Seno iperbolico sinh(x)

Il seno iperbolico sinh(x) è una funzione iperbolica, definita come differenza di esponenziali, così denominata per un interessante proprietà analoga all'identità fondamentale della Trigonometria che la lega all'equazione dell'iperbole.

 

Vediamo la definizione, le proprietà e il grafico del seno iperbolico, la prima delle funzioni iperboliche che trattiamo nella nostra rassegna.

 

f(x)=\sinh(x)

 

La definizione del seno iperbolico viene formulata a partire dalla funzione esponenziale:

 

\sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}

 

e si decide di attribuire all'espressione di destra il nome di seno iperbolico. Per chi si stesse domandando perché sia stato scelto un nome del genere basti sapere che, dopo aver definito il coseno iperbolico y=\cosh(x), vale un'identità del tutto simile rispetto a quella che lega seno e coseno

 

\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1

 

L'aggettivo iperbolico discende dal legame che sussiste tra la precedente equazione e quella per l'iperbole: x^2-y^2=1.

 

Grafico del seno iperbolico

 

Seno iperbolico

 

Per ricavare i valori del seno iperbolico è sufficiente fare riferimento alla definizione stessa e ricondurre il calcolo ai termini esponenziali che compaiono nel rapporto. Dal grafico si evince inoltre che, in perfetta analogia con il seno, il seno iperbolico di 0 vale 1.

 

\sinh(0)=0

 

Proprietà della funzione seno iperbolico di x

 

1) Dominio: Dom(f)=(-\infty,+\infty).

 

 

2) È una funzione dispari.

 

 

3) Funzione illimitata con immagine Im(f)=(-\infty,+\infty).

 

 

4) Funzione monotona strettamente crescente su tutto il dominio.

 

 

5) Concava sull'intervallo x<0, convessa su x>0.

 

 

6) Continua su tutto \mathbb{R}, derivabile su tutto \mathbb{R}.

 

 

7) Limiti agli estremi del dominio:

 

\\ \lim_{x\to -\infty}{\sinh(x)}=-\infty\\ \\ \lim_{x\to +\infty}{\sinh(x)}=+\infty

 

 

8) Limite notevole associato:

 

\lim_{x\to 0}\frac{\sinh(x)}{x}=1

 

 

9) Derivata:

 

\frac{d}{dx}\sinh(x)=\cosh(x)

 

 

10) Integrale:

 

\int{\sinh(x)dx}=\cosh(x)+c

 

 

11) Per studenti universitari: sviluppo di Taylor con centro in x_0=0:

 

\sinh(x)= x+\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+\frac{x^7}{5040}+\frac{x^9}{362880}+o(x^9)

 

 


 

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