\ \lim_{x\to \left(\frac{3\pi}{2}\right)^-}{\sec(x)}=-\infty\\ \\ \lim_{x\to \left(\frac{3\pi}{2}\right)^+}{\sec(x)}=+\infty

 

 

11) Derivata:

 

\frac{d}{dx}\sec(x)=\tan(x)\sec(x)

 

 

12) Integrale della secante:

 

\int{\sec{(x)}dx}=\ln|\tan(x)+\sec(x)|+c

 

 

13) Per studenti universitari: sviluppo di Taylor con centro x_0=0:

 

\sec(x)= 1+\frac{x^2}{2}+\frac{5}{24}x^4 +\frac{61}{720}x^6+\frac{277}{8064}x^8+\frac{50521}{3628800}x^{10}+o(x^{10})\quad \mbox{ per }|x|\textless \frac{\pi}{2}

 

 

Approfondimenti: valori e formule della secante

 

- valori delle funzioni goniometriche;

 

- formule trigonometriche.

 

 


 

Se sei in cerca di esercizi svolti e non, o in caso di dubbi, non esitare e usa la barra di ricerca interna: lo staff di YM ha risposto a migliaia di domande e risolto altrettanti esercizi. ;)

 

 

Lezione precedente..........Lezione successiva


Tags: lezione di riepilogo con la definizione, il grafico e tutte le proprietà della funzione secante di x sec(x), tra cui: il dominio, la monotonia, la convessità, i limiti agli estremi, il limite notevole associato, la derivata e l'integrale della secante.