Funzione cotangente cot(x)

La funzione cotangente è una funzione trigonometrica, illimitata e periodica, la cui definizione deriva dal concetto di cotangente di un angolo e che presuppone di esprimere gli angoli in radianti. Viene solitamente indicata con cot(x), con ctg(x) o ancora con cotan(x).

 

In questa rapidissima lezione introduciamo la quarta funzione goniometrica che si affronta negli studi: la funzione cotangente, descrivendone le principali proprietà e mostrandone il grafico.

 

f(x)=\cot(x)

 

Tenete presente che la cotangente di x non è una funzione elementare, infatti per definizione è data da

 

\cot(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}

 

Nel caso steste cercando una spiegazione di base sulla definizione di cotangente, potete trovare quello che vi serve in quest'altra lezione: cosa sono tangente e cotangente di un angolo?

 

Grafico della cotangente

 

 

Cotangente

 

Proprietà della cotangente

 

Passiamo alle principali proprietà analitiche della cotangente, tutte facilmente deducibili dal grafico.

 

 

1) Dominio: Dom(f)=(-\infty,+\infty) esclusi i punti della forma x=k\pi con k nell'insieme dei numeri relativi.

 

 

2) È una funzione dispari.

 

 

3) Funzione illimitata con immagine Im(f)=(-\infty,+\infty).

 

 

4) Segno della funzione:

 

- positiva per k\pi<x<\frac{\pi}{2}+k\pi

 

- negativa per \frac{\pi}{2}+k\pi<x<(k+1)\pi

 

con k nell'insieme dei numeri relativi.

 

 

5) Intersezioni con gli assi:

 

\\ x=0\ \to\ \mbox{non definita}\\ \\ y=0\ \to\ x=\frac{\pi}{2}+k\pi

 

con k nell'insieme dei numeri relativi.

 

 

6) Funzione periodica con periodo \pi.

 

 

Le successive proprietà *** vengono espresse sull'intervallo di periodicità [0,\pi].

 

 

7) *** Monotona strettamente decrescente.

 

 

8) *** Convessa sull'intervallo \left[0,+\frac{\pi}{2}\right), concava sulla restante parte dell'intervallo di periodicità.

 

 

9) *** Continua tranne che in x=0,\ x=\pi (discontinuità di seconda specie).

 

 

10) *** Derivabile tranne che in x=0,\ x=\pi.

 

 

11) *** Limiti agli estremi del dominio:

 

\\ \lim_{x\to 0^+}\cot(x)=+\infty\\ \\ \lim_{x\to \pi^-}\cot(x)=-\infty

 

 

12) Derivata della cotangente:

 

\frac{d}{dx}\cot(x)=-\frac{1}{\sin^2(x)}

 

 

13) Integrale della cotangente:

 

\int{\cot(x)dx}=\ln|\sin(x)|+c

 

 

Approfondimenti: valori e formule della cotangente

 

- valori delle funzioni goniometriche;

 

- formule trigonometriche.

 

 


 

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Tags: lezione di riepilogo su ctg(x) con la definizione, il grafico e tutte le proprietà della funzione cotangente di x cot(x), tra cui: il dominio, la monotonia, la convessità, i limiti agli estremi, il limite notevole associato, la derivata e l'integrale della cotangente.