Cosecante iperbolica csch(x)

La cosecante iperbolica è una funzione iperbolica, solitamente indicata con csch(x), e così chiamata perché viene definita come reciproco del seno iperbolico.

 

In questa lezione ti proponiamo la definizione e le principali proprietà della cosecante iperbolica, grafico compreso.

 

f(x)=\mbox{csch}(x)

 

In modo del tutto analogo rispetto alla cosecante, la definizione di cosecante iperbolica coinvolge il seno iperbolico

 

\mbox{csch}(x)=\frac{1}{\sinh(x)}

 

Grafico della cosecante iperbolica

 

Cosecante iperbolica

 

Proprietà della funzione cosecante iperbolica di x

 

1) Dominio: Dom(f)=(-\infty,0,)\cup(0,+\infty).

 

 

2) È una funzione dispari.

 

 

3) Funzione illimitata con immagine Im(f)=(-\infty,0,)\cup(0,+\infty).

 

 

4) Funzione monotona strettamente decrescente su tutto il dominio.

 

 

5) Concava per x<0, concava per x>0.

 

 

6) Continua su tutto \mathbb{R} tranne che in x=0 (punto di discontinuità di seconda specie).

 

 

7) Derivabile su tutto il suo dominio.

 

 

8) Limiti agli estremi del dominio:

 

\\ \lim_{x\to -\infty}\mbox{csch}(x)= 0\\ \\ \lim_{x\to 0^-}\mbox{csch}(x)=-\infty\\ \\ \lim_{x\to 0^+}\mbox{csch}(x)=+\infty\\ \\ \lim_{x\to +\infty}\mbox{csch}(x)= 0

 

 

9) Derivata:

 

\frac{d}{dx}\mbox{csch}(x)=-\coth(x)\mbox{csch}(x)

 

 

10) Integrale:

 

\int\mbox{csch}(x)dx=\ln{\left(\sinh{\left(\frac{x}{2}\right)}\right)}-\ln{\left(\cosh{\left(\frac{x}{2}\right)}\right)}+c

 

 


 

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