Tangente iperbolica tanh(x)

La tangente iperbolica è una funzione iperbolica, indicata con tanh(x), il cui nome discende dalla definizione stessa: essa è infatti definita come rapporto tra il seno iperbolico ed il coseno iperbolico.

 

Pronto per leggere la definizione di tangente iperbolica, tutte le proprietà che la caratterizzano ed il relativo grafico?

 

f(x)=\tanh(x)

 

La definizione di tangente iperbolica mantiene una perfetta analogia rispetto a quella di tangente di un angolo, con l'unica differenza che viene formulata a partire dalle funzioni iperboliche:

 

\tanh(x)=\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}

 

 

Grafico della tangente iperbolica

 

Tangente iperbolica

 

Proprietà della funzione tangente iperbolica di x

 

1) Dominio: Dom(f)=(-\infty,+\infty)

 

 

2) È una funzione dispari.

 

 

3) Funzione limitata con immagine Im(f)=(-1,+1).

 

 

4) Funzione monotona strettamente crescente su tutto il dominio.

 

 

5) Convessa per x<0, concava per x>0.

 

 

6) Continua su tutto \mathbb{R}, derivabile su tutto \mathbb{R}.

 

 

7) Limiti agli estremi del dominio:

 

\\ \lim_{x\to -\infty}\tanh(x)=-1\\ \\ \lim_{x\to +\infty}\tanh(x)=+1

 

 

8) Limite notevole associato:

 

\lim_{x\to 0}\frac{\tanh(x)}{x}=1

 

 

9) Derivata:

 

\frac{d}{dx}\tanh(x)=\mbox{sech}^2(x)

 

 

10) Integrale:

 

\int{\tanh(x)dx}=\ln(\cosh(x))+c

 

 

11) Per studenti universitari: sviluppo di Taylor con centro x_0=0

 

\tanh(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2}{15}x^5-\frac{17}{315}x^7+\frac{62}{2835}x^9+o(x^9)

 

 


 

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