Secante iperbolica sech(x)

La secante iperbolica è una funzione iperbolica, indicata con sech(x), definita come il reciproco del coseno iperbolico. Dalla definizione si intuisce la scelta del nome stesso.

 

Qui di seguito trovi la definizione e le principali proprietà della secante iperbolica, nonché il suo grafico.

 

f(x)=\mbox{sech}(x) 

 

La definizione di secante iperbolica è analoga a quella di secante di un angolo, con l'unica differenza che si riferisce al coseno iperbolico

 

\mbox{sech}(x)=\frac{1}{\cosh{(x)}}

 

Grafico della secante iperbolica

 

Secante iperbolica

 

Proprietà della funzione secante iperbolica di x

 

1) Dominio: Dom(f)=(-\infty,+\infty).

 

 

2) È una funzione pari.

 

 

3) Funzione limitata con immagine Im(f)=(0,1].

 

 

4) Funzione monotona strettamente crescente per x<0, strettamente decrescente per x>0.

 

 

5) Concava su (\log(\sqrt{2}-1),\log(\sqrt{2}+1)), convessa sulla restante parte del dominio.

 

 

6) Continua su tutto \mathbb{R}, derivabile su tutto \mathbb{R}.

 

 

7) Limiti agli estremi del dominio:

 

\lim_{x\to \pm\infty}{\mbox{sech}(x)}=0

 

 

8) Derivata:

 

\frac{d}{dx}\mbox{sech}(x)=-\tanh(x)\mbox{sech}(x)

 

 

9) Integrale:

 

\int\mbox{sech}(x)dx=2\arctan\left(\tanh\left(\frac{x}{2}\right)\right)+c

 

 

10) Per studenti universitari: sviluppo di Taylor con centro x_0=0

 

\mbox{sech}(x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{5}{24}x^4-\frac{61}{720}x^6+\frac{277}{8064}x^8+o(x^8)

 

 


 

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