Funzione cosecante csc(x)

La funzione cosecante è una funzione trigonometrica, illimitata e periodica, definita a partire dal concetto di cosecante di un angolo ed esprimendo gli angoli in radianti. Generalmente viene indicata con il simbolo csc(x), o in alternativa con cosec(x).

 

L'ultima funzione goniometrica di cui ci occupiamo è la cosecante, dopodiché passeremo alle inverse trigonometriche). Vediamo com'è fatto il grafico della cosecante e quali sono le principali proprietà che la caratterizzano.

 

f(x)=\csc(x)

 

La definizione di cosecante in termini analitici si basa sulla nozione di seno di un angolo, mediante la seguente formula

 

\csc(x)=\frac{1}{\sin(x)}

 

Se vuoi leggere la lezione che tratta la definizione di cosecante da un punto di vista trigonometrico, vedi qui: cosa sono secante e cosecante di un angolo?

 

Grafico della cosecante

 

Funzione cosecante

 

Proprietà della cosecante

 

Per quanto riguarda le proprietà analitiche della cosecante, vale a dire quelle che caratterizzano il grafico, sono le seguenti.

 

 

1) Dominio: Dom(f)=(-\infty,+\infty) esclusi i punti della forma x=k\pi con k nell'insieme dei numeri relativi.

 

 

2) È una funzione dispari.

 

 

3) Funzione illimitata con immagine (-\infty,-1]\cup[1,+\infty).

 

 

4) Segno della funzione:

 

- positiva per 2k\pi<x<(2k+1)\pi

 

- negativa per (2k+1)\pi<x<(2k+2)\pi

 

con k nell'insieme dei numeri relativi.

 

 

5) Intersezioni con gli assi:

 

\\ x=0\ \to\ \mbox{nessuna}\\ \\ y=0\ \to\ \mbox{nessuna}

 

 

6) Funzione periodica con periodo 2\pi.

 

 

Le successive proprietà *** vengono espresse sull'intervallo di periodicità [0,2\pi].

 

 

7) *** Monotona strettamente crescentesui rispettivi intervalli \left(\frac{\pi}{2},\pi\right) e su \left(\pi,\frac{3}{2}\pi\right), strettamente decrescente sugli intervalli \left(0,\frac{\pi}{2}\right) e su \left(\frac{3}{2}\pi,2\pi\right).

 

 

8) *** Convessa sull'intervallo \left(0,\pi\right), concava sulla restante parte dell'intervallo di periodicità

 

 

9) *** Continua tranne che nei punti x=0,\ x=\pi,\ x=2\pi (punti di discontinuità di seconda specie).

 

 

10) *** Limiti agli estremi del dominio:

 

\\ \lim_{x\to 0^+}\csc(x)=+\infty\\ \\ \lim_{x\to \pi^-}\csc(x)=+\infty\\ \\ \lim_{x\to \pi^+}\csc(x)=-\infty\\ \\  \lim_{x\to (2\pi)^-}\csc(x)=-\infty

 

 

11) Derivata:

 

\frac{d}{dx}\csc(x)=-\cot(x)\csc(x)

 

 

12) Integrale della cosecante:

 

\int{\csc{(x)}dx}=-\ln{|\csc{(x)}+\cot{(x)}|}+c

 

 

Approfondimenti: valori e formule della cosecante

 

- valori delle funzioni goniometriche;

 

- formule trigonometriche.

 

 


 

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